1.1.3 中心投影和平行投影
明目标、知重点
1.了解投影、中心投影和平行投影的概念；2.能画出简单几何体的三视图，能识别三视图所
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示的立体模型．
1．投影
(1)投影的定义
投影是光线(投射线)通过物体，向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的方法．
(2)投影的分类
①中心投影：投射线交于一点的投影．
②平行投影：投射线互相平行的投影．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．
2．视图的定义
视图是指将物体按正投影向投影面投射所得到的图形．
3．三视图
(1)三视图的概念
光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下投影所得的投影称为俯视图，自左向右投影所得的投影称为左视图，用这三种视图刻画空间物体的结构，称之为三视图．
(2)三视图的画法要求
主视图与左视图的高要保持平齐，主视图与俯视图的长应对正，俯视图与左视图的宽应相等．
[情境导学] 从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不识庐山真面目，只缘身在此山中．”对于我们所学几何体，从不同方向看到的形状也各有不同，我们通常用三视图和直观图来把几何体画在纸上．
探究点一 中心投影与平行投影
问题 在建筑、机械等工程中，需要用平面图形反映空间几何体的形状和大小，在作图技术上这也是一个几何问题，要想知道这方面的基础知识，请先阅读教材第11页，然后思考下列问题．
思考1 你知道什么是投影、投影线、投影面吗？
答 光是直线传播的，一个不透明物体在光的照射下，就会在物体后面的墙壁或地面上留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的墙壁或地面叫做投影面．
思考2 我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，那么用灯泡照射物体和用手电筒照射物体形成的投影分别是哪种投影？
答 灯泡照射物体形成的投影是中心投影；手电筒照射物体形成的投影是平行投影．
思考3 用灯泡照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与灯泡的距离发生变化时，影子的大小会有什么不同？
答 在投影面上形成的影子形状与原物体相似，大小比原物体大．当物体离灯泡越近，在投影面上的影子越大．
思考4 用手电筒照射一个与投影面平行的不透明物体，在投影面上形成的影子与原物体的形状、大小有什么关系？当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小会有变化吗？
答 形状和大小是相同的；当物体与手电筒的距离发生变化时，影子的大小不变．
思考5 在平行投影中，投影线正对着投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影．一个与投影面平行的平面图形，在正投影和斜投影下的形状、大小是否发生变化？
答 形状、大小都不发生变化．
例1 如图所示
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图中的________．(填序号)
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
①②③
解析 要画出四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影，只需画出四个顶点A、G、F、E在每个面上的投影，再顺次连结即得在该面上的投影，并且在两个平行平面上的投影是相同的．可得在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是图①；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是图②；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是图③.
反思与感悟 画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连结即可得此图形在该平面上的投影．如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间想象来完成．
跟踪训练1 如图(1)所示，E、F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)中的________．
答案 ②③
解析 四边形BFD′E在正方体ABCD－A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是③；在面DCC′D′上的投影是②；同理，在面ABB′A′、面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也全是②.
探究点二 柱、锥、台、球的三视图
思考1 主视图、左视图、俯视图分别是从几何体的哪三个角度观察得到的几何体的正投影图？它们都是平面图形还是空间图形？
答 主视图、左视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方观察得到的正投影图，它们都是平面图形．
思考2 如图，设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么其三视图分别是什么？
答 如图：
思考3 依据思考2中的三视图的边长间的关系，想一想一个几何体的主视图、左视图和俯视图的长度、宽度和高度有什么关系？
答 由思考2中的图可知：主左等高，主俯等长，左俯等宽．
思考4 圆柱、圆锥、圆台的三视图分别是什么？
答 圆柱：
圆锥：
圆台：
思考5 球的三视图是什么？下列三视图表示一个什么几何体？
答 球的三视图都是半径相等的圆，上面三视图表示的几何体如图所示：
探究点三 简单组合体的三视图
思考 在简单组合体中，从正前方、正左方、正上方等角度观察，有些轮廓线和棱能看见，有些轮廓线和棱不能看见，在画三视图时怎样处理？
答 能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．
例2 如图，设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图．
解 三视图如下：
反思与感悟 (1)在画三视图时，务必做到主(视图)左(视图)高平齐，主(视图)俯(视图)长对正，俯(视图)左(视图)宽相等．(2)习惯上将主视图与左视图画在同一水平位置上，俯视图在主视图的正下方．
跟踪训练2 观察下列两个实物体，画出它们的三视图．
解 三视图如下：
探究点四 将三视图还原成几何体
思考1 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并画出其示意图．
答
思考2 下图是简单组合体的三视图，想象它们表示的组合体的结构特征，并作适当描述．
答 举重运动员举重时用的体育器材杠铃．
例3 画出下面的三视图表示的几何体的结构特征．
解 几何体为三棱台，结构特征如下图：
反思与感悟 通常要根据俯视图判断几何体是多面体还是旋转体，再结合主视图和左视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．
跟踪训练3 下图是一个物体的三视图，试画出物体的形状．
解 物体的形状如下图所示：
1．下列说法：
①从投影角度看，三视图是在平行投影下画出的；
②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点；
③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线有可能变成相交了；
④如果一个三角形的平行投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．
其中正确的有________个．
答案 3
解析 ①②④正确，故答案为3.
