高二数学双曲线同步练习
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．到两定点
、
的距离之差的绝对值等于6的点
的轨迹 （ ）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
2．方程
表示双曲线，则
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
或
3． 双曲线
的焦距是 （ ）
A．4 B．
C．8 D．与
有关
4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可
能是 （ ）
A B C D
6．焦点为
，且与双曲线
有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若
，双曲线
与双曲线
有 （ ）
A．相同的虚轴 B．相同的实轴 C．相同的渐近线 D． 相同的焦点
8．过双曲线
左焦点F1的弦AB长为6，则
（F2为右焦点）的周长是（ ）
A．28 B．22 C．14 D．12
9．已知双曲线方程为
，过P（1，0）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L条数共有 （ ）
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
10．给出下列曲线：①4x+2y－1=0; ②x2+y2=3; ③
④
，其中与直线
y=－2x－3有交点的所有曲线是 （ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
13．直线
与双曲线
相交于
两点，则
=__________________．
14．过点
且被点M平分的双曲线
的弦所在直线方程为 ．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．求一条渐近线方程是
，一个焦点是
的双曲线
标准
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方程
16．双曲线
的两个焦点分别为
，
为双曲线上任意一点，求证：
成等比数列（
为坐标原点）．（12分）
17．已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－
.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．（12分）
18．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线
总有公共点，试求实数k的取值范围.（12分）
20．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的
报告
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：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上).（14分）
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
B
B
D
A
B
D
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．
12．
13．
14．
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：设双曲线方程为：
，∵双曲线有一个焦点为（4，0），
双曲线方程化为：
，
∴双曲线方程为：
∴
．
16．（12分）[解析]：易知
，准线方程：
，设
，
则
，
，
，
成等比数列.
17．（12分）
[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝
.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝2
，∴a＞
由余弦定理有cos∠F1PF2＝
＝
＝
－1
∵|PF1||PF2|≤(
)2＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2.
此时cos∠F1PF2取得最小值
－1，由题意
－1＝－
，解得a2＝3，
∴P点的轨迹方程为
＋y2＝1.
(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，
将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 (*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝
即Q(－
) ∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，
∴klkAB＝k·
＝－1 ，解得m＝
…③ 又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，
即 (6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0 ④ ，将③代入④得
12[1＋3k2－(
)2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).
18．（12分）[解析]：联立方程组
消去y得(2k2－1)x2+4kbx+（2b2+1）=0,
当
若b=0，则k
；若
，不合题意.
当
依题意有△=(4kb)2－4(2k2－1)(2b2+1)＞0，
对所有实数b恒成立，
∴2k2<1，得
.
20．（14分）[解析]：以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
上， 依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得
，∵|PB|>|PA|,
,答：巨响发生在接报中心的西偏北45°距中心
处.
浙公网安备 33021202002483