排列组合，概率有关二项式定理的八篇论文二项式定理释疑

排列组合，概率有关二项式定理的八篇论文二项式定理释疑二项式定理释疑二项式定理是概念性比较强、并且容易混淆的内容之一，初学者往往因概念不清而致误．现举例分析如下．一、几个易混的概念 1．二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．比如，中的二项式系数是，而的系数为．当然，在某些二项展开式（如a，b的系数为1的单项式）中，各项的系数与二项式系数是相等的． ...

二项式定理释疑二项式定理是概念性比较强、并且容易混淆的内容之一，初学者往往因概念不清而致误．现举例分析如下．一、几个易混的概念 1．二项展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的值有关．比如，中的二项式系数是，而的系数为．当然，在某些二项展开式（如a，b的系数为1的单项式）中，各项的系数与二项式系数是相等的． 2．就等式而言，虽然，但要具体到它们展开式的某一项时，并不一定相同．的二项展开式是以a的降幂排列，以b的升幂排列，而的二项展开式是以a的升幂排列，以b的降幂排列，在解题时一定要注意它们的顺序，不能用加法交换律更改．二、典型错解分析　　例1 设展开式中，第二项与第四项的系数之比为，试求含的项．误：第二项的系数为，第四项的系数为，依题意得．化简，得．解此方程并舍去不合题意的负值，得．设展开式中项为第项，则．由，得，即展开式中项为．析：展开式的第二项为，所以与的系数之比为，这与已知第二项与第四项的系数之比为矛盾，可见上面解答有误．错误根源在于将“二项展开式中的二项式系数”与“二项展开式中的某项系数”混为一谈．事实上，这是两个既有联系又有区别的概念，当二项式的两项本身的系数都为1时，展开式的二项式系数就是各项系数；当二项式的两项本身的系数不都为1时，则另作别论．本题所给二项式第二项的系数不是1，而上面解答却按照是1的情形处理，因此势必出错．正：展开式的第二项与第四项分别为，．依题意得．．解此方程舍去不合题意的负值，得．设展开式中项为第项，则．由，得，即展开式中项为．例2 若展开式中，第5项是常数，问中间项是第几项？误：因为，若第5项是常数，则有，解得．由于n为自然数，所以此题无解．析：此题并不是无解，上述是错解．因为二项展开式的项是按照第一个数的降幂排列的，所以，第5项应为，即．所以中间项是第9项．　　由此可以看出，使用二项展开式时要严格按照中第一个数a的降幂排列顺序解题，不可随意颠倒a，b顺序．例3 设，试问展开式中第几项最大？误：因为的幂指数是偶数，所以它的展开式的中间一项最大． ∵此展开式共有51项，∴展开式中第26项最大．析：上面解答将二项展开式中某一项的系数与这一项的值混为一谈，错误地认为系数最大时，这一项也最大．正：设第项为且最大，则有． ∴ 展开式中第30项最大． PAGE 1 _1236665707.unknown _1236666077.unknown _1236666571.unknown _1236666933.unknown _1236667115.unknown _1236667136.unknown _1236667166.unknown _1236667344.unknown _1236667343.unknown _1236667158.unknown _1236667127.unknown _1236667019.unknown _1236667053.unknown _1236666975.unknown _1236666607.unknown _1236666874.unknown _1236666922.unknown _1236666845.unknown _1236666590.unknown _1236666600.unknown _1236666580.unknown _1236666438.unknown _1236666458.unknown _1236666514.unknown _1236666450.unknown _1236666177.unknown _1236666426.unknown _1236666105.unknown _1236665845.unknown _1236665962.unknown _1236666044.unknown _1236666063.unknown _1236665975.unknown _1236665935.unknown _1236665955.unknown _1236665870.unknown _1236665765.unknown _1236665811.unknown _1236665824.unknown _1236665799.unknown _1236665723.unknown _1236665732.unknown _1236665717.unknown _1236665528.unknown _1236665633.unknown _1236665656.unknown _1236665689.unknown _1236665643.unknown _1236665600.unknown _1236665613.unknown _1236665558.unknown _1236665591.unknown _1236665428.unknown _1236665456.unknown _1236665500.unknown _1236665437.unknown _1236665404.unknown _1236665417.unknown _1236665351.unknown

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