1 函数单调性练习题 1. （1）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，则实数a的取值范围是 . （2）已知函数f(x)＝x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞，4］，则实数a的取值范围是 . （3）已知x∈[0，1]，则函数 的最大值为_______最小值为_________ 2.讨论函数f(x)＝ (a≠0)在区间(-1，1)内的单调性. 解：设-1＜x1＜x2＜１，则f(x1)-f(x2)＝ - ＝ ∵x1，x2∈(-1，1)，且x1＜x２，∴x1-x2＜0，1+x1x2＞0，(1-x21)(1-x22)＞0 于是，当a＞0时，f(x1)＜f(x2)；当a＜0时，f(x1)＞f(x2). 故当a＞0时，函数在(-1，1)上是增函数；当a＜0时，函数在(-1，1)上为减函数. 3.判断函数f(x)=－x3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x∈（0，＋∞），函数f(x)是增函数还是减函数？ 4. 已知：f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－1)
1 D.a>-2 解：f(x)＝＝＝＋a. 任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x10，x1＋2>0，x2＋2>0，∴1－2a<0，a>. 即实数a的取值范围是. 7.已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 解析：f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2 1，所以f(y) - f(x) = f(y/x) < 0 。故f单调减。 （3）f(3) = -1，f(3) = f(9/3) = f(9) - f(3)，f(9) = -2而 f（｜x｜)＜-2 = f(9)，且f单调减，所以| x | > 9 x＞9或x＜-9 10.函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3. （1）设x1,x2∈R，且x1＜x2, 则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1. f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1).即f(x)是R上的增函数. （2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，∴f（2）=3，∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2), ∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 解得-1＜m＜ ,故解集为 . 11.设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的， （1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）； （2）设f（2）=1，解不等式 。 （1）证明： ，令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0， 。 （2）解：∵ ， ∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4）， ∴ 等价于： ①， 且x>0，x-3>0[由f（x）定义域为（0，+∞）可得 ∵ ，4>0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数， ∴① 。又x>3，∴原不等式解集为：{x|30，则f(x)的定义域是________； (2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________． 解析： (1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是； (2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时10，此时a<0. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]． 13. 定义在 上的函数 ， ，当 时， ，且对任意的 ，有 . (1)求 的值；(2)求证：对任意的 ，恒有 ；(3)若 ，求 的取值范围. 解：（1）解：令 ，则 又 ， . （2）证明：当 时， ，∴ ∵ ，∴ 又 时， ∴对任意的 ，恒有 . （3）解：设 ，则 . ∴ . 又 ∴ = ∴ .∴ 是 上的增函数. 由 ， 得 .∴ ，∴ ∴所求的x的取值范围为 14.已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)在R上是减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值． (1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)， ∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)． 在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)． 又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)
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