高中数学奥林匹克竞赛讲座：09圆

高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家 竞赛讲座09 －圆 基础知识 如果没有圆，平面几何将黯然失色． 圆是一种特殊的几何图形，应当掌握圆的基本性质，垂线定理，直线与圆的位置关系，和圆有关的角，切线长定理，圆幂定理，圆和圆的位置关系，多边形与圆的位置关系． 圆的几何问题不是独立的，它与直线形结合起来，将构成许多丰富多彩的、漂亮的几何问题，“三角形的心”，“几何著名的几何定理”，“共圆、共线、共点”，“直线形” 将构成圆的综合问题的基础． 本部分着重研究下面几个问题： 1．角的相等及其和、差、倍、分； 2．线段的相等及其和、差、倍、分； 3．二直线的平行、垂直； 4．线段的比例式或等积式； 5．直线与圆相切； 6．竞赛数学中几何命题的等价性． 命题分析 例1．已知 为平面上两个半径不等的⊙ 和⊙ 的一个交点，两圆的外公切线分别为 ， 、 分别为 、 的中点，求证： ． 例2．证明：唯一存在三边长为连续整数且有一个角为另一个角的两倍的三角形． 例3．延长 至 ，以 为直径作半圆，圆心为 ， 是半圆上一点， 为锐角． 在线段 上， 在半圆上， ∥ ，且 ， ∥ ．求证： ． 例4．求证：若一个圆外切四边形有两条对边相等，则圆心到另外两边的距离相等． 例5．设 是△ 中最小的内角，点 和 将这个三角形的外接圆分成两段弧， 是落在不含 的那段弧上且不等于 与 的一个点，线段 和 的垂直平分线分别交线段 于 和 ，直线 和 相交于 ．证明： ． 例6．菱形 的内切圆 与各边分别切于 ，在 与 上分别作⊙ 切线交 于 ，交 于 ，交 于 ，交 于 ，求证： ∥ ． 例7．⊙ 和⊙ 与△ 的三边所在直线都相切， 为切点，并且 的延长线交于点 ．求证：直线 与 垂直． 例8．在圆中，两条弦 相交于 点， 为弦 上严格在 、 之间的点．过 的圆在 点的切线分别交直线 、 于 ．已知 ，求 （用 表示）． 例9．设点 和 是△ 的边 上的两点，使得 ．又设 和 分别是△ 、△ 的内切圆与 的切点．求证： ． 例10．设△ 满足 ， ，过 作△ 外接圆 的切线，交直线 于 ，设 关于直线 的对称点为 ，由 到 所作垂线的垂足为 ， 的中点为 ， 交 于 点，证明直线 为△ 外接圆的切线． 例11．两个圆 和 被包含在圆 内，且分别现圆 相切于两个不同的点 和 ． 经过 的圆心．经过 和 的两个交点的直线与 相交于点 和 ，直线 和直线 分别与 相交于点 和 ．求证： 与 相切． 例12．已知两个半径不相等的⊙ 和⊙ 相交于 、 两点，且⊙ 、⊙ 分别与⊙ 内切于 、 两点．求证： 的充要条件是 、 、 三点共线． 例13．在凸四边形 中， 与 不平行，⊙ 过 、 且与边 相切于点 ，⊙ 过 、 且与边 相切于点 ．⊙ 和⊙ 相交于 、 ，求证： 平分线段 的充要条件是 ∥ ． 例14．设凸四边形 的两条对角线 与 互相垂直，且两对边 与 不平行．点 为线段 与 的垂直平分线的交点，且在四边形的内部．求证： 、 、 、 四点共圆的充要条件为 ． 训练题 1．△ 内接于⊙ ， ，过、两点⊙ 的切线交于 ， 为 的中点，求证：（1） ；（2） ． 2．已知 分别是△ 外接圆上不包含 的弧 的中点， 分别和 、 相交于 、 两点， 分别和 、 相交于 、 两点， 分别和 、 相交于 、 两点．求证： 的充要条件是△ 为等边三角形． 3．以△ 的边 为直径作半圆，与 、 分别　交于点 和 ，过 、 作 的垂线，垂足分别为 、 ．线段 、 交于点 ．求证： ． 4．在△ 中，已知 内的旁切圆与 相切于 ， 内的旁切圆与 相切于 ，过 和 的中点 和 作一直线，求证：直线 平分△ 的周长，且与 的平分线平行． 5．在△ 中，已知，过该三角形的内心 作直线平行于 交 于 ．在 边上取点 使得 ．求证： ． 6．半圆圆心为 ，直径为 ，一直线交半圆于 ，交 于 （ ）．设 是△ 与△ 的外接圆除点 外之另一交点．求证： 为直角　． 7．已知， 是锐角△ 的角平分线， ， ，且 ．求证： ． 8． 为△ 的边 上任一点， 分别为△ 、△ 、△ 的内切圆半径； 分别为这三个三角形的旁切圆半径（在 内部）． 求证： ． 9．设 是△ 的边 上的一个内点， 交△ 外接圆于 ， 、 是 分别到 和 的垂足， 是直径为 的圆．证明： 与⊙ 相切当且仅当 ． 10．若 是圆的弦， 是 的中点，过 任意作弦 和 ，连 分别交 于 ，则 ． 11．设 为△ 的垂心， 为该三角形外接圆上的一点， 是高 的垂足，并设 与 都是平行四边形， 与 交于 ．证明： ∥ ． 12．在△ 中， 的平分线分别交 及三角形的外接圆于 和 ， 是内切圆圆心．证明：（1） ；（2） ． 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