导数及其应用

〈 〈 2009.1▲ ▲ 一、 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 立意及思路 导数是高中新课程的新增内容， 它既是研究函数 性态的有力工具， 又是对学生进行理性思维训练的良 好素材. 从近几年的高考命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分析，高考对导数的考查 可分为三个层次： 第一层次主要考查导数的概念和某些实际背景， 以及求导公式和求导法则. 第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值， 求函数的单调区间，证明函数的增减性等. 第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数 内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、 方程 根的分布、 解析几何中的切线问题等有机地结合在一 起，设计综合 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 . 正是基于以上的认识， 本专题在例题设计上也是 逐层递进， 而在每一个例题上又注意一题多解和多题 一解，并且逐步拓展，使学生能循序渐进地掌握知识和 方法. 二、高考考点回顾 考试要求： （1） 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、 加速度、光滑曲线切线的斜率等）.掌握函数在某一点处 的导数的定义和导数的几何意义.理解导函数的概念. （2） 熟记基本导数公式（c，xm（m 为有理数），sinx， cosx，ex，ax，lnx，logax 的导数）. 掌握两个函数和、差、积、 商的求导法则. 了解复合函数的求导法则，会求某些简 单函数的导数. （3） 了解可导函数的单调性与其导数的关系 . 了 解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 （导数在极值点两侧异号）. 会求一些实际问题（一般指 单峰函数）的最大值和最小值. 三、基础知识梳理 1． 导数的有关概念 （1） 定义：函数 y ＝ f（x）的导数 f′（x），就是当 Δx→ 0 时， 函数的增量 Δx与自变量的增量 Δx的比 ΔyΔx 的极 限，即 f′（x）＝ lim Δx→0 Δy Δx ＝ lim Δx→0 f（x ＋ Δx） － f（x） Δx ． （2） 实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等. （3） 几何意义：函数 y ＝ f（x）在点 x0处的导数的几 何意义，就是曲线 y ＝ f（x）在点 P（x0，f（x0））处的切线的 斜率. 2． 导数的运用 （1）判断函数的单调性. 当函数 y ＝ f（x）在某个区域内可导时，如果 f′（x） ＞ 0，则 f（x）为增函数；如果 f′（x） ＜ 0，则 f（x）为减函数. （2）极大值和极小值. 设函数 f（x）在点 x0附近有定义，如果对 x0附近所 有的点，都有 f（x） ＜ f（x0）（或 f（x） ＞ f（x0）），我们就 说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值（或极小值）. （3）函数 f（x）在［a，b］上的最大值和最小值的求法. 四、例题讲解 例 1 （1）试述函数 y ＝ f（x）在 x ＝ 0处的导数的定义； （2）若 f（x）在 R上可导，且 f（x） ＝ －f（x），求 f′（0）. （1）解 如果函数 y ＝ f（x）在 x ＝ 0 处的改变量 Δy 与自变量的改变量 Δx 之比 ΔyΔx ＝ f（0 ＋ Δx） － f（0） Δx ，当 Δx→0 时有极限，这个极限就称为 y ＝ f（x）在 x ＝ 0 处 的导数，记作 f′（0） = lim Δx→0 f（0 ＋ Δx） － f（0） Δx . （2）解法一 ∵ f（x） ＝ f（－x），则 f（Δx） ＝ f（－Δx）， ∴ f′（0） = lim Δx→0 f（Δx） － f（0） Δx =- lim Δx→0 f（-Δx） － f（0） Δx ， 当 Δx→0时，有-Δx→0， ∴ f′（0） = lim -Δx→0 f（-Δx） － f（0） -Δx = -f′ （0）， ∴ f′（0） = 0. 