第15课时 直线与平面平行的判定和性质（三）

第15课时 直线与平面平行的判定和性质（三） 第15课时 直线与平面平行的判定和性质（三） 教学目标： 通过运用定理解决具体问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，培养学生的空间想象能力、判断思维能力、逻辑推理能力，使学生进一步掌握直线与平面平行的判定定理、性质定理，并能正确运用之解决一些具体问题；通过学生自主地学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生不断发现，探索新知的精神，提高观察问题、分析问题的能力，增强勇于战胜困难的勇气. 教学重点： 直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用. 教学难点： 直线与平面平行的判定定理、性质定理的应用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 ［师］前面我们学习了直线与平面的三种位置关系，并且讨论了其中的一种关系——直线与平面的平行问题，学习了一个判定定理、一个性质定理，请同学们回忆一下判定定理和性质定理的具体内容. ［生］判定定理是“线线平行则线面平行”，性质定理是“线面平行则线线平行”. ［师］请具体阐述一下判定定理中前面的“线线”，性质定理中后面的“线线”. ［生］判定定理中前面的“线线”，一条在平面外，另一条在前述的平面内；性质定理后面的“线线”，一条是平行于平面的直线，另一条是过前一条直线的平面与已知平面的交线. ［师］好.应用定理应注意什么？ ［生］结论成立的条件一个不能少. ［师］判定定理结论成立的条件有几个？分别是什么？ ［生］有三个.分别是a α，b α，a∥b. ［师］性质定理结论成立的条件有几个？分别是什么？ ［生］有三个.分别是a∥α，a β，α∩β=b. ［师］应该注意.应用定理解决具体问题时，三个条件一个不能少.还有，如果证题过程中能应用“ ”符号，则尽可能使用，它能使你的推理更加严谨、简捷，给读者或老师或阅卷人一个简洁明了的印象.下面我们来讨论直线与平面平行的判定定理与性质定理的综合应用. Ⅱ.新课讨论 ［师］上节课，我们已经讨论了一个综合应用的例子，大家讨论、分析、研究得很投入，希望继续发扬这种钻研精神，来研究我们面临的问题. ［例1］已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 分析：欲证AP∥GH.只要证什么就可以了？ ［生］因为GH是过AP的平面与面BDM的交线，所以 要证AP∥GH，只要证AP与含GH在内的平面平行就可以了. ［师］GH在哪一个平面内？ ［生］GH在面BDM内. ［师］那也就是说，只要证AP与面BDM平行就行了.怎样 证AP与面BDM平行呢？ ［生］只要证AP与面BDM内一条直线平行就行了. ［师］与面BDM内哪一条直线平行呢？能是GH吗？ ［生］肯定不能是GH. ［师］那么证AP与哪一条直线平行呢？(稍停，给学生留出点思考的时间)，这就得在面BDM内找，找到的这条直线，要能较好地联系已知. ［生］连结AC，AC与BD的交点是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，设为O，因为M是PC的中点，连结OM，则OM在面BDM内，又是△PAC的中位线，所以AP平行MO，问题得证啦！ ［师］××同学所谈有道理吗？ ［众生］有. ［师］××同学的分析完全正确.下面请同学们整理 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程(请一位同学写在黑板上，供教师做讲评). 证明：连结AC，设AC交BD于O，连结MO. ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴O是AC的中点 又M是PC的中点 ∴MO∥PA 又MO 面BDM、PA 面BDM. ∴PA∥面BDM. 又经过PA与点G的平面交面BDM于GH. ∴AP∥GH. ［师］刚才我们分析所用的方法称为执果索因法，我们证题一般用的由因导果法(也叫综合法).前者是从结果(论)出发，寻找结果(论)成立的原因(条件)，一直追溯到已知；后者是从条件出发一直到推出结果.两者是完全不同的推理方法.请同学们注意：执果索因法是分析问题、寻求思路的一种有效方法.