圆的一般方程 4.1.2圆的一般方程 三维目标： 知识与技能 ： (1)在掌握圆的
标准
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方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0
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示圆的条件． (2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。 (3):培养学生探索发现及
分析
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解决问题的实际能力。 过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。 情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F． 教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 课题引入： 问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。 探索研究： 请同学们写出圆的标准方程： (x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r． 把圆的标准方程展开，并整理： x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0． 取 得 ① 这个方程是圆的方程． 反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ (1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当 时，表示以（- ，- ）为圆心, 为半径的圆； （2）当 时，方程只有实数解 ， ，即只表示一个点（- ，- ）; （3）当 时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程 表示的曲线不一定是圆 只有当 时，它表示的曲线才是圆，我们把形如 的表示圆的方程称为圆的一般方程 我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项． (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究： 例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。 学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于 来说，这里的 . 例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 解：设所求的圆的方程为： ∵ 在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于 的三元一次方程组， 即 解此方程组，可得： ∴所求圆的方程为： ； 得圆心坐标为（4，-3）. 或将 左边配方化为圆的标准方程， ,从而求出圆的半径 ，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： 1、 根据提议，选择标准方程或一般方程； 2、 根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； 3、 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。 例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上 运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。 分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程 。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。 解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是 ① 上运动，所以点A的坐标满足方程 ,即 ② 把①代入②，得 课堂练习：课堂练习 第1、2、3题 小结 ： 1．对方程 的讨论(什么时候可以表示圆) 2．与标准方程的互化 3．用待定系数法求圆的方程 4．求与圆有关的点的轨迹。 课后作业： 习题4.1第2、3、6题
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