抽象函数专题抽象函数

第五讲 抽象函数 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1、（11陕西）设函数 （ R）满足 ， ，则函数 的图像是 （ ） 【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据题意，确定函数 的性质，再判断哪一个图像具有这些性质． 【解】选B 由 得 是偶函数，所以函数 的图象关于 轴对称，可知B，D符合；由 得 是周期为2的周期函数，选项D的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B． 2、.已知 是定义在R上的偶函数，且在 上为增函数， ，则不等式 的解集为 （ ） A． B． C． D． 3、已知函数f（x）有2个单调区间，则f（|x|）至多有_______单调区间 （    ） A．2个       B．3个                  C．4个        D．6个 解析:当f（x）的图象如草图所示时，f（|x|）的图象为，有四个单调区间 4、已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则(　　) A．f(6)>f(7) B．f(6)>f(9) C．f(7)>f(9) D．f(7)>f(10) 答案　D 解析　y＝f(x＋8)可看作是y＝f(x)左移8个单位 ∴y＝f(x)关于x＝8对称，两侧单调性相反． 5、已知函数 ，对任意的两个不相等的实数 ，都有 成立，且 ，则 的值是 A．0 B．1 C．2006！ D．（2006！）2 6、（2010重庆）已知函数满足：，，则=_____________. 解析：取x=1 y=0得；法一：通过计算，寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有f(n)=f(n+1)+f(n-1),同理f(n+1)=f(n+2)+f(n) 联立得f(n+2)= —f(n-1) 所以T=6 故=f(0)= ★★★高考要考什么 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点。可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 1． ：可类比正比例函数 （1） （赋值法） （2） 为奇函数，（3）若 时， 。则 为增函数。令 ，则 ，所以 ，即 ，则 为增函数。2 ：可类比可类比对数函数 3． 且 不恒为0：可类比幂函数 （1） （赋值法）（图象过点 ）， 令 ，得 ，有 或 若 ，有对任意 有 ，与 不恒为0矛盾。所以 （2）若 时， 。则 在 为增函数。 令 ，则 ① 令 ，则 ，有 则 在 为增函数。等等 ★★★突 破 重 难 点 例1．定义在R上的函数满足：对任意实数 ，总有，且当 时， ．。（1）试求 的值；（2）判断的单调性并证明你的结论；（3）设 ，若 ，试确定的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数 ． 解：（1）在中，令．得：． 因为 ，所以， ． （2）要判断的单调性，可任取 ，且设 ．在已知条件中，若取，则已知条件可化为： ．由于 ，所以 ． 为比较 的大小，只需考虑 的正负即可． 在 中，令 ， ，则得 ． ∵ 时， ，∴ 当 时， ． 又 ，所以，综上，可知，对于任意 ，均有 ． ∴ ．∴ 函数在R上单调递减． （3）首先利用 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含 的式子． ， ，即 ．由 ，所以，直线 与圆面无公共点．所以， ．解得： ． （4）如 ． 【点评】：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令 ；以及 等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决． 【变式】若定义在R上的函数 对任意 ，都有 成立，且当 时， >1。（1）求证： -1为奇函数；（2）求证： 是R上的增函数；（3）若 ，解不等式 。 分析、依题意有f(0)=2f(0)+1,得f(0)=-1,又f(x)=f[(x+x)-x]=f(x+x)+f(-x)+1=[f(x)+f(x)+1]+f(-x)+1=2f(x)+1+f(-x)+1,整理得f(x)+1=-f(-x)-1,我们记g(x)=f(x)+1,显然有g(x)=-g(-x),且g(0)=f(0)+1=0得g(x)为奇函数，（x为R）即f(x)+1为奇函数。 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 【变式】设函数 在 上满足 ， ，且在闭区间［0，7］上，只有 ．（1）试判断函数 的奇偶性和周期性； （2）试求方程 =0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论． .解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数 的对称轴为 , 从而知函数 不是奇函数, 由 ,从而知函数 的周期为 又 ,故函数 是非奇非偶函数; (2) 由 又 故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解, 从而可知函数 在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解, 所以函数 在[-2005,2005]上有802个解. ★★★自主尝试 1、函数f(x)对于任意非负实数x、y都满足，且f(x)≥0，f(1)≠0，则=______。 2、f(x)是定义在R上的函数，对任意的x∈R，都有f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2，设g(x)=f(x)-x，（1）求证g(x)是周期函数；（2）如果f(1010)=1009，求f(2012)的值。 1． 这题f(x)不容易具体化，但是它的值则是可以具体化的。例如设x=0，y=0。则由，得，，f(0)=0。再设x=0，y=1。 得，以f（0）=0代入，已知f(1) ≠0，∴。 设x=1，y=1，得，即。 设x=2，y=1，得，。 设x=0，，得，∴。 设x=0，，得， 即，。至此可求， 。 2．解：本例的难度显然又有增加，主要是难以具体化。只能在抽象的层面来解决问题 （1）g(x)=f(x)-x，可得g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3， 再以f(x+3) ≤f(x)+3和f(x+2) ≥f(x)+2代换，可得 ，① ，② 由①可得g(x+4) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)+2-x-2=f(x)-x， g(x+6) ≥f(x+2)-x-2≥f(x)-x。③；由②可得g(x+6) ≤f(x+3)-x-3≤f(x)-x，④ 由③、④知g(x+6)=f(x)-x=g(x)。∴g(x)是周期函数获证（6是它的一个周期） （2）2012-1010=1002是6的整数倍，所以g(2012)=g(1010)，即f(2012)-2012=f(1010)-1010 f(2012)=f(1010)+1002=1002+1009=2011。 本题的不同之处在于没有“具体化”，而是利用f(x+3)与f(x+2)的反复操作以求g(x+6)与f(x)的关系，进而得到g(x+6)=g(x)，以达到证明的目的。 _1179840479.unknown _1387996449.unknown _1387997604.unknown _1403345526.unknown _1387997549.unknown _1387997321.unknown _1369105619.unknown _1369105912.unknown _1369105731.unknown _1369105774.unknown _1369105711.unknown _1369105710.unknown _1369105618.unknown _1179840615.unknown _1179840917.unknown _1179841142.unknown _1179840759.unknown _1179840572.unknown _1179731968.unknown _1179732022.unknown _1179840447.unknown _1179732005.unknown _1179731952.unknown _1179731960.unknown _1179731939.unknown _1179731944.unknown