遇到问题，两者联用，在似乎“山穷水尽疑无路”之时，都能寻求到解(证)题的途径，达到“柳暗花明又一村”的境地. ［例2］如图，平面MNPQ∥AC，BD∥面MNPQ. (1)求证：MNPQ是平行四边形； (2)如果AC＝BD＝a，求证：四边形MNPQ的周长为定值； (3)如果AC＝a，BD＝b，AC与BD成θ角，求四边形MNPQ面积的最大值，并确定此时M的位置. ［师］请同学们认真审题，并作出分析，以学习小组为单位 展开讨论，寻求答题途径. (同学们人人积极思考，以学习小组为单位各抒己见，讨论很 热烈) ［生甲］对于(1)小题，欲证MNPQ是平行四边形，只要 证明MNPQ有一组对边平行且相等，或两组对边分别平行就可 以了，结合已知易证两组对边分别平行，因为AC平行于面MNPQ， 过AC的平面ACB交面MNPQ于MN，所以AC平行于MN，同理AC平行于PQ，由平行公理得MN平行于PQ，同理可证MQ平行于NP，所以四边形MNPQ是平行四边形. ［师］生甲同学分析得很好. ［生乙］对于(2)小题.因为MN平行于AC，所以 ＝，又AC＝a，所以MN ＝a，因为MQ平行于BD.所以 ＝.又BD＝a，所以MQ＝a，所以四边形MNPQ的周长＝2(MN＋MQ)＝2a(＋)＝2a(定值) ［师］很好.对于定值问题的证明，可以先探求定值，探求定值的方法，可以取特殊位置去探求.比如这个题，可把M、N、P、Q分别看作AB、BC、CD、DA的中点去探求定值.探求出定值之后，目标就明确了，利用已知向目标靠拢即可.但要注意，取特殊位置只能用以对定值的探求，而不能作为证明的依据.否则就使问题失去了普遍性、一般性. ［师］谁来谈一下第(3)小题的解题思路？ (谈这个小题没有谈前面两个小题那样踊跃，可能遇到了什么障碍) ［师］你是怎样想的就怎样谈，说多少算多少，说错了也没关系！(鼓励学生大胆发言)，其他同学要注意听，大家共同想 办法 鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载鲁班奖评选办法下载企业年金办法下载企业年金办法下载 ，把这个问题解决了. ［生丙］要求四边形MNPQ面积的最大值，首先需要列出面积的函数关系式；要列出面积的函数关系式需要知道平行四边形MNPQ两邻边的长及其夹角，夹角就是异面直线AC、BD所成的角θ，两邻边的长表示不出来.虽然MN与AC有个关系，NP与BD也有个关系，但表示不出平行四边形的边长来. ［师］不错.生丙同学前面的分析很好，但到后来他犯愁了，谁来帮他想想办法？ (没有学生接这个“茬”) ［师］大家只顾找MN、NP怎样表示了，而忽略了一个重要的东西：列面积的函数关系式需要自变量啊，哪个量“扮演这个角色”呢？从题中再看看，审题万万不可不仔细！ ［生丁］设AM＝x ［生丙］(生丁的一“点”，障碍排除，抢着回答) 只设AM还不行，再设AB＝l(l为定值)，这样就行了.(跑到讲台上，在黑板上书写). 设AM＝x，AB＝l 由(2)知：NP＝b＝b＝x MN＝a＝a ＝ (l－x) 设平行四边形MNPQ的面积为S. 则S＝MN·NP·sinMNP ＝x· (l－x)sinθ＝ (lx－x2)sinθ＝［－(x－)2＋］sinθ ∴当x＝，即M为AB的中点时，S最大值为 sinθ. ［师］生丁同学谈出了今天第(3)小题讨论中重要的一点，使我们问题的解决出现了转机.生丙同学又接着对第(3)小题作出了全面的解答，大家再仔细看一看，认真想一想，对生丙同学的解答过程还有没有什么补充或更正？ ［生戊］在列出四边形MNPQ的面积的函数关系式前面应表述清楚∠MNP＝θ ［师］请你来补充在解答过程中. ［生戊］(上黑板板书，补充在设平行四边形MNPQ的面积为S之前). ∵MN∥AC，NP∥BD ∴∠MNP是AC、BD所成的角，即∠MNP＝θ. ［师］好.谁还有？ ［生己］设AM=x，应标明x的取值范围，把前两步的位置调换一下，标明0＜x＜l. ［师］请来予以更正补充. ［生己］在黑板上将生丙同学的解答更正补充为：设AB=l(l为定值)AM=x(0＜x＜l) ［师］还有吗？(稍停顿)好了，这样再经过大家的补充，整个解答就完美了.今后在学习中，无论是解答题，还是证明题，表述必须清楚，推理必须严谨，千万不可粗枝大叶，丢三落四，要养成严密、严谨、细致的良好习惯.有根有据，有条有理，才是一种优美的、令人赞叹的、使人折服的精彩“表演”，尤其分析问题、解决问题的方法，更应引起每位同学重视.第(1)小题、第(2)小题的证明过程，大家下去以后自己整理，现在我们来练习一个题. Ⅲ.课堂练习 如图，□EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，求证：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH. 证明：EFGH是平行四边形 BD∥面EFGH， 同理可证AC∥面EFGH. Ⅳ.课时小结 本节课我们讨论了直线与平面平行的判定定理、性质定理的综合应用，大家一起分析了两个题目，并且分析得很好.通过这节课，要求同学们初步掌握分析问题、寻求解题思路的方法——执果索因法、由因导果法(分析法、综合法)，并养成良好的思维习惯、严谨的治学态度，进行严密的逻辑推理. Ⅴ.