2011年高考试题解析数学 理科 分项版之专题04 数列

高考学习网 2011年高考试 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解析数学（理科）分项版 04 数列 一、选择题: 1. (2011年高考天津卷理科4)已知 为等差数列，其公差为-2，且 是 与 的等比中项， 为 的前n项和, ,则 的值为 A．-110 　　 B．-90 　　 C．90 　 D．110 3. (2011年高考四川卷理科8)数列 的首项为 ， 为等差数列且 .若则 ， ，则 ( ) （A）0 （B）3 （C）8 （D）11 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：B 解析：由已知知 由叠加法 . 4.(2011年高考全国卷理科4)设 为等差数列 的前 项和，若 ，公差 ， ，则 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5 【答案】D 【解析】 故选D。 2. (2011年高考广东卷理科11)等差数列 前9项的和等于前4项的和.若 ，则 . 【答案】10 【解析】由题得 3. (2011年高考湖北卷理科13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升 答案： 解析：设从上往下的9节竹子的容积依次为a1,a2,，……，a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得： .即第5节竹子的容积 . 4.(2011年高考陕西卷理科14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。 【答案】2000 【解析】设树苗集中放置在第 号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为 = 即 时 . 5.(2011年高考重庆卷理科11)在等差数列 中， ，则 解析：74. ，故 6.(2011年高考江苏卷13)设 ，其中 成公比为q的等比数列， 成公差为1的等差数列，则q的最小值是________ 【答案】 【解析】考察综合运用等差、等比的概念及通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ，不等式的性质解决问题的能力，难题。 由题意： ， ，而 的最小值分别为1，2，3； 。 7．(2011年高考北京卷理科11)在等比数列{an}中，a1= ，a4=-4，则公比q=______________； ____________。 【答案】—2 三、解答题: 1. (2011年高考山东卷理科20)（本小题满分12分） 等比数列 中， 分别是下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 第一、二、三行中的某一个数，且 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行 9 8 18 （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）若数列 满足： ，求数列 的前 项和 . 【解析】（I）当 时，不合题意； 当 时，当且仅当 时，符合题意； 当 时，不合题意。 因此 所以公式q=3， 故 （II）因为 所以 所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 2.(2011年高考辽宁卷理科17)（本小题满分12分） 已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8= -10 （I）求数列{an}的通项公式； （II）求数列 的前n项和. 所以 . 综上，数列 的前n项和为 . 3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列 的首项 ( ),设数列的前n项和为 ，且 ， ， 成等比数列（Ⅰ）求数列 的通项公式及 （Ⅱ）记 ， ，当 时，试比较 与 的大小. 【解析】（Ⅰ） 则 ， （Ⅱ） 因为 ，所以 当 时， 即 ； 所以当 时， ；当 时， . 4.(2011年高考安徽卷理科18)（本小题满分13分） 在数1和100之间插入 个实数，使得这 个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记作 ，再令 . （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 求数列 的前 项和 . 【命题意图】：本题考查等比和等差数列，指数和对数运算，两角差的正切公式等基本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力。 【解析】：（Ⅰ） 构成递增的等比数列，其中 ， ，则 ① ② ①×②并利用等比数列性质 得 ， （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 又 所以数列 的前 项和为 【解题指导】：做数列题时应优先运用数列的相关性质，本题考查的是等比数列前n项积，自然想到等比数列性质： ，倒序相乘法是借鉴倒序相加法得到的，这样处理就避免了对n奇偶性的讨论。 第二问的数列求和应联想常规的方法：倒序相加法，错位相减法，裂项相消法。而出现 时自然应该联想正切的和角或差角公式。本题只要将这两个知识点有机结合起来就可以创造性的把问题解决。 5. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分） 等比数列 的各项均为正数，且 (1)求数列 的通项公式. (2)设 求数列 的前项和. 所以，数列 的前 项和为 点评：本题考查等比数列通项公式，性质、等差数列前 项和，对数运算以及数列求和（列项求和）与数列综合能力的考查。解答过程要细心，公式性质要灵活运用。 6. (2011年高考天津卷理科20)（本小题满分14分） 已知数列 与 满足： ， ，且 ． （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 ，证明： 是等比数列； （Ⅲ）设 证明： ． 【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. （Ⅰ）解:由 , ,可得 , 又 当n=1时, ,由 , ,得 ; 当n=2时, ,可得 . 当n=3时, ,可得 . （Ⅱ）证明:对任意 , ,① ,② ,③ ②-③得 ④, 将④代入①,可得 即 ( ),又 , 故 ,因此 ,所以 是等比数列. （III）证明：由（II）可得 ， 于是，对任意 ，有 将以上各式相加，得 即 ， 此式当k=1时也成立.