含参数导数问题的三个基本讨论点

含参数导数问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的三个基本讨论点 含参数导数问题的三个基本讨论点 导数是研究函数图像和性质的重要工具，自从导数进入高中数学教材以来，有关导数问题是每年高考的必考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 之一。随着高考对导数考查的不断深入，含参数的导数问题又是历年高考命题的热点。由于含参数的导数问题在解答时往往需要对参数进行讨论，因而它也是绝大多数考生答题的难点，具体 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现在：他们不知何时开始讨论、怎样去讨论。对这一问题不仅高中数学教材没有介绍过，而且在众多的教辅资料中也难得一见，本文就来讨论这一问题，供大家参考。 1、​ 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。 例1（2008年高考广东卷（理科） 设 ，函数 ， 试讨论函数 的单调性。 解： 。 考虑导函数 是否有实根，从而需要对参数 的取值进行讨论。 （一）若 ，则 。由于当 时， 无实根，而当 时， 有实根， 因此，对参数 分 和 两种情况讨论。 （1）​ 当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上为增函数； （2）​ 当 时， 。 由 ，得 ，因为 ，所以 。 由 ，得 ；由 ，得 。 因此，当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数。 （二）若 ，则 。由于当 时， 无实根，而当 时， 有实根，因此，对参数 分 和 两种情况讨论。 （1） 当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上为减函数； （2） 当 时， 。 由 ，得 ；由 ，得 。 因此，当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数。 综上所述： （1）​ 当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函数，在 上为减函数。 （2）​ 当 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数。 （3）​ 当 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，在 上为增函数。 2、​ 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。 例2 (2008高考浙江卷理科)已知 是实数，函数 （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）设 为 在区间 上的最小值。 （ ）写出 的表达式；（ ）求 的取值范围，使得 。 解：（Ⅰ）函数的定义域为 ， ，由 得 。 考虑 是否落在导函数 的定义域 内，需对参数 的取值分 及 两种情况进行讨论。 （1）​ 当 时，则 在 上恒成立，所以 的单调递增区间为 。 （2）​ 当 时，由 ，得 ；由 ，得 。 因此，当 时， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 。 （Ⅱ）（ ）由第（Ⅰ）问的结论可知： （1）​ 当 时， 在 上单调递增，从而 在 上单调递增，所以 。 （2）​ 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以： 1​ 当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 。 2​ 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 。 综上所述， （ ）令 。 ①若 ，无解； ②若 ，由 解得 ； 3​ 若 ，由 解得 。 综上所述， 的取值范围为 。 3、​ 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 例3（2007年高考天津理科卷）已知函数 ，其中 。 （Ⅰ）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （Ⅱ）当 时，求函数 的单调区间与极值。 解：（Ⅰ）当 时，曲线 在点 处的切线方程为 。 （Ⅱ）由于 ，所以 。 由 ，得 。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数 的取值分 和 两种情况进行讨论。 （1）​ 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为减函数，在区间 为增函数。故函数 在 处取得极小值 ；函数 在 处取得极大值 。 （2）​ 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为增函数，在区间 为减函数。故函数 在 处取得极小值 ；函数 在 处取得极大值 。 以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 例4（07高考山东理科卷改编）设函数 ，其中 ，求函数 的极值点。 解：由题意可得 的定义域为 ， ， 的分母 在定义域 上恒为正，方程 是否有实根，需要对参数 的取值进行讨论。 （1）当 ，即 时，方程 无实根或只有唯一根 ，所以 在 上恒成立，则 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，从而函数 在 上无极值点。 （2）当 ，即 时，方程 ，即 有两个不相等的实根： 。 这两个根是否都在定义域 内呢？又需要对参数 的取值分情况作如下讨论： （ⅰ）当 时， ，所以 。 此时， 与 随 的变化情况如下表： 0 递减 极小值 递增 由此表可知：当 时， 有唯一极小值点 。 （ⅱ）当 时， ，所以 。 此时， 与 随 的变化情况如下表： 递增 极大值 递减 极小值 递增 由此表可知：当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 。 综上所述： （1）​ 当 时， 有唯一极小值点 ； （2）​ 当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 ； （3）​ 当 时， 无极值点。 从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解，最后作为练笔，请试解下题： 练习题（2007年高考海南理科卷）设函数 （Ⅰ）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性； （Ⅱ）若 存在极值，求 的取值范围，并 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 所有极值之和大于 。 （答案：（Ⅰ） ， 分别在区间 上单调递增，在区间 上单调递减； （Ⅱ） 存在极值时， 的取值范围 。 的极值之和为 ） （2010重庆文数）(19) (本小题满分12分), (Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.) 已知函数 (其中常数a,b∈R), 是奇函数. (Ⅰ)求 的表达式; (Ⅱ)讨论 的单调性，并求 在区间[1,2]上的最大值和最小值. （2010山东文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数 （I）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （II）当 时，讨论 的单调性. 