课后作业 (一) 思考与练习 一、选择题 1.m、n是平面α外的两条直线，在m∥α的前提下，m∥n是n∥α的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：A 2.直线a∥面α、面α内有n条互相平行的直线，那么这n条直线和直线a( ) A.全平行 B.全异面 C.全平行或全异面 D.不全平行也不全异面 答案：C 3.直线a∥平面α，平面α内有n条直线相交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.不可能有 答案：B 4.a和b是两条异面直线，下列结论正确的是( ) A.过不在a、b上的任意一点，可作一个平面与a、b都平行 B.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都相交 C.过不在a、b上的任意一点，可作一条直线与a、b都平行 D.过a可以并且只可以作一个平面与b平行 答案：D 二、填空题 1.过平面外一点，与平面平行的直线有_________条，如果直线m∥平面α，那么在平面α内有_________条直线与m平行. 答案：无数 无数 2.n 平面α，则m∥n是m∥α的______条件. 答案：既不充分也不必要 3.直线a∥平面α，在平面α内任取两点P、Q，当PQ与a的位置关系是_____时，直线a及点P确定的平面与α的交线和过直线a及点Q的平面与α的交线互相平行. 答案：PQ与a垂直 三、解答题 1.求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行. 已知：a、b是异面直线. 求证：过b有且只有一个平面与a平行. 证明：(1)存在性 在直线b上任取一点A，显然A a. 过A与a作平面β 在平面β内过点A作直线a′∥a 则a′与b是相交直线，它们确定一个平面，设为α ∵b α，a与b异面，∴a α 又a∥a′，a′ α，∴a∥α ∴过b有一个平面α与a平行 (2)唯一性 假设平面γ是过b且与a平行的另一个平面 则b γ，∵A∈b，∴A∈γ 又A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A∈a″ ∵a∥γ，a β，γ∩β=a″∴a∥a″，又a∥a′， ∴a′∥a″ 这与a′∩a″＝A矛盾. ∴假设错误，故过b与a平行的平面只有一个. 综上所述，过b有且只有一个平面与a平行. 2.如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点， 平面α过EH分别交BC、CD于F、G. 求证：EH∥FG. 证明：连结BD. ∵E、H分别是AB、AD的中点 ∴EH∥BD 又BD 面BCD，EH 面BCD ∴EH∥面BCD 又EH α、α∩面BCD＝FG ∴EH∥FG. 3.已知：M、N分别是△ADB和△ADC的重心，A点不在平面α内，B、D、C在平面α内，求证：MN∥α. 证明：连结AM、AN并延长分别交BD、CD于P、Q，连结PQ. ∵M、N分别是△ADB、△ADC的重心， ∴＝＝2 ∴MN∥PQ， 又PQ α，MN α ∴MN∥α. 4.三个平面两两相交得到三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条也和它们分别平行. 已知：平面α∩β=l，平面β∩γ=m，平面γ∩α=n，m∥n. 求证：l∥m，l∥n. 同理可证l∥n. 线面平行的判定与性质定理是立体几何中的重要知识，也是高考考查的重点内容.因此，教学中应注意以下几点： 1.帮助学生理解好线面平行的定义、直线和平面没有公共点，直线才和平面平行，这一条件用来判定线面平行很困难，一般采用反证法，利用定义进行论证问题. 2.线面平行的判定定理把线面平行的判定转化为线线平行的判定，将立体几何题转化为平面几何问题，运用起来方便得多. 3.线面平行的性质定理可得线线平行，给我们作平行线提供了方法. 4.线面平行的判定定理是由线线平行到线面平行，性质定理是由线面平行到线线平行，实现了线面问题与线线问题间的相互转化. (二)1.预习直线与平面垂直的判定和性质. 2.预习提纲 (1)直线与平面垂直的定义是什么？记法是怎样的？ (2)直线与平面垂直的图形语言是怎样的？ (3)过空间一点，垂直于已知直线的平面有几个？ (4)过空间一点，垂直于已知平面的直线有几条？ (5)直线与平面垂直的判定定理是什么？ (6)用符号语言怎样表示直线与平面垂直的判定定理. (7)“直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l与平面α垂直”，正确吗？ (8)“与一个平面垂直的直线有无数条”，这个命题正确吗？