解法二 ∵ f（x） ＝ f（－x），两边对 x求导，得 f′（x） = f′（x）·（-x）′ = -f′（x）. ∴ f′（0） = -f′（0）， ∴ f′（0） = 0. 评析 本题旨在考查学生对函数在某一点处的定 义的掌握.题（2）可对其几何意义加以解释：由于 f（x） ＝ f（－x），所以函数 y ＝ f（x）为偶函数，它的图像关于 y 轴 对称，因此它在 x ＝ x0处的切线关于 y 轴对称，斜率为 互为相反数，点（0，f（0））位于 y 轴上，且 f′（0）存在，故 在该点的切线必须平行 x 轴（当 f（0） ＝ 0 时，与 x 轴重 合），于是有 f′（0） ＝ 0. 在题（2）的解二中可指出：可导 的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的 奇函数的导函数为偶函数吗？ 例 2 设 f（x）在点 x0处可导，a为常数，则 lim Δx→0 f（x0 + aΔx） － f（x0 - aΔx） Δx 等于 （ ）. A． f′（x0） B． 2af′（x0） C． af′（x0） D． 0 解 lim Δx→0 f（x0 + aΔx） － f（x0 - aΔx） Δx = lim Δx→0 f（x0 ＋ aΔx） － f（x0 ） ＋ f（x0） － f（x0 - aΔx） Δx = a lim aΔx→0 f（x0 + aΔx） － f（x0 ） aΔx + a lim -aΔx→0 f（x0 - aΔx） － f（x0 ） -aΔx = 2af′ （x0）. 故选 C. 评析 在例 1的基础之上，本题旨在巩固学生对函 数在某一点处的导数的定义的掌握. 例 3 已知抛物线 C：y ＝ x2 ＋ 2x， 按下列条件求切 线方程： （1）切线过曲线上一点（1，3）. 拓展 已知抛物线 C1：y ＝ x2 ＋ 2x 和 C2：y ＝ －x2 ＋ a， 如果直线 l 同时是 C1和 C2的切线， 当 a 取何值时，C1 和 C2有且仅有一条切线？ 写出此公切线的方程. （2003 导数及其应用 ◎毛会梅 （河南省长葛市第三高级中学 461500） ZHUAN TI YAN J IU 专题研究 ZHUAN TI YAN J IU 专题研究 93 〈〈 2009.1 ▲▲ 年全国高考卷新课程（数学文科）） （2）切线过抛物线外的一点（1，1）. （2006年天津高 考） （3）切线的斜率为 2. 拓展 点 P 为抛物线 C：y ＝ x2 ＋ 2x 上任意一点，则 点 P到直线 y ＝ 2x － 2的最小距离为 ＿＿＿＿＿＿＿. 评析 本题考查曲线 y ＝ f（x）在点 x0 处的导数的 几何意义：曲线 y ＝ f（x）在点 P（x0，y0）处切线的斜率. 以 题组的形式通过不同角度让学生熟练掌握导数几何意 义的应用. 第（1）小题的拓展是将第（1）小题中的点一 般化，考查内容是一样的，是在第（1）小题的基础上有所 提高，激发学生的兴趣.第（3）小题的拓展与第（3）小题 解法类似，只是在出题上换个角度，属多题一解的类型. 例 4 设函数 f（x） = x2 + 1姨 - ax，其中 a ＞ 0. （1）求 f（x）的单调区间； （2）解不等式 f（x）≤ 1. 解 （1）f′（x） = x x2 + 1姨 - a. ①当 a≥ 1时，有 x x2 + 1姨 ＜ 1≤ a ，此时 f′（x）＜ 0， ∴函数 f（x）在区间（-∞，+∞）上是单调递减函数. ②当 0 ＜ a ＜ 1时， 解不等式 f′（x） ＜ 0得 x ＜ a 1- a2姨 ， ∴ f（x）在区间 -∞， a 1 - a2姨 姨姨 上是单调递减函数. 解不等式 f′（x） ＞ 0得 x ＞ a 1 - a2姨 ， ∴ f（x）在区间 a 1 - a2姨 ，+ 姨∞∞ 上是单调递增函数. （2）当 a≥ 1时， ∵ 函数 f（x）在区间（-∞,+∞）上是单调递减函数， 由 f（0） ＝ 1， ∴当且仅当 x≥ 0时 f（x）≤ 1． 