解：（Ⅰ） 当 所以 因此， 即 曲线 又 所以曲线 （Ⅱ）因为 ， 所以 ， 令 （1）当 所以，当 ，函数 单调递减； 当 时， ，此时 单调递 （2）当 即 ，解得 ①当 时， 恒成立， 此时 ，函数 在（0，+∞）上单调递减； ②当 时， 单调递减； 时， 单调递增； ，此时 ，函数 单调递减； ③当 时，由于 时， ，此时 ，函数 单调递减； 时， ，此时 ，函数 单调递增。 综上所述： 当 时，函数 在（０，１）上单调递减； 函数 在（１，＋∞）上单调递增； 当 时，函数 在（0，+∞）上单调递减； 当 时，函数 在（0，1）上单调递减； 函数 在 上单调递增； 函数 上单调递减， （2010山东理数）(22)(本小题满分14分) 已知函数 . (Ⅰ)当 时，讨论 的单调性； （Ⅱ）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使 ，求实数 取值范围. 解：（Ⅰ）因为 ， 所以 ， 令 ， ①当 时， 恒成立，此时 ，函数 在 上单调递减； ②当 ， 时， ，此时 ，函数 单调递减； 时 ，此时 ，函数 单调递增； 时， ，此时 ，函数 单调递减； ③当 时，由于 ， ， ,此时 ，函数 单调递减； 时， ，此时 ，函数 单调递增. 综上所述： 0 （Ⅱ）因为a= ，由（Ⅰ）知， =1， =3 ，当 时， ，函数 单调递减； 当 时， ，函数 单调递增，所以 在（0，2）上的最小值为 。 由于“对任意 ，存在 ，使 ”等价于 “ 在 上的最小值不大于 在（0,2）上的最小值 ”（*） 又 = ， ，所以 ①当 时，因为 ，此时与（*）矛盾 ②当 时，因为 ，同样与（*）矛盾 ③当 时，因为 ，解不等式8-4b ，可得 综上，b的取值范围是 。 （2010辽宁文数）（21）（本小题满分12分） 已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， . 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )， . 当a≥0时， ＞0，故f(x)在(0,+ )单调增加； 当a≤－1时， ＜0, 故f(x)在(0,+ )单调减少； 当－1＜a＜0时，令 ＝0,解得x= .当x∈(0, )时, ＞0； x∈( ，+ )时， ＜0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减少. (Ⅱ)不妨假设x1≥x2.由于a≤－2,故f(x)在（0，+ ）单调减少. 所以 等价于 ≥4x1－4x2, 即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令g(x)=f(x)+4x,则 +4 ＝ . 于是 ≤ ＝ ≤0. 从而g(x)在（0，+ ）单调减少，故g(x1) ≤g(x2)， 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意x1,x2∈(0,+ ) ， .　　 （2010辽宁理数）（21）（本小题满分12分） 已知函数 （I）讨论函数 的单调性； （II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。 解： （Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. . 当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少； 当-1＜ ＜0时，令 =0，解得 . 则当 时， ＞0； 时， ＜0. 故 在 单调增加，在 单调减少. （Ⅱ）不妨假设 ，而 ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而 ， 等价于 ， ① 令 ，则 ①等价于 在（0，+∞）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-∞，-2]. ……12分 （2010北京理数）(18)(本小题共13分) 已知函数 ( )=In(1+ )- + ( ≥0)。 (Ⅰ)当 =2时，求曲线 = ( )在点(1， (1))处的切线方程； (Ⅱ)求 ( )的单调区间。 解：（I）当 时， ， 由于 ， ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 即 （II） ， . 当 时， . 所以，在区间 上， ；在区间 上， . 故 得单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 当 时，由 ，得 ， 所以，在区间 和 上， ；在区间 上， 故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 当 时， 故 得单调递增区间是 . 当 时， ，得 ， . 所以没在区间 和 上， ；在区间 上， 故 得单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 （2010江苏卷）20、（本小题满分16分） 设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。 (1)设函数 ，其中 为实数。 (i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。 (2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数， ， ，且 ， 若| |<| |，求 的取值范围。 [解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i) ∵ 时， 恒成立， ∴函数 具有性质 ； (ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。 当 时， ， ，故此时 在区间 上递增； 当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增； 当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ， 对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增； （方法二）当 时，对于 ， 所以 ，故此时 在区间 上递增； 当 时， 图像开口向上，对称轴 ，方程 的两根为： ，而 当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；同理得： 在区间 上递增。 综上所述，当 时， 在区间 上递增； 当 时， 在 上递减； 在 上递增。 (2)（方法一）由题意，得： 又 对任意的 都有 >0， 所以对任意的 都有 ， 在 上递增。 又 。 当 时， ，且 ， 综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1）。 （方法二）由题设知， 的导函数 ，其中函数 对于任意的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。 ①当 时，有 ， ，得 ，同理可得 ，所以由 的单调性知 、 ， 从而有| |<| |，符合题设。 ②当 时， ， ，于是由 及 的单调性知 ，所以| |≥| |，与题设不符。 ③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。