高二专题复习课----线线角与线面角

nullnull桂林市逸仙中学数学组 李媛 2008.4.10 高二立体几何复习课 ------空间角(一)null空间角包括:1.线线角2.线面角3.面面角问题1：到目前为止我们在立体几何中已经学过了哪 几种空间角？问题2：线线角、线面角的定义是什么?它们的取值 范围如何?问题3：线线角、线面角的向量求法公式是什么? 点到平面的距离的向量求法公式是什么?null1. 线线角:(2)范围：(1)定义：设a、b是异面直线，过空间任一点o引 a ′ ∥ a，b ′ ∥b,则a ′ 、 b ′所成的锐角 (或直角)，叫做异面直线a、b所成的角 （或夹角）.重点研究异面直线所成的角.null2. 线面角：(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角。 重点研究斜线和平面所成的角。(3)范围：(4)最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和 平面内过斜足的直线所成的一切角中的最小的角。BnullAFnullAF解:不妨设BC=2,取BC的中点为F, 连结D1F1 、 FF1,则依题意得 D1F1 ∥ BF且D1F1 = BF,∴四边形D1BFF1为平行四边形,∴ D1B ∥ F1F , D1B = F1F ,∴ ∠AF1F为BD1与AF1所成的角(或补角).nullA例1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A) (B) (C) (D) 用坐标法求异面直线 所成的角大小的解题步骤如何?nullA例1.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( ) (A) (B) (C) (D)解:不妨设BC=2,如图建立直角坐标系C-xyz,则A(2,0,0)， B(0,2,0)，D1(1,1,2),F1(1,0,2).null练习1： 如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所 成角的余弦值是___________. ∴cos ∠FBC=1null例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.P不妨设正四面体的棱长为4，则 解:（1）连结DE，取线段DE的中点为P， 连结PF、CP， 在△ADE中，PF ∥AE，且2PF= AE.∴ ∠CFP为 AE与CF所成的角（或补角），null例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角；(2)CF与平面BCD所成的角.PQ取OD的中点为Q,连结FQ， 则FQ ∥ AO，∴FQ⊥平面BCD， 则∠FCQ为CF与平面BCD所成的角.(2)设A在平面BCD内的射影为O，则在正四 面体中O为DE的三等分点，∴sin∠FCQ=∴连结CQ，寻找两“足”(斜足和垂足),即线面角定射影.1.用几何推理法求“线面角”关键是什么？2.用几何推理法求“线面角”的解题步骤是什么？一作、二证、三解.null例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.解:（1）不妨设正四面体的棱长为6，O为它 的中心,则 如图建立直角坐标系O-xyz,则null(2) ∵OA⊥平面BCD ，例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.null解:(1)把正四面体放置正方体中如图1,不妨 设CJ=2,如图1建立直角坐标系C-xyz,则A(2,0,2)，C(0,0,0), E(1,1,0) ，F (1,1,2),例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.图1null例2.如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和 AD的中点.求：(1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角. 点评：本例是一道综合题，解题过程常常是作图(包括添辅助线或辅助面)、论证、计算三个阶段，这样就综合考查了思维能力、运算能力、空间想象能力、实践能力和创新意识.