高中数学联赛培训讲义
宁波滨海学校 高建彪
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高。
第一讲 集合、函数、方程
例1.集合{x|－1≤log
10<－
，1
表
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示A的元素个数 （93年）
③若非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A
A∩B成立的所有a的集合是 。 （98年）
例2.f(x) （x∈R）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x
，则：f(
)、 f(
)、f(
)由小到大的排列是 。 (98年全国高中联赛)
【分析】利用周期函数、偶函数的性质，将函数自变量转化到区间[0,1]，再比大小。
【解】
【小结】周期函数的性质、偶函数性质、幂函数单调性；转化思想。
练习①设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[-2,0]时，f(x)的解析式是 。 (90年)
A. f(x)＝x＋4 B. f(x)＝2－x C. f(x)＝3－|x＋1| D. f(x)＝2＋|x＋1|
②若a>1，b>1，且lg(a＋b)＝lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值 。 (98年)
A.等于lg2 B.等于1 C.等于0 D.不是与a、b无关的常数
③设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10＋x)＝f(10－x),
f（20－x）＝－f(20＋x)，则f(x)是 。 (92年)
A.偶函数，又是周期函数 B.偶函数，但不是周期函数
C.奇函数，又是周期函数 D.奇函数，但不是周期函数
例3.设x与y为实数，满足(x－1)
＋1997(x－1)＝－1，(y－1)
＋1997(y－1)＝1，则x＋y＝ 。 （97年全国高中联赛）
【分析】构造函数f(t)＝t
＋1997t，将两等式变成函数值，再利用函数性质。
【解】
【小结】巧妙地构造函数，利用函数的奇偶性、单调性；简单的函数方程。
练习①已知方程|x－2n|＝k
（n∈N）在区间(2n－1，2n＋1)上有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 (95年)
A. k>0 B. 00都成立的充要条件是 。 (94年)
A. a与b同时为0，且c>0 B.
＝c C.
c
④.已知x、y∈[－
,
]，a∈R，且
，则cos(x＋2y)＝ 。（提示：构造函数法） （94年）
第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例1.等比数列{a
}首项a
＝1536,公比q＝－
。用π
表示它的前n项之积，则π
（n∈N）最大是 。 A. π
B. π
C. π
D. π
(96年全国高中联赛)
【分析】先求出π
的表达式，再讨论该式的最大值问题。
【解】
【小结】等比数列的通项公式、函数最值问题、分类讨论法。
练习①.设x≠y，且两数列x，a
，a
，a
，y和b
，x，b
，b
，y，b
均为等差数列，那么
＝ 。 （88年）
②. 设x,y,z是实数，3x、4y、5z成等比数列，且
、
、
成等差数列，则
＋
的值是 。 （92年）
③.设等差数列{a
}满足3a
＝5a
，且a
>0，S
为前n项之和。则S
(n∈N)中最大的是 。 A. S
B. S
C. S
D. S
(95年)
例2.已知数列{a
}满足3a
＋a
＝4 (n≥1)，且a
＝9，其前n项之和为S
，则满足不等式|S
－n－6|<
的最小整数n是 。 （94年全国高中联赛）
【分析】先求S
【解】
【小结】构造法。数列前n项和公式。
练习①.设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3,且各项的和为97
,则这样的数列共有 。 A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 (97年)
②.对于每个自然数n，抛物线y＝(n
＋n)x
－(2n＋1)x＋1与x轴交于A
、B
两点，以|A
B
|表示该两点间距离，则|A
B
|＋|A
B
|＋…＋|A
B
|＝ 。 (92年)
③.一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为 。(89年)
例3.设正数列a
，a
，a
，…，a
，… 满足
－
＝2a
（n≥2），且a
＝a
＝1，求a
/ a
的值。
【分析】将已知的代数式进行变形，构造一个新的数列使问题简化。
【解】
【小结】构造法。
练习①.将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第n组有(2n－1)个奇数进行分组：第一组{1}、第二组{3,5,7}、第三组{9,11,13,15,17}、…。则1991位于第 组中。 （91年）
②. 已知数列{x
}满足x
＝x
－x
(n≥2)，x
＝a，x
＝b，记S
＝x
＋x
＋…＋x
。则下列结论正确的是 。 （97年）
A. x
＝－a， S
＝2b－a B. x
＝－b， S
＝2b－a
C. x
＝－b， S
＝b－a B. x
＝－a， S
＝b－a
③.已知集合M＝{x,xy,lg(xy)}，N＝{0,|x|,y}，并且M＝N，那么(x＋
)＋（x
＋
）＋（x
＋
）＋…＋（x
＋
）的值等于 。 （87年）
第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例1.等比数列{a
} (96年全国高中联赛)
【分析】
【解】
【小结】
练习①.
②.
③.
例2.
【分析】
【解】
【小结】
练习①.
②.
③.
例3.
【解】
【小结】
练习①.
②.
③.
第三讲 数列、数列递推、数学归纳法
例1.等比数列{a
} (96年全国高中联赛)
【分析】
【解】
【小结】
练习①.
②.
③.
例2.
【分析】
【解】
【小结】
练习①.
②.
③.
例3.
【解】
【小结】
练习①.
②.
③.
2001年全国高中数学联合竞赛试题
第一试
(2001年10月14日 8:00—9:40)
一、选择题(每小题6分，满分36分)
1. 已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A.1
B.2
C.4
D.不确定
2. 命题1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；
命题2 长方体中，必存在到各棱离相等的点；
命题1 长方体中，必存在到各面离相等的点；
以上三个命题中正确的有( )
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
3. 在四个函数y＝sin|x|，y＝cos|x|，y＝|ctgx|，y＝lg|sinx|中以π为周期、在(0，
)上单调递增的偶函数是( )
A.y＝sin|x|
B.y＝cos|x|
C.y＝|ctgx|
D.y＝lg|sinx|
4. 如果满足∠ABC＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，那么k的取值范围是( )
A.k＝8
B.0＜k≤12
C.k≥12 D. 0＜k≤12或k＝8
5. 若(1＋x＋x2)1000的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋……＋a2000x2000，则a0＋a3＋a6＋a9＋……＋a1998的值为( )
A.3333
B.3666
C.3999
D.32001
6. 已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，二4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是( )
A.2枝玫瑰花价格高
B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同
D.不确定
二、填空题(每小题9分，满分54分)
7. 椭圆ρ＝
的短轴长等于______________.
8. 若复数z1，z2满足|z1|＝2，|z2|＝3，3z1－2z2＝
－i，则z1z2＝_____________.
9. 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1C1与BD1的距离是_____________.
10. 不等式
的解集为________________.
11. 函数y＝x＋
的值域为_______________.
12. 在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图)，要求同一块种种植一种植物，相邻的两块种植不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有________种栽种
方案
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.
三、解答题(每小题20分，满分60分)
13. 设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且b1＝a12， b2＝a22， b3＝a32(a1＜a2)，又
(b1＋b2＋……＋bn)＝
＋1，试求{an}的首项与公差.
14. 设曲线C1：
＝1(a为正常数)与C2：y2＝2(x＋m)在x轴上方仅有一个公共点P
(1)求实数m的取值范围(用a表示)
(2)O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0＜a＜
时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示)
15. 用电阻值分别为a1、a2、a3、a4、a5、a6(a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞a6)的电阻组装成一个如图的组件，组装中应该如何选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小?证明你的结论.
A
B
C
D
E
F
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