如何求三角函数的周期 如何求三角函数的周期 三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的周期也是一个难点，下面通过几个例
题
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谈谈三角函数周期的求法． 1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期 例1 求下列函数的周期 , ． (1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数 ，对于函数定义域内的每一个 值都能使 成立，同时考虑到正弦函数 的周期是 ． 解：∵ , 即 ． ∴ 当自变量由 增加到 时，函数值重复出现，因此 的周期是 ． (2) 分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数 ，对于函数定义域内的每一个 值都能使 成立，同时考虑到正切函数 的周期是 ． 解：∵ , 即 ． ∴ 函数 的周期是 ． 注意：1、根据周期函数的定义，周期 是使函数值重复出现的自变量 的增加值， 如 周期不是 ，而是 ； 2、 是定义域内的恒等式，即对于自变量 取定义域内的每个值时，上式都成立． 2、根据公式求周期 对于函数 或 的周期公式是 ， 对于函数 或 的周期公式是 ． 例3 求函数 的周期 解： ． 3、把三角函数
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达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期 例4 求函数 的周期 解： ∴ ． 例5 已知函数 求周期 解：∵ ∴ ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期 例6 求函数 的周期 解：∵ ∴ ． 例7 求函数 的周期 解：∵ ∴ 函数 的最小正周期 ． 5、若函数 ，且 ，都是周期函数，且最小正周期分别为 ，如果找到一个正常数 , 使 ， ( 均为正整数且互质)，则 就是 的最小正周期． 例8 求函数 的周期 解：∵ 的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ． ∴ 函数 的周期 ，把 代入得 ，即 ， 因为 为正整数且互质， 所以 ． 函数 的周期 ． 例9 求函数 的周期 解： ∵ 的最小正周期是 ， 的最小正周期是 ， 由 ， ， ( 为正整数且互质), 得 ． 所以 函数 的周期是 ． 函数的周期性 --函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题 一.明确复习目标 1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期； 2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。 二、建构知识网络 1.函数的周期性定义： 若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。 周期函数定义域必是无界的 2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。 周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 3.若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。 （若f(x)满足f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别) 4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a
0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ； 5.数列 中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。 四.经典例题做一做 【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。 解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2,是偶函数 ∴ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x∈(1,2). 解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数 ∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x∈(1,2)时x-2∈（-1，0） ∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x. 提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化; 2.用好数形结合,对解题很有帮助. 【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。 解： 周期为8， 法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。 方法提炼： 1.求周期只需要弄出一个常数; 2.注意既得关系式的连续使用. 【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 . ①求 的周期； ②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z ); ③讨论f(x)在(1,2)上的单调性； 解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4. ②设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y). ∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称. 又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称. ③设1
总结
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解周期性、单调性及图象对称性的方法。 【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5. ① 证明： ；②求 的解析式； ③求 在 上的解析式. 解：∵ 是以 为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴ ，∴ . ②当 时，由题意可设 ， 由 得 ，∴ ， ∴ . ③∵ 是奇函数，∴ ， 又知 在 上是一次函数，∴可设 ，而 ， ∴ ，∴当 时， ， 从而 时， ，故 时， . ∴当 时，有 ，∴ . 当 时， ， ∴ ∴ . 五．提炼总结以为师 1.函数的周期性及有关概念; 2.用周期的定义求函数的周期; 3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系; 同步练习 2．7 函数的周期性 【选择题】 1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－ ）的值为 A.0 B. C.T D.－ 2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0， ］时，f（x）=sinx，则f（ ）的值为 A.－ B. C.－ D. 【填空题】 3.设 是定义在 上，以2为周期的周期函数，且 为偶函数，在区间[2，3]上， = ,则 = 4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周 5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数，且 ，又当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。 答案提示：1、A；由f（ ）=f（－ +T）=f（－ ）=－f（ ），知f（ ）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx） 2、D； f（ ）=f（ －2π）=f（－ ）=f（ ）=sin = . 3、 ; 4、8； 5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3) ∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -6 6、 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6 【解答题】 7.设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001－x)对一切x∈R均成立，试讨论f(x)的奇偶性. 解: ∵周期是2002, ∴ f(2002+x)=f(x), 又由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x) ∴对任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数. 8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x∈[2,3]时f(x)=x，求x∈[-2,0]时f(x)的解析式。 分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。 解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x). 又由于f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1
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