图1null练习2： 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1 的所有棱长都相等, D是A1C1的中点, 则直线AD与平面B1DC所 成角的正弦值是___________. (06年山东,理15)o解:不妨设AB=2,如图建立直角坐标系O-xyz,则A(1,0,0)，D(0,0,2),C(-1,1,0) ,null练习2： 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1 的所有棱长都相等, D是A1C1的中点, 则直线AD与平面B1DC所 成角的正弦值是___________. (06年山东,理15)不妨设AB=2null练习2： 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1 的所有棱长都相等, D是A1C1的中点, 则直线AD与平面B1DC所 成角的正弦值是___________. (06年山东,理15)H解:不妨设AB=2,且设A在平面B1DC的射影 为H,如图.连结DH,下面求AH.由等体积公式易知VA －B1DC=VB1 －ADC,H则∠ADH为直线AD与平面B1DC所成的角.null【解题回顾】: 线面角定射影,也就是说要求斜线与平面所成的角，关键是找到斜线在此平面上的射影，为此，必须在这条斜线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线，例2中AO就是平面的垂线，垂足Q的位置也必须利用图形的性质来确定,而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质或三垂线定理及逆定理. 、 有时平面的垂线的垂足不容易明确定位,我们可以直接求点到平面的距离.null用向量的坐标方法求“线线角、线面角”关键是什么？【解题回顾】: 运用向量的坐标运算，这是解决立体几何问题常用的方法，不过只有建立恰当的坐标系才能使问题真正得到简化，而且计算要仔细，这需要我们平时多积累解题经验.null小结:用几何推理法解立体几何问题时常添加哪些辅助线？1.有中点,常想中位线.2.有等腰三角形,常想底边上的中线.3.有线面垂直时,常想三垂线定理或逆定理,可解决二 面角的平面角问题.4.有面面垂直时,常在其中一个平面内作交线的垂线, 则此线垂直另一个平面.谈谈你这节课的收获.提高数形结合的方法技能. 向量是利用数形结合解题的一种重要载体,借助空间向量将空间图形中的平行、垂直、角、距离转化为向量运算，可使几何推理问题转化为“公式计算”，从而提高解题速度与质量.null作业:优化设计 P67第10题、P73第9题、 P77第11、12题.null小结例3.在四面体P-ABC中,PC ⊥平面ABC, AB=BC=CA=PC 求二面角B-AP-C的大小。ODnull例3.在四面体P-ABC中,PC ⊥平面ABC, AB=BC=CA=PC 求二面角B-AP-C的大小.解：不妨设AB=BC=CA=PC=2， 分别取AC、PA的中点为O、Q，连结BO、OQ， ∵AB=BC， ∴BO ⊥AC，又PC ⊥平面ABC， ∴ OQ ⊥平面ABC，如图建立直角坐标系O-xyz，则OQ又二面角B-AP-C为锐二面角,null练习3： 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB ⊥AC，PA ⊥平面ABCD，且PA=AB，E是PD的中点。 求二面角E-AC-B的大小。(06年北京,理17)OFG解：连结BD交AC于O,连结OE,过O作FG∥AB， 交AD于F,交BC于G,则F为AD的中点.∵ E是PD的中点, ∴ OE∥PB,于是OE⊥AC.∴ ∠ EOG为二面角E-AC-B的平面角.∴ ∠ EOF=450,∠ EOG=1350.∴ 二面角E-AC-B的大小为1350.null练习3：如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB ⊥AC，PA ⊥平面ABCD，且PA=AB，E是PD的中点。 求二面角E-AC-B的大小。(06年北京,理17)OG解：如图建立直角坐标系A-xyz, 设AC=2a,PA=2b,取AC、BC中点 分别为O、G,连结OG、OE,则A(0,0,0)，B(0,2b,0)，C(2a,0,0)， O(a,0,0),D(2a,-2b,0)，P(0,0,2b)， 则E(a,-b,b)，G(a,b,0).∴ ∠EOG为二面角E-AC-B的平面角.null解题回顾: 注意1. 二面角是立体几何的重点、热点、难点，求二 面角的大小方法多，技巧性强．但用传统方法时一般先想定义法，再想三垂线定理法，如果盲目作垂线，则会干扰思维． 注意2. 实施解题过程仍要注意“一垂、二作、三连、四证、五解”五环节缺一不可，计算一般是放在一个三角形中，因此，“化归”思想很重要.1.用几何推理法求“二面角的大小”关键是什么？关键是找二面角的平面角.2.找二面角的平面角的作法有哪些?3.求二面角的大小的常用方法有哪些?nullnullnull