超几何分布的数学期望和方差的定义求法

参考文献 [ 1] 邓永录. 应用概率及其理论基础[ M ] . 北京: 清华大学出 版社, 2005: 110- 125. [ 2] 何春雄. 应用随机过程[ M ] . 广州:华南理工大学出版社, 2008: 12 - 73. [ 3] 龚龙鲁.随机微分方程及其应用概要[ M ] . 北京:清华大学 出版社, 2008: 22 - 25. [ 4] (美) Sheldon M . Ross . 概率论基础教程[ M ] . 郑忠国. 詹 从赞, 译.北京: 人民邮电出版社, 2003: 265- 293. A Conditioning Way of Calculating Expectation and Probability ZHU Fu Guo ( Depar tment o f Mathematics, H exi University, Zhangye, Gansu 734000, PRC) Abstract: � Based on condit ional expectat ion and indicat ive funct ion I A of random event A , with the formula o f total expectation, the ex tended fo rmula of total probability, and the properly tr anslated random variable, the method of calculating expectat ion and probability is condit ioned. Examples show how the new method w o rk. Keywords: � random variable; conditional expectat ion; the formula of to tal expectat ion; the formula of total probability. 超几何分布的数学期望和方差的定义求法 匡能晖 (湖南科技大学数学与计算科学学院,湖南湘潭, 411201) 收稿日期: 2008- 10- 27;修改日期: 2010- 04- 27. 作者简介:匡能晖( 1973- ) ,男,湖南邵东人,硕士, 讲师,主要从事概 率论研究工作, Email: kn h@ hnu st . edu. cn. 摘 要 � 利用排列的性质, 从超几何分布的定义出发, 针对服从超几何分布的随机变量,给出直接计算其数学 期望和方差的一种 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 . 关键词 � 超几何分布; 数学期望;方差 中图分类号 � O211 目前关于超几何分布的数学期望和方差的计算 问题的研究很少.文[ 1] 利用一种摸球模型的结果以 及数学期望和方差的性质, 给出一种解答. 文[ 2] 运 用概率母函数的性质提供另一种解答. 很多人认为如 果按定义计算, 将会很复杂. 因此至今没有人利用定 义给出直接求解.本文首次给出超几何分布的数学期 望和方差的定义求法,并且此法也比较简洁和直观. 定义1 [ 3- 5] � 设N 件产品中有M 件为次品,从中 任取n( n � M) 件产品,设其中次品数为X , 则称X 服 从超几何分布. 若 X 服从超几何分布,则其分布律为 P {X = k} = CkM Cn- kN - M C n N ( k = 0, 1, 2, , n) . 为求超几何分布的数学期望和方差,通常的方法 引入随机变量 X i = 1, � 若第 i件取得次品, 0, � 否则, i = 1, 2, , n, 则 X = !n i = 1 X i , P{X i = 1} = M N , P{X i = 0} = 1- M N , E (X i ) = M N , D (X i ) = M N - M 2 N 2 = M (N - M) N 2 , 所以 E( X ) = !n i= 1 E(X i ) = nM N . 由于 X i 和 X j 不是相互独立的, 而 73 Vol. 13, No . 4 Jul. , 2010 � � � � � � � � � � 高等数学研究 STUDIES IN COLLEGE M AT HEMATICS P{X iX j = 1} = P{X i = 1, X j = 1} = P {X i = 1} P{X j = 1 | X i = 1} = M N ∀ M - 1 N - 1 , E (X iX j ) = M (M - 1) N (N - 1) , 所以 D( X ) = D( !n i = 1 X i ) = !n i = 1 D(X i ) + 2[ ! 1 � i< j � n E ( X iX j ) - ! 1 � i< j � n E (X i ) E(X j ) ] = nM (N - M) N 2 + 2C 2 n M (M - 1) N (N - 1) - M 2 N 2 = nM ( N - n) ( N - M) N 2 (N - 1) . 