第15课时 斜线在平面内的射影习题课 第20课时 斜线在平面内的射影习题课 教学目标： 使学生正确区分各个概念，并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。 教学重点、难点： 问题的分析、论证。 教学过程： 复习定义、定理。 例1：已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角三角形。 证明：过A作AD⊥BC于D，连结A′D ∵A A′⊥α，BC α ∴A A′⊥BC ∴BC⊥ A′D ∵tan∠BAD＝＜tan∠BA′D＝ tan∠CAD＝＜tan∠CA′D＝ ∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D ∴∠BAC＜∠BA′C， 即∠BA′C是钝角。 推广： （1）图中，若∠ABC、∠ACB均为钝角，则射影角较大。 （2）若∠ABC、∠ACB中有一钝角，则射影角较小。 （3）锐角的一边与面平行或者在面内，另一边是面的斜线时，射影角较小。 （4）角的两边都是面的斜线，顶点在面上时，大小关系不确定。 例2：如图，直角三角形ABC在平面α上的射影是正三角形A1B1C1，且A A1＝5，B B1＝4，C C1＝3，求Rt△ABC中，斜边BC的长。 解：过C作CD∥B1C1，CF∥A1C1，过B作BE∥A1B1 则△BCD、△ABE、△ACF均为Rt△，且 CD＝CF＝BE设为a， ∴BC2＝a 2＋4，AC2＝a 2＋1，AB2＝a 2＋1 得：a 2＝2 ∴BC＝＝ 例3：如图，四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正切值。 解：过A作AO⊥面BCD，连结OD、OB、OC，则可证O是△BCD的中心 作QP⊥OD ∵QP∥AO ∴QP⊥面BCD 连结CP，则∠QCP即为所求的角 设四面体的棱长为a，则： 正△ACD中，Q是AD的中点 ∴CQ＝a ∵QP∥AO，Q是AD的中点 ∴QP＝AO＝ eq \r(a 2－(a)2) ＝a＝a 得：sin∠QCP＝＝ 练习题： 如图，线段AB的两端在平面α的同侧，斜线段AM、BN所在的直线分别与平面α成300、600的角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝2，AB＝6 （1）求证：AB∥α；（2）求MN的长。 （1）证明：作A、B在 平面α上的射影A′、B′ 连结MA′、NB′、 A′B′。 （1） （2） 在Rt△AMA′中，AM＝6，∠AMA′＝300，AA′⊥A′M ∴AA′＝AM＝3，同理：BB′＝BN＝3 ∴AA′＝BB′且AA′∥BB′ ∴四边形AA′B′B为平行四边形 ∵AB∥A′B′，且AB eq \o( ,\\)α ∴AB∥α （2）解：∵AM⊥AB，AB∥A′B′ ∴A′B′⊥AM 又：A′B′⊥AA′，AM∩AA′＝A ∴A′B′⊥面AMA′ ∴A′B′⊥A′M 同理：A′B′⊥B′N ∴MA′∥NB′ 又：MA′＝AM·cos300＝3 NB′＝BN·cos600＝ 由（1）知，A′B′＝AB＝6 如图（1），则MN＝＝4 如图（2），则MN＝＝2 课堂小结： 注意空间想象和空间问题转化为平面问题的方法，并紧密联系有关的定义、定理等。 课后作业：
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