当 0 ＜ a ＜ 1时， ∵ f（x）在区间 -∞， a 1 - a2姨 姨， 上是单调递减函数， f（x）在区间 a 1 - a2姨 ，+ 姨∞∞ 上是单调递增函数， 由 f（x） ＝ 1得 x ＝ 0或 x = 2a1 - a2 ， 且 0 ＜ a 1 - a2姨 ＜ 2a1 - a2 ， ∴当且仅当 0≤ x≤ 2a1 - a2 时，f（x）≤ 1． 综上可得： 当 a≥ 1时，f（x）≤ 1的解集为｛x｜x≥ 0｝； 当 0＜a＜1时， f（x）≤1的解集为｛x｜0≤x≤ 2a1-a2 ｝. 五、思维能力训练 （一）选择题： 1． 已知函数 y ＝ f（x） ＝ x 2 x≥ 0， x x ＜ 00 ， 那么 y′｜x＝0 的值 为 （ ）. A． 0 B． 1 C． 1或 0 D．不存在 2．已知曲线 C：y ＝ 3x － x3 及点 P（2，2），则过点 P 可向 C引切线的条数为 （ ）. A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 3．下列求导的式子中正确的是 （ ）. A． ［cos（1 － x）］′ ＝ －sin（－x） B． （eπx）′ ＝ eπ + eπx C． （ax）′ ＝ xax－1 D． ln 1x， 姨′= - 1x 4． 函数 y = a sin x + 13 sin3x 在 x = π3 处有极值， 则 （ ）. A． a ＝ 2 B． a ＝ 1 C． a = 12 D． a ＝ －2 5． 函数 y ＝ x3 － 3x， x∈［ a2 + 1姨 , 2姨 ］的最小值 是 a2 － 1，则实数 a的值是 （ ）. A． 0 B． a = 12 C． a = - 1 2 D． 1 6． 若 f（x） ＝ ax3 ＋ bx2 ＋ cx ＋ d（a ＞ 0）为增函数， 则 （ ） . A． b2 － 4ac ＞ 0 B． b ＞ 0，c ＞ 0 C． b ＝ 0，c ＞ 0 D． b2 － 3ac ＜ 0 （二）填空题 7．对函数 f（x），已知 f（3） ＝ 2，f′（3） ＝ －2，则 ＿＿＿＿＿. 8．某日中午 12 时整，甲船自 A 处以 16 km ／ h 的速 度向正东行驶， 乙船自 A 的正北 18 km 处以 24 km ／ h 的速度向正南行驶， 则当日 12 时 30 分时两船之间的 距离对时间的变化率是 ＿＿＿＿＿＿＿km ／ h. （2004 年全国高 考湖北卷（理科）16题） （三）解答题 9．设抛物线 C：y ＝ x2（x≥ 0）上的点 P0（x0，y0），过 P0 做曲线 C 的切线与 x 轴交于 Q1，过 Q1作平行于 y 轴的 直线与曲线 C 交于 P1（x1，y1），然后再过 P1作曲线 C 的 切线交 x 轴于 Q2，过 Q2作平行于 y 轴的直线与曲线交 于 P2（x2，y2），仿此作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…， Pn，Qn＋1，…，已知 x0 ＝ 1. （1）求过 P0的切线方程； （2）求lim n→∞ （x0 + x1 + x2 + … + xn）的值. 10． 如果 f（x） ＝ x2 ＋ 1，g（x） ＝ f［f（x）］，设 F（x） ＝ g（x）－λ（x），问：是否存在适当的 λ，使 f（x）在 -∞，- 2姨2， 姨 上是减函数，在 - 2姨2 ，， 姨0 上是增函数？ 若存在，求出 λ的值，若不存在，说明理由. 11．在半径为 R的球内，内接一个圆柱，问：该圆柱 的高为多少时，其体积最大？ 参考答案： （一）1．（D） 2．（D） 3．（D） 4．（A） 5．（A） 6．（D） （二）7． 8 8． －1．6 （三）9．（1）2x － y － 1 ＝ 0； （2） 2 10． λ ＝ 3 11． x = 2 3姨3 R ， 即圆柱的高为 2 3姨 3 R 时圆柱 的体积最大. ZHUAN TI YAN J IU 专题研究 ZHUAN TI YAN J IU 专题研究 94