引理 1 � !n k= 1 Ck- 1M- 1Cn- kN- M = Cn- 1N- 1 , (1 � n � N, 1 � M � N ) . 证明 � 构造数学模型:一袋中装有(M - 1) 个白 球和(N - M) 个黑球,考虑从中任意抽取( n - 1) 个 球的抽法.一方面,是从 [ (M - 1) + ( N - M) ] = ( N - 1) 个球中抽( n- 1) 个球的抽法为 Cn- 1N- 1 ;另一方面,是从 (M - 1) 个白球中抽( k- 1) 个,且从(N - M ) 个黑球 中抽 [ ( n - 1) - ( k - 1) ] = ( n- k) 个( k = 1, 2, , n) ,共 n种情况. 引理 1得证. 定理 1 � 设 X 服从超几何分布,其分布律为 P {X = k} = CkM Cn- kN - M CnN ( k = 0, 1, 2, , n) , 则 E( X ) = nM N . 证明 � E( X ) = !n k = 0 kCkMCn- kN- M C n N = M CnN ! n k= 1 (Ck- 1M- 1Cn- kN- M ) = MC n- 1 N- 1 CnN = nM N . 注1 � 其中用到引理1及 kCkM = MCk- 1M- 1 ,可见用 定义法求超几何分布的期望非常简洁. 定理 2 � 设 X 服从超几何分布,其分布律为 P{X = k } = C k MC n- k N- M CnN ( k = 0, 1, 2, , n) , 则 D(X ) = nM (N - n) (N - M ) N 2 (N - 1) . 证明 � E(X 2) = !n k = 0 k 2CkMCn- kN- M C n N = M CnN ! n k= 1 [ kC k- 1 M- 1 C n- k N- M ] = M C n N !n k= 1 [ (k- 1)Ck- 1M- 1Cn- kN-M ] + !n k= 1 [Ck-1M-1Cn-kN- M] = M CnN ! n k= 2 [ (M- 1)Ck-2M-2Cn-kN- M] + !n k= 1 [Ck- 1M- 1Cn- kN- M] = M C n N [ (M - 1)Cn- 2N- 2 + Cn- 1N- 1 ] = M (M - 1) n( n- 1) N ( N - 1) + nM N . 所以 D(X ) = E (X 2 ) - [ E( X ) ] 2 = M (M - 1) n( n- 1) N( N - 1) + nM N - ( nM ) 2 N 2 = nM (N - n) (N - M ) N 2 ( N - 1) . 从上面可以看出,用定义计算超几何分布的数学 期望和方差, 是一种比较理想的方法. 参考文献 [ 1] 曹振华. 计算超几何分布的数学期望与方差的一种简便 方法[ J] . 工科数学, 1994, 10( 1) , 134 - 136. [ 2] 马松林. 超几何分布的数学期望和方差的一种新求法 [ J] . 巢湖学院学报, 2006, 8( 3) , 139 - 140. [ 3] 胡细宝, 王丽霞. 概率论与数理统计[ M ] . 北京: 北京邮 电大学出版社, 2004: 54- 55. [ 4] 张昕 . 概率统计辅导 [ M ] . 北京: 机械工业出版社, 2002: 95 - 96. [ 5] 高世泽. 概率统计引论 [ M ] . 重庆 : 重庆大学出版社, 2000. : 114 - 115. Calculate Mathematical Expectation and Variance of Hypergeometric Distribution Directly KUANG Neng H ui ( School of Mathematics and Computing Science, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan, Hunan 411201, PRC) Abstract: � Based on the propert ies of permutat ion and the def init io n of hyperg eometr ic dist ribut ion, the mathemat ical expectat ion and variance of hyperg eometric distr ibut ion can be calculated direct ly. Keywords: � hyperg eometric dist ribut ion; mathemat ical expectat ion; variance. 74 高等数学研究 � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2010 年 7 月