盐城中学2013届高三周练 数学理（11.3）

高三数学周末练习（理科）（2012．11．3） 命题：张小波 尹震霞 审核：徐瑢 班级 姓名 学号 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．若 ，则 = ． 2．如果复数是实数，则实数 ． 3．已知 则 的值为 ． 4．在等差数列 则公差 ． 5．已知向量若，则＝ ． 6．从 内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ． 7．已知变量 满足 ，则 的最大值是 ． 8．在 中， ， ， 为斜边 的中点，则 的值为 ． 9．已知数列 满足 ，则数列 的前 项的和是 ． 10．已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为 ． 11．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ． 12．设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 所有取值构成的集合为 ． 13．点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于 ，若 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ① ； ② ； ③ ； ④ 二、解答题 15．(本小题满分14分) 已知函数 ． （1）设 ，且 ，求 的值； （2）在 中， ， ，且 的面积为 ，求 的值． 16．（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， ， ， 为 上一点，且 平面 ． （1）求证： ； （2）如果点 为线段 的中点，求证： ∥平面 ． 17．（本小题满分 14分） 如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为． （1）写出体积V关于的函数关系式； （2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？ 18．（本小题满分 16分） 已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D. (1) 求椭圆方程； (2) 点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程； (3) 过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线 PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由. 19．（本小题满分 16分） 设 ，已知函数 的图象与 轴交于 两点． （1）求函数 的单调区间； （2）设函数 在点 处的切线的斜率为 ，当 时， 恒成立，求 的最大值； （3）有一条平行于 轴的直线 恰好与函数 的图象有两个不同的交点 ，若四边形 为菱形，求 的值． 20．（本小题满分 16分） 设函数 ，数列 满足 ． （1）求数列 的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ； （2）设 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围； （3）是否存在以 为首项，公比为 的数列 ， ，使得数列 中每一项都是数列 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列 的通项公式；若不存在，说明理由． 数学附加题部分 班级 姓名 学号 21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题, A．选修4—1：如图，CP是圆O的切线，P为切点，直线CO交圆O于A，B两点，AD⊥CP，垂足为D． 求证：∠DAP＝∠BAP． B．选修4—2： 设a＞0，b＞0，若矩阵A＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4(a 0,0 b)) 把圆C：x2＋y2＝1变换为椭圆E：eq \F(x2,4)＋eq \F(y2,3)＝1．（1）求a，b的值；（2）求矩阵A的逆矩阵A－1． C．选修4—4：在极坐标系中，已知圆C：ρ＝4cosθ被直线l：ρsin(θ－ EQ \F(π,6))＝a截得的弦长为2 EQ \r( ,3)，求实数a的值． D．选修4—5：已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋ eq \o(\s\do-8(1),\s\do 0(—),\s\do 8(ab))≥4． 【必做题】第22题、第23题 22．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点． （1）求证：AE⊥平面PBC； （2）求二面角B－PC－D的余弦值． 23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1， 2，2，2，3，3．现从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和． （1）求概率P(X≥7)； （2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)． A．选修4—1：几何 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 选讲 证明：因为CP与圆O 相切，所以∠DPA＝∠PBA． 因为AB为圆O直径，所以∠APB＝90°， 所以∠BAP＝90°－∠PBA． 因为AD⊥CP，所以∠DAP＝90°－∠DPA， 所以∠DAP＝∠BAP． B．选修4—2：矩阵与变换 解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点， 经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′） 则eq \b\bc\[(\a\al\vs4(a 0,0 b)) eq \b\bc\[(\a\al\vs4(x,y))＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4(ax,by))＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4(x′,y′))，所以eq \b\lc\{(\a\al(x′＝ax，,y′＝by．))． 因为点P′（x′，y′）在椭圆E：eq \F(x2,4)＋eq \F(y2,3)＝1上， 所以eq \F(a2x2,4)＋eq \F(b2y2,3)＝1，这个方程即为圆C方程． 所以eq \b\lc\{(\a\al(a2＝4，,b2＝3．))