高中数学直线与双曲线位置关系典例精析

直线和双曲线的位置关系一、要点精讲1．直线和双曲线的位置关系有三种：相交、相切、相离.2．弦长公式：设直线交双曲线于，，则，或．二、基础自测1．经过点且与双曲线仅有一个公共点的直线有（）(A)4条(B)3条(C)2条(D)1条2．直线y=kx与双曲线不可能（）（A）相交（B）只有一个交点（C）相离（D）有两个公共点3．过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线的通径长是(A)(B)(C)(D)4．若一直线平行于双曲线的一条渐近线，则与双曲线的公共点个数为．解：与双曲线渐近线平行的直线与双曲线有且只有一个公共点，应注意直线与双曲线不是相切5．经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是．6．直线在双曲线上截得的弦长为4，且的斜率为2，求直线的方程．三、典例精析题型一：直线与双曲线的位置关系1.如果直线与双曲线没有公共点，求的取值范围．有两个公共点呢？解，所以△=，所以，，故选D.2．(2010·安徽)若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)A.B.C.D.解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6))得(1－k2)x2－4kx－10＝0，∴，解得－eq\f(\r(15),3)<k<－1.3、过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。题型二：直线与双曲线的相交弦问题4.过双曲线的左焦点，作倾斜角为的弦，求⑴；⑵的周长（为双曲线的右焦点）。5.已知双曲线方程为，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判别式△>0进行验证即可．6.双曲线方程为.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．7、已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 你的结论。题型三：求双曲线方程8.已知焦点在x轴上的双曲线上一点，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线被双曲线截得的弦长为，求此双曲线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程．9、设双曲线与直线相交于不同的点A、B.⑴求双曲线的离心率的取值范围；⑵设直线与轴的交点为，且，求的值。解：(1)将y＝－x＋1代入双曲线eq\f(x2,a2)－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0①由题设条件知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2≠0,4a4＋8a21－a2>0))，解得0<a<eq\r(2)且a≠1，又双曲线的离心率e＝eq\f(\r(1＋a2),a)＝eq\r(\f(1,a2)＋1)，∵0<a<eq\r(2)且a≠1，∴e>eq\f(\r(6),2)且e≠eq\r(2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵eq\o(PA,\s\up15(→))＝eq\f(5,12)eq\o(PB,\s\up15(→))，∴(x1，y1－1)＝eq\f(5,12)(x2，y2－1)．∴x1＝eq\f(5,12)x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴eq\f(17,12)x2＝－eq\f(2a2,1－a2)，eq\f(5,12)xeq\o\al(2,2)＝－eq\f(2a2,1－a2)，消去x2得，－eq\f(2a2,1－a2)＝eq\f(289,60)，∵a>0，∴a＝eq\f(17,13).10.已知双曲线的焦点为，，过且斜率为的直线交双曲线于、两点，若(其中为原点），，求双曲线方程。11.双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点．已知成等差数列，且与同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：（Ⅰ）设，，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得,则离心率．（Ⅱ）过直线方程为,与双曲线方程联立，将，代入，化简有将数值代入，有,解得故所求的双曲线方程为。12、已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率e＝2，点M(eq\r(5)，eq\r(3))在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点，且.求eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)的值．解：(1)∵e＝2，∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2，双曲线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，即3x2－y2＝3a2.∵点M(eq\r(5)，eq\r(3))在双曲线上，∴15－3＝3a2.∴a2＝4.∴所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.(2)设直线OP的方程为y＝kx(k≠0)，联立eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1，得∴|OP|2＝x2＋y2＝eq\f(12k2＋1,3－k2).则OQ的方程为y＝－eq\f(1,k)x，同理有|OQ|2＝＝eq\f(12k2＋1,3k2－1)，∴eq\f(1,|OP|2)＋eq\f(1,|OQ|2)＝eq\f(3－k2＋3k2－1,12k2＋1)＝eq\f(2＋2k2,12k2＋1)＝eq\f(1,6).13．(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1.若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．解：(1)双曲线C1：，左顶点A，渐近线方程为：y＝±eq\r(2)x.过点A与渐近线y＝eq\r(2)x平行的直线方程为，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程组，得.∴所求三角形的面积为S＝eq\f(1,2)|OA||y|＝eq\f(\r(2),8).(2)证明：设直线PQ的方程是y＝x＋b，∵直线PQ与已知圆相切，∴eq\f(|b|,\r(2))＝1，即b2＝2.由得x2－2bx－b2－1＝0.设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，∴＝x1x2＋y1y2＝2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝2(－1－b2)＋2b2＋b2＝b2－2＝0.故OP⊥OQ.(3)证明：当直线ON垂直于x轴时，|ON|＝1，|OM|＝eq\f(\r(2),2)，则O到直线MN的距离为eq\f(\r(3),3).当直线ON不垂直于x轴时，设直线ON的方程为y＝kx(显然)，则直线OM的方程为y＝－eq\f(1,k)x.由得∴|ON|2＝eq\f(1＋k2,4＋k2).同理|OM|2＝eq\f(1＋k2,2k2－1).设O到直线MN的距离为d.∵(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，∴eq\f(1,d2)＝eq\f(1,|OM|2)＋eq\f(1,|ON|2)＝eq\f(3k2＋3,k2＋1)＝3，即d＝eq\f(\r(3),3).综上，O到直线MN的距离是定值．五、能力提升1．若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线总有公共点，则b的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)2．过双曲线的右焦点F作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）(A)1条(B)2条(C)3条(D)4条3．过点的直线与双曲线有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（）(A)2(B)4(C)1或2(D)2或44.已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）(A)(1，2](B)（1，2)(C)[2，+∞)(D)(2，+∞)6．直线与双曲线的右支交于不同两点，则k的取值范围是．7.已知倾斜角为的直线被双曲线截得的弦长，求直线的方程．8.设直线与双曲线于相交于A、B两点，且弦AB中点的横坐标为．(1)求的值；(2)求双曲线离心率．9.已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为、，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得是P到的距离与的等比中项？...——知识就是力量，学海无涯苦作舟!——不要担心知识没有用，知识多了，路也好选择，也多选择。比如高考，高分的同学，填报志愿的时候选择学校的范围大，而在分数线左右的就为难了，分数低的就更加不要说了。再比如，有了知识，你也可以随时炒老板。1/32/9高中数学_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568017.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568033.unknown_1234568035.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.un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