立体几何证明题归类

空间直线、平面的平行与垂直问题 一、“线线平行”与“线面平行”的转化问题,“线面平行”与“面面平行”的转化问题 知识点: 一)位置关系:平行:没有公共点. 相交:至少有一个公共点,必有一条公共直线,公共点都在公共直线上. 相交包括垂直相交和斜交. 二)平行的判定: (1)定义:没有公共点的两个平面平行.(常用于反证) (2)判定定理:若一个平面内的两条相交直线平行于另一平面,则这两个平面平行.(线面平行得面面平行) (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)平行于同一个平面的两个平面平行. (5)过已知平面外一点作这个平面的平行平面有且只有一个. 三)平行的性质: 定义:两个平行平面没有公共点.(常用于反证) 性质定理一:若一个平面与两个平行平面都相交,则两交线平行.(面面平行得线线平行,用于判定两直线平行) 性质定理二:两个平行平面中的一个平面内的所有直线平行于另一个平面.(面面平行得线面平行,用于判定线面平行) 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,必垂直于另一个平面.(用来判定直线与平面垂直) 一般地,一条直线与两个平行平面所成的角相等,但反之不然. 夹在两个平行平面间的平行线段相等.特别地,两个平行平面间的距离处处相等.二、 “线线垂直”到“线面垂直”“线面垂直” 到“线线垂直”及三垂线定理 1、斜线长定理——从平面外一点所引的垂线段和斜线段中 ①射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长; ②相等的两条斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长; ③垂线段比任何一条斜线段都短 2、直线与平面所成的角 一条直线若是平面的斜线,那么它和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线与平面所成的角。特别地,若这条直线是平面的垂线,那么这条直线与平面所成的角是直角;如果这条直线平行于这个平面,那么直线与平面所成的角是 0。() 900<≤θ结论:斜线与平面所成的角,是这条直线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。 3、三垂线定理及逆定理 在平面内的一条直线,如果和这个平面内的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 逆定理:在平面内的一条直线和这个平面内的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直。 其主要作用有:① 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 问题:如线线、线面、面面垂直的证明; 例 题 1、(将线面平行转变为线线平行):如图,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中,AB AC ⊥,PA ⊥平面ABCD ,点E 是PD 的中点. (Ⅱ)求证://PB 平面AEC ;(Ⅱ)求证:EO ⊥PD ; 2、如图,在五面体ABCDEF 中,点O 是矩形ABCD 的对角线的交点,面CDE 是等边三角形,棱// 1 2 EF BC =. (1)证明FO //平面CDE ;(线面平行时用) (2)设BC =,证明EO ⊥平面CDF .(线面垂 直时用) 3、(将线面平行转变为面面平行)如图,在长方体 1111ABCD A BC D -中,,E P 分别是11,BC A D 的 中点,,M N 分别是 1 ,A E C D 的中点, 1,2AD AA a AB a === (Ⅰ)求证://MN 面11ADD A ; (Ⅱ)求二面角P AE D --的大小。 (Ⅲ)求三棱锥P DEN -的体积。 4、(将面面垂直转变为线面垂直)如图,四棱锥P ABCD -的底 面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上. (Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面; 5、如图,P 是边长为1的正六边形ABCDEF 所在平面外一点, 1PA =,P 在平面ABC 内的射影为BF 的中点O 。 (Ⅰ)证明PA ⊥BF ; (ⅠⅠ)求O 到平面PAB 的距离。 6、如图,平面PAC ⊥平面ABC ,ABC ? 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,,,E F O 分别为PA , PB ,AC 的中点,16AC =,10PA PC ==. (I ) 设G 是OC 的中点,证明://FG 平面BOE ; (II ) 求二面角P-AB-C 的大小。 7、如图,PCBM 是直角梯形,∠PCB =90°,PM ∥BC ,PM =1,BC =2,又AC =1,∠ACB =120°,AB ⊥PC ,直线AM 与直线PC 所成的角为60°. (Ⅰ)求证:平面PAC ⊥平面ABC ; (Ⅱ)求二面角B AC M --的大小; (Ⅲ)求三棱锥MAC P -的体积. 8、如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形, 090,BAD FAB BC ∠=∠=//= 1 2 AD ,BE //= 1 2 AF (Ⅰ)证明:,,,C D F E 四点共面; (Ⅱ)设AB BC BE ==,求二面角A ED B --的大小; 9、如图,正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE 是等腰直角三角形,,,45AB AE FA FE AEF ?