，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝eq \R(,3)． （2）由（1）得A＝3)eq \b\bc\[(\a\al\vs4(2 0,0 )) ，所以A－1＝eq \b\bc\[(\a\al\vs4( 0,0 3)eq \F(,3) )) ． C．选修4—4：坐标系与参数方程 解：因为圆C的直角坐标方程为(x－2) 2＋y2＝4， 直线l的直角坐标方程为x－ EQ \r( ,3)y＋2a＝0． 所以圆心C到直线l的距离d＝eq \f(|2＋2a|,2) ＝|1＋a|． 因为圆C被直线l截得的弦长为2 EQ \r( ,3)，所以r2－d2＝3． 即4－(1＋a)2＝3．解得a＝0，或a＝－2． D．选修4—5：不等式选讲 已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋ eq \o(\s\do-8(1),\s\do 0(—),\s\do 8(ab))≥4．证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab． 所以a2＋4b2＋ eq \o(\s\do-8(1),\s\do 0(—),\s\do 8(ab))≥4ab＋ eq \o(\s\do-8(1),\s\do 0(—),\s\do 8(ab))≥21),\s\do 0(—),\s\do 8(ab))eq \R(,4ab×) ＝4．即a2＋4b2＋ eq \o(\s\do-8(1),\s\do 0(—),\s\do 8(ab))≥4． 22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)， D(0，3，0)，P(0，0，1)，E( EQ \F(1,2)，0， EQ \F(1,2))， EQ \o(\s\up6(→),AE)＝( EQ \F(1,2)，0， EQ \F(1,2))， EQ \o(\s\up6(→),BC)＝(0，1，0)， EQ \o(\s\up6(→),BP)＝(－1，0，1)． 因为 EQ \o(\s\up6(→),AE)· EQ \o(\s\up6(→),BC)＝0， EQ \o(\s\up6(→),AE)· EQ \o(\s\up6(→),BP)＝0， 所以 EQ \o(\s\up6(→),AE)⊥ EQ \o(\s\up6(→),BC)， EQ \o(\s\up6(→),AE)⊥ EQ \o(\s\up6(→),BP)．所以AE⊥BC，AE⊥BP． 因为BC，BP eq \o(,\d\fo0 ()\s\up1(())平面PBC，且BC∩BP＝B， 所以AE⊥平面PBC． （2）设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n· EQ \o(\s\up6(→),CD)＝0，n· EQ \o(\s\up6(→),PD)＝0． 因为 EQ \o(\s\up6(→),CD)＝(－1，2，0)， EQ \o(\s\up6(→),PD)＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0． 令x＝2，则y＝1，z＝3． 所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一个法向量． 因为AE⊥平面PBC，所以 EQ \o(\s\up6(→),AE)是平面PBC的法向量．所以cos< EQ \o(\s\up6(→),AE)，n>＝6(→),AE)eq \f(·n,| EQ \o(\s\up6(→),AE)|·|n|) ＝eq \f(5,14) ． 由此可知， EQ \o(\s\up6(→),AE)与n的夹角的余弦值为eq \f(5,14) ． 根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为－eq \f(5,14) ． 23．解（1）P(X＝7)＝eq \o\al(\s\up2(2),3) eq \f(CC eq \o\al(\s\up2(1),2) + C eq \o\al(\s\up2(2),2)C eq \o\al(\s\up2(1),2),C eq \o\al(\s\up2(3),7)) ＝ eq \f(8,35)，P(X＝8)＝eq \o\al(\s\up2(2),2) eq \f(CC eq \o\al(\s\up2(1),3),C eq \o\al(\s\up2(3),7)) ＝ eq \f(3,35)． 所以P（X≥7）＝ eq \f(11,35). ………………………4分 （2）P(X＝6)＝eq \o\al(\s\up2(1),2) eq \f(CC eq \o\al(\s\up2(1),3)C eq \o\al(\s\up2(1),2) + C eq \o\al(\s\up2(3),3),C eq \o\al(\s\up2(3),7)) ＝ eq \f(13,35)，P(X＝5)＝eq \o\al(\s\up2(2),2) eq \f(CC eq \o\al(\s\up2(1),2) + C eq \o\al(\s\up2(2),3)C eq \o\al(\s\up2(1),2),C eq \o\al(\s\up2(3),7)) ＝ eq \f(8,35)，P(X＝4)＝eq \o\al(\s\up2(2),2) eq \f(CC eq \o\al(\s\up2(1),3),C eq \o\al(\s\up2(3),7)) ＝ eq \f(3,35)． 所以随机变量X的概率分布列为 X 4 5 6 7 8 P eq \f(3,35) eq \f(8,35) eq \f(13,35) eq \f(8,35) eq \f(3,35) 　　　　　　　　　 所以E(X)＝4× eq \f(3,35)＋5× eq \f(8,35)＋6× eq \f(13,35)＋7× eq \f(8,35)＋8× eq \f(3,35)＝6． 高三数学周末练习（理科）（2012．11．3） 命题：张小波 尹震霞 审核：徐瑢 班级 姓名 学号 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1． 若 ，则 = ． 2．如果复数是实数，则实数 ． 3．已知 则 的值为 ． 4．在等差数列 则公差 ． 5．已知向量若，则＝ ． 6．从 内任意取两个实数，这两个数的平方和小于1的概率为 ． 7．已知变量 满足 ，则 的最大值是 9 ． 8．在 中， ， ， 为斜边 的中点，则 的值为 18 ． 9．已知数列 满足 ，则数列 的前 项的和是 ． 10．已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为 ． 11．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是 ． 12．设 ，若对于任意的 ，都有 满足方程 ，这时 所有取值构成的集合为 ． 13．