由④式得 从而 所以，对任意 ， 对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意 7. (2011年高考江西卷理科18)（本小题满分12分） 已知两个等比数列 ， ，满足 ， ， ， . （1）若 ，求数列 的通项公式； （2）若数列 唯一，求 的值. 8. (2011年高考湖南卷理科16)对于 ，将 表示为 ，当 时， ，当 时， 为 或 .记 为上述表示中 为 的个数（例如： ， ，故 ， ），则（1） ；（2） . 答案： 2; 1093 解析：（1）由题意知 ，所以 2； （2）通过例举可知： ， ， ， ， ， ， ， ，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律： 从而 . 评析：本小题主要考查学生的阅读理解能力、探究问题能力和创新意识.以二进制为知识背景，着重考查等比数列求和以及“杨辉三角”中的规律的理解和运用. 9. (2011年高考广东卷理科20)设 数列 满足 , (1)​ 求数列 的通项公式； (2)​ 证明：对于一切正整数n, 【解析】（1）由 令 ， 当 ①当 时， ②当 （2）当 时，（欲证 ） ， 当 综上所述 10. (2011年高考湖北卷理科19)（本小题满分13分） 已知数列 的前n项和为 ，且满足： (Ⅰ)求数列 的通项公式； (Ⅱ)若存在 ，使得 成等差数列，试判断：对于任意的 ，且 ， 是否成等差数列，并证明你的结论. 本小题主要考查等差数列、等比数列基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与一般的思想. 解析： （Ⅰ）由已知 ，可得 ，两式相减可得 即 又 ，所以当 时，数列 为： ； 当 时，由已知 ，所以 于是由 ，可得 ， 成等比数列， 当 时， 综上，数列 的通项公式为 （Ⅱ）对于任意的 ，且 成等差数列，证明如下： 当r=0时，由（Ⅰ）知， ∴对于任意的 ，且 成等差数列； 当 时， 若存在 ，使得 成等差数列，则 ， 即 ， 由（Ⅰ）知， 的公比r+1=—2，于是对于任意的 ，且 ， 从而 ， ， 即 成等差数列. 综上，对于任意的 ，且 成等差数列. 11.(2011年高考重庆卷理科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 设实数数列 的前n项和 满足 （Ⅰ）若 成等比数列，求 和 （Ⅱ）求证：对 有 。 解析：（Ⅰ）由题意 ，得 ， 由 是等比中项知 ，因此 ， 由 ，解得， （Ⅱ）证明：有题设条件有 ， 故 ，且 从而对 有 ① 因 ，且 ， 要证 ，由①，只要证 即证 ，即 ，此式明显成立， 因此 。 最后证， ，若不然， ， 又因 ，故 ，即 。矛盾， 12．(2011年高考四川卷理科20) (本小题共12分) 设d为非零实数，an = [C1n d+2Cn2d2+…+(n—1)Cnn-1d n-1+nCnndn](n∈N*). (I)​ 写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设bn=ndan (n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn． 解析：（1） 13.(2011年高考全国卷理科20)设数列 满足 且 （Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）设 【解析】：（Ⅰ）由 得 ， 前项为 ， （Ⅱ） 14.(2011年高考江苏卷20)设M为部分正整数组成的集合，数列 的首项 ，前n项和为 ，已知对任意整数k属于M，当n>k时， 都成立 （1）设M=｛1｝， ，求 的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列 的通项公式 【解析】考察等差数列概念、和与通项关系、集合概念、转化与化归、分析问题与解决问题的能力，其中（1）是容易题，（2）是难题。 （1） 即： 所以，n>1时， 成等差，而 ， （2）由题意： ， 当 时，由（1）（2）得： 由（3）（4）得： 由（1）（3）得： 由（2）（4）得： 由（7）（8）知： 成等差， 成等差；设公差分别为： 由（5）（6）得： 由（9）（10）得： 成等差，设公差为d, 在（1）（2）中分别取n=4,n=5得： 15．(2011年高考江苏卷23)（本小题满分10分） 设整数 ， 是平面直角坐标系 中的点，其中 （1）记 为满足 的点 的个数，求 ； （2）记 为满足 是整数的点 的个数，求 解析：考察计数原理、等差数列求和、分类讨论、归纳推理能力，较难题。 （1）因为满足 的每一组解构成一个点P,所以 。 （2）设 ，则 对每一个k对应的解数为：n-3k,构成以3为公差的等差数列； 当n-1被3整除时，解数一共有： 当n-1被3除余1时，解数一共有： 当n-1被3除余2时，解数一共有： 16．(2011年高考北京卷理科20)（本小题共13分） 若数列 满足 ，数列 为 数列，记 = ． （Ⅰ）写出一个满足 ，且 〉0的 数列 ； （Ⅱ）若 ，n=2000，证明：E数列 是递增数列的充要条件是 =2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列 ，使得 =0？如果存在，写出一个满足条件的E数列 ；如果不存在，说明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E数列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E的数列A5） （Ⅱ）必要性：因为E数列A5是递增数列， 所以 . 因为 所以 为偶数, 所以要使 为偶数, 即4整除 . 当 时，有 当 的项满足， 当 不能被4整除，此时不存在E数列An， 使得 17．(2011年高考福建卷理科16)（本小题满分13分） 已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3= 。 （I）求数列{an}的通项公式； （II）若函数 在 处取得最大值，且最大值为a3，求函数f（x）的解析式。 解：（I）由 解得 所以 （II）由（I）可知 因为函数 的最大值为3，所以A=3。 因为当 时 取得最大值， 所以 又 所以函数 的解析式为 18．(2011年高考上海卷理科22)（18分）已知数列 和 的通项公式分别为 ， （ ），将集合 中的元素从小到大依次排列，构成数列 。 （1）求 ； （2）求证：在数列 中．但不在数列 中的项恰为 ； （3）求数列 的通项公式。 解：⑴ ； ⑵ ① 任意 ，设 ，则 ，即 ② 假设 （矛盾），∴ ∴ 在数列 中．但不在数列 中的项恰为 。 ⑶ ， ， ， ∵ ∴ 当 时，依次有 ，…… ∴ 。