2．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是______________．
答案 四棱锥
解析 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中有一侧棱垂直于底面，底面为一直角梯形．
3．将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的左视图为________．
答案 ②
解析 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线．故答案为②.
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是________．
答案 ④
解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，故④符合题意．
5．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面正方形的中心，试画出其三视图．
解 所给四棱锥的三视图如图所示．
[呈重点、现规律]
1．三视图的主视图、左视图、俯视图是分别从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线，画几何体的要求是主视图、俯视图长对正，主视图、左视图高平齐，俯视图、左视图宽相等，前后对应，画出的三视图要检验是否符合“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征．
2．几何体的三视图的画法为：先画出两条互相垂直的辅助坐标轴，在第二象限画出主视图；根据“主、俯两图长对正”的原则，在第三象限画出俯视图；根据“主、左两图高平齐”的原则，在第一象限画出左视图．
3．看得见部分的轮廓线画实线，看不见部分的轮廓线画虚线．
一、基础过关
1．下列命题正确的是________．(填序号)
①矩形的平行投影一定是矩形；
②梯形的平行投影一定是梯形；
③两条相交直线的投影可能平行；
④一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点．
答案 ④
解析 因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故①②错；又因为点的平行投影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故③错；由排除法可知④正确．
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图________．(填序号)
答案 ③
解析 几何体是一个组合体，组合体上面的几何体有一个侧面是三角形，从正上方能看到这个三角形的三条边，所以俯视图中应该有一个三角形，只有③符合．
3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是________．(填序号)
答案 ②④
解析 在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．
答案 ③
解析 由三视图中的主、左视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.
5．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．
(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
答案 (1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
6．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________________________________________________________________________．
答案 2 4
解析 三棱柱的高同左视图的高，左视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.
7．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的主视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出左视图．(尺寸不作严格要求)
解 图(a)是由两个长方体组合而成的，主视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，左视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．
二、能力提升
8．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是________．(填序号)
答案 ①
解析 由于去掉一角后，出现了一个小三角形的面，在长方体上底面和右边侧面上的三角形的两边的投影分别和矩形的两边重合，故②错；左视图中的线应是虚线，故③错；俯视图中的线应是实线，故④错．所以答案为①.
9．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是________．(填序号)
①球 ②三棱锥 ③正方体 ④圆柱
答案 ④
解析 考虑选项中几何体的三视图的形状、大小，分析可得．球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除①和③.
对于如图所示三棱锥O－ABC，
当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，
其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除②.
不论圆柱如何设置，其三视图的形状都不会完全相同，
故答案为④.
10．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的主视图的面积不可能是下面中的________________________________________________________．
①1 ② ③ ④
答案 ③
解析 由俯视图和正方体的底面水平放置．当正视图为正方形时，其面积最小为1；当正视图为对角面时，其面积最大为.则正方体的正视图的面积的范围为[1，]．而<1，故C不可能．
11．如图，物体的三视图有无错误？如果有，请指出并改正．
解 主视图正确，左视图和俯视图错误，正确的画法如图所示．
如图是一些几何体的三视图，找出相应的立体图．
解 依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所以第一个三视图对应的几何体为(3)；第二个三视图对应的几何体为(1)；第三个三视图对应的几何体为(2)．
三、探究与拓展
用小立方体搭成一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，搭建这样的几何体，最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？
解 由于主视图中每列的层数即是俯视图中该列的最大数字，因此，用的立方块数最多的情况是每个方框都
用该列的最大数字，即如图①所示，此种情况共用小立方块17块．
而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大的数字，其他方框内的数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．
浙公网安备 33021202002483