==∠= (I )求证:EF BCE ⊥平面; (II )设线段CD 的中点为P ,在直线AE 上是否存在一点M ,使得PM BCE 平面?若存在,请指出点M 的位置,并证明你的结论;若不存在,请 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由; (III )求二面角F BD A --的大小。 10、已知正方体ABCD -A'B'C'D'的棱长为1,点M 是棱AA'的中点,点O 是对角线BD'的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线AA'和BD'的公垂线; (Ⅱ)求二面角M -BC'-B'的大小; (Ⅲ)求三棱锥M -OBC 的体积. 11. 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形, PD ⊥底面ABCD ,AD PD =,E 、F 分别为 CD 、PB 的中点. (Ⅰ)求证:EF ⊥平面PAB ; (Ⅱ)设AB =,求AC 与平面AEF 所成 的角的大小 ?D ' A B C D M O A ' B ' C '? G M D 1 C 1 B 1 A 1 N D C B A 12、(14分)已知正方体1111D C B A ABCD -,O 是底ABCD 对角线的交点. 求证:(1)//1O C 平面11D AB ;(2)⊥C A 1平面11D AB . 13.如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、G 分别是A 1A , D 1C ,AD 的中点; 求证:(1)MN //平面ABCD ; (2)MN ⊥平面B 1BG . 14.如图 3 所示,在四面体 ABC P -中, 6 ==BC PA , 342,8,10====PB AC AB PC .F 是线段PB 上一点,3417 15 = CF ,点E 在线段AB 上,且PB EF ⊥. (Ⅰ)证明:CEF PB 平面⊥; (Ⅱ)求二面角F CE B --的大小. 15.如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC = 2 1 PA , 点O 、D 分别是AC 、PC 的中点,OP ⊥底面ABC . (Ⅰ)求证:OD ∥平面PAB ; (Ⅱ) 求直线OD 与平面PBC 所成角的大小. 16.如图,在三棱柱 111 ABC A B C -中, 1,BC BC BC AB ⊥⊥,1BC AB =,,,E F G 分别为线段 1111,,AC AC BB 的中点, 求证:(1)平面ABC ⊥平面1ABC ; (2)//EF 面11BCC B ; (3)GF ⊥平面11AB C A C B P F E 图 3 17. 如图,在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 为矩形, PD ⊥底面ABCD ,E 是AB 上 一点,PE ⊥EC. 已知,2 1,2,2===AE CD PD 求 (Ⅰ)异面直线PD 与EC 的距离; (Ⅱ)二面角E —PC —D 的大小. 18.已知三棱锥P-ABC 中,E、F分别是AC 、AB 的中点, △ABC ,△PEF 都是正三角形,PF ⊥AB . (Ⅰ)证明PC ⊥平面PAB ; (Ⅱ)求二面角P-AB -C 的平面角的余弦值 19、如图,四棱锥P ABCD -的底面是正方形,PD ABCD ⊥底面,点E 在棱PB 上. (Ⅰ)求证:平面AEC PDB ⊥平面; (Ⅱ)当PD =且E 为PB 的中点时,求AE 与 平面PDB 所成的角的大小. 20.如图所示,在长方体1111ABCD A BC D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 。 21.(06广州市高一质量抽测)如右图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 为棱AD 、AB 的中点. (1)求证:EF ∥平面CB 1D 1; (2)求证:B 1D 1⊥平面CAA 1C 1 22.如图,已知矩形ABCD 中,AB=10,BC=6,将矩形沿对 角线BD 把△ABD 折起,使A 移到1A 点,且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上. (Ⅰ)求证:1BC A D ⊥; (Ⅱ)求证:平面1A BC ⊥平面1A BD ; (Ⅲ)求三棱锥1A BCD -的体积 23.如图,在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点, O 是上底面ABCD 的中心。 求证:EF ⊥平面BB 1D 。 24.如图已知正方体1111ABCD A BC D -中,点 E 为1CC 的动点, ①求证:1A E BD ⊥; ②当E 恰为1CC 的中点时,求证:平面1A BD EBD ⊥