点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于 ，若 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 14．已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ① ； ② ； ③ ； ④ 二、解答题 15．(本小题满分14分) 已知函数 ． （1）设 ，且 ，求 的值； （2）在 中， ， ，且 的面积为 ，求 的值． 1） = = ，得 ， 于是 ，因为 ，所以 ． （2）因为 ，由（1）知 ． 因为△ABC的面积为 ，所以 ，于是 . ① 在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b. 由余弦定理得 ，所以 ．  ② 由①②可得 或 于是 ． 由正弦定理得 ，所以 ． 16．（本小题满分 14分） 如图，在四棱锥 中，四边形 为平行四边形， ， ， 为 上一点，且 平面 ． （1）求证： ； （2）如果点 为线段 的中点，求证： ∥平面 ． 17．（本小题满分 14分） 如图，在半径为的圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为． （1）写出体积V关于的函数关系式； （2）当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？ 解：（1）连结OB，∵，∴， 设圆柱底面半径为，则， 即，所以其中 （2）由，得 因此在（0，）上是增函数，在（，30）上是减函数。 所以当时，V有最大值。 18．（本小题满分 16分） 已知抛物线与椭圆有公共焦点F，且椭圆过点D. (4) 求椭圆方程； (5) 点A、B是椭圆的上下顶点，点C为右顶点，记过点A、B、C的圆为⊙M，过点D作⊙M的切线l，求直线l的方程； (6) 过点A作互相垂直的两条直线分别交椭圆于点P、Q，则直线 PQ是否经过定点，若是，求出该点坐标，若不经过，说明理由. (1)，则c=2, 又，得 ∴所求椭圆方程为 （2）M,⊙M: 直线l斜率不存在时， 直线l斜率存在时，设为 ∴，解得∴直线l为或 （3）显然，两直线斜率存在, 设AP：代入椭圆方程，得，解得点同理得直线PQ： 令x=0，得，∴直线PQ过定点 19．（本小题满分 16分） 设 ，已知函数 的图象与 轴交于 两点． （1）求函数 的单调区间； （2）设函数 在点 处的切线的斜率为 ，当 时， 恒成立，求 的最大值； （3）有一条平行于 轴的直线 恰好与函数 的图象有两个不同的交点 ，若四边形 为菱形，求 的值． （1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞eq \F(2t,3)或x＜0时，f ′(x)＞0， 所以(－∞，0)和(eq \F(2t,3)，＋∞)为函数f (x)的单调增区间；当0＜x＜eq \F(2t,3)时，f ′(x)＜0，所以(0，eq \F(2t,3))为函数f (x)的单调减区间． （2）因为k＝3x02－2tx0≥－eq \F(1,2)恒成立，所以2t≤3x0＋eq \F(1,2x0)恒成立， 因为x0∈（0，1]，所以3x0＋eq \F(1,2x0)≥2x0)eq \R(,3x0×) ＝eq \R(,6)，即3x0＋eq \F(1,2x0)≥eq \R(,6)，当且仅当x0＝6)eq \F(,6) 时取等号．所以2t≤eq \R(,6)，即t的最大值为6)eq \F(,2) ． （3）由（1）可得，函数f (x)在x＝0处取得极大值0，在x＝eq \F(2t,3)处取得极小值－eq \F(4t3,27)． 因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f (x)的图象有两个不同的交点， 所以直线l的方程为y＝－eq \F(4t3,27)． …………………10分令f (x)＝－eq \F(4t3,27)，所以x2(x－t)＝－eq \F(4t3,27)，解得x＝eq \F(2t,3)或x＝－eq \F(t,3)．所以C（eq \F(2t,3)，－eq \F(4t3,27)），D（－eq \F(t,3)，－eq \F(4t3,27)）． 因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形． AD＝t,3)eq \R(,(－)2＋(－eq \F(4t3,27))2) ，且AD＝AB＝t， 所以t,3)eq \R(,(－)2＋(－eq \F(4t3,27))2) ＝t，解得：t＝eq \r(4,8)eq \F(3,2) ． 20．（本小题满分 16分） 设函数 ，数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，若 对 恒成立，求实数 的取值范围； （3）是否存在以 为首项，公比为 的数列 ， ，使得数列 中每一项都是数列 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列 的通项公式；若不存在，说明理由． ⑴因为 ，所以 ． 因为 ，所以数列 是以1为首项，公差为 的等差数列．所以 ． ⑵①当 时， EMBED Equation.DSMT4 ．②当 时， ．所以 要使 对 恒成立， 只要使 ． 只要使 ， 故实数 的取值范围为 ．⑶由 ，知数列 中每一项都不可能是偶数． ①如存在以 为首项，公比 为2或4的数列 ， ， 此时 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以 为首项，公比为偶数的数列 ． ②当 时，显然不存在这样的数列 ． 当 时，若存在以 为首项，公比为3的数列 ， ． 则 ， ， ， ． 所以满足条件的数列 的通项公式为 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A B C x y O A B D C P O · (第21A题) P A B C D E (第22题) A B D C P O · (第21A题) P A B C D E x y z � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A B C x y O PAGE 13 _1362319101.unknown _1413201743.unknown _1413213134.unknown _1413261391.unknown _1413264258.unknown _1413266150.unknown _1413266342.unknown _1413289307.unknown _1413289308.unknown _1413349568.unknown _1413289306.unknown _1413266351.unknown _1413266193.unknown _1413266225.unknown _1413266163.unknown _1413265874.unknown _1413266137.unknown _1413265851.unknown _1413264290.unknown _1413262880.unknown _1413263024.unknown _1413263057.unknown _1413264069.unknown _1413262930.unknown _1413261401.unknown _1413261447.unknown _1413261466.unknown _1413261477.unknown _1413261420.unknown _1413215218.unknown _1413215252.unknown _1413217779.unknown _1413261367.unknown _1413215238.unknown _1413215214.unknown _1413202645.unknown _1413202675.unknown _1413204739.unknown _1413204761.unknown _1413206636.unknown _1413202688.unknown _1413202657.unknown _1413202600.unknown _1413202615.unknown _1413201757.unknown _1413132813.unknown _1413132814.unknown _1413132815.unknown _1413176504.unknown _1413176564.unknown _1413176706.unknown _1413201725.unknown _1413176592.unknown _1413176528.unknown _1413132521.unknown _1413132597.unknown _1413132621.unknown _1413132662.unknown _1413132721.unknown _1413132734.unknown _1413132812.unknown _1413132704.unknown _1413132653.unknown _1413132608.unknown _1413132564.unknown _1413132574.unknown _1413132536.unknown _1400780405.unknown _1407511427.unknown _1362375119.unknown _1362375206.unknown _1362319126.unknown _1326385675.unknown _1357813817.unknown _1362294671.unknown _1362294856.unknown _1362295779.unknown _1362307951.unknown _1362308028.unknown _1362308212.unknown _1362295814.unknown _1362295237.unknown _1362294758.unknown _1362294813.unknown _1362294680.unknown _1362294623.unknown _1362294655.unknown _1362294665.unknown _1362294634.unknown _1358867634.unknown _1362294546.unknown _1357813828.unknown _1332750203.unknown _1357813695.unknown _1357813763.unknown _1357813793.unknown _1357813743.unknown _1332833913.unknown _1357813673.unknown _1332750284.unknown _1326386636.unknown _1326386964.unknown _1326387077.unknown _1326387120.unknown _1326387167.unknown _1326387063.unknown _1326386665.unknown _1326386895.unknown _1326386347.unknown _1326386530.unknown _1326386474.unknown _1326386082.unknown _1326386176.unknown _1326385789.unknown _1326364207.unknown _1326384742.unknown _1326385223.unknown _1326385474.unknown _1326385540.unknown _1326385324.unknown _1326385025.unknown _1326385113.unknown _1326384878.unknown _1326384432.unknown _1326384514.unknown _1326384624.unknown _1326384472.unknown _1326384327.unknown _1326384408.unknown _1326384192.unknown _1326307752.unknown _1326352593.unknown _1326353043.unknown _1326353161.unknown _1326353205.unknown _1326353297.unknown _1326353055.unknown _1326352911.unknown _1326352942.unknown _1326352969.unknown _1326352754.unknown _1326307870.unknown _1326308366.unknown _1326308417.unknown _1326352497.unknown _1326352577.unknown _1326308400.unknown _1326308415.unknown _1326308370.unknown _1326308329.unknown _1326308352.unknown _1326307976.unknown _1326307889.unknown _1326307800.unknown _1326307844.unknown _1326307780.unknown _1297668487.unknown _1326307659.unknown _1326307711.unknown _1326307739.unknown _1326307694.unknown _1305273981.unknown _1326307631.unknown _1283755407.unknown _1283755422.unknown _1289288277.unknown _1283755421.unknown _1142919319.unknown _1242305072.unknown