9.1 直线的方程

nullnull第九编 解析几何§9.1 直线的方程 基础知识 自主学习要点梳理 1.直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基 准，x轴 与直线l 方向之间所成的角 叫 做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时， 规定它的倾斜角为 .②倾斜角的范围为 .正向向上0°≤ ＜180°0°null(2)直线的斜率 ①定义：一条直线的倾斜角 的 叫做这条 直线的斜率，斜率常用小写字母k 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示，即k= ， 倾斜角是90°的直线斜率不存在. ②过两点的直线的斜率公式 经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线 的斜率公式为k= 正切值tan null2.直线方程的五种形式nullnull3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程 （1）若x1=x2,且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程 为 ; (2)若x1≠x2,且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为 ; (3)若x1=x2=0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程 为 ; (4)若x1≠x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程 为 .x=x1y=y1x=0y=0null4.线段的中点坐标公式 若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y）， 则 ，此公式为线段P1P2的中点 坐标公式.null基础自测 1.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等 于1，则m的值为 （ ） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 解析 ∵kMN= =1，∴m=1.Anull2.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（ ） A.（18，8），（4，-4） B.（0，0），（ ，1） C.（0，-1），（3，2） D.（-4，1），（0，-1）null解析 对A过两点的直线斜率 对B过两点的直线斜率 对C过两点的直线斜率 对D过两点的直线斜率 ∴过D中两点的直线的倾斜角是钝角. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 Dnull3.下列四个命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中，假命题是 （ ） A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用 方程y-y0=k(x-x0)表示 B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2） 的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)= (x-x1)(y2-y1)来表示 C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方 程 表示 D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b 解析 A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B 正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直 线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线， 不正确.Dnull4.如果A·C＜0,且B·C＜0,那么直线Ax+By+C=0 不通过 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 由题意知A·B·C≠0. 直线方程变为y=- x- ， ∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0， ∴其斜率k=- ＜0,在y轴上的截距b=- ＞0, ∴直线过第一、二、四象限.Cnull5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴 围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 解析 设所求直线的方程为 ∵A（-2，2）在直线上，∴ ① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴ |a|·|b|=1 ② null 由①②可得 由（1）解得 方程组（2）无解. 故所求的直线方程为 即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程. 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0null题型一 直线的倾斜角 【例1】 若 ，则直线2xcos +3y+1=0 的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 题型分类 深度剖析null思维启迪 从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的 范围，再确定倾斜角范围. 解析 设直线的倾斜角为 ,则tan =- cos , 又∵ ∈ ，∴0＜cos ≤ ,∴ ≤ cos ＜0 即- ≤tan ＜0,注意到0≤ ＜ , ∴ ≤ ＜ . 答案 Bnull探究提高 （1）求一个角的范围，是先求这个角 某一个函数值的范围，再确定角的范围. （2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一 个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得 到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余 弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的 是消去变量 得到。null知能迁移1 直线xsin -y+1=0的倾斜角的变化范 围是 （ ） A. B.(0,π) C. D. 解析 直线x·sin -y+1=0的斜率是k=sin , 又∵-1≤sin ≤1，∴-1≤k≤1， ∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是 ； 当-1≤k＜0时，倾斜角的范围是 .Dnull题型二 直线的斜率 【例2】 已知直线l过点P（-1，2），且与以 A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交， 求直线l的斜率的取值范围. 分别求出PA、PB的斜率，直线l处 于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利 用数形结合即可求. 解 方法一 如图所示，直线PA的 斜率 直线PB的斜率思维启迪null 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC 时，它的斜率变化范围是［5，+∞）； 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜 率的变化范围是 ∴直线l的斜率的取值范围是 方法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0. ∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上， ∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，null即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤- . 即直线l的斜率k的取值范围是 ∪［5，+∞）. 方法一 运用了数形结合思想.当直线 的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时， 需根据正切函数y=tan 的单调性求k的范围，数 形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图 形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快 捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示 的平面区域的性质使问题得以解决.探究提高null知能迁移2 已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直 线l：y=k（x-2）+1 与线段AB相交，则k的取值范围是 （ ） A.k≥ B.k≤-2 C.k≥ 或k≤-2 D.-2≤k≤ 解析 由已知直线l恒过定点P（2，1），如图. 若l与线段AB相交， 则kPA≤k≤kPB， ∵kPA=-2，kPB= ， ∴-2≤k≤ .Dnull题型三 求直线的方程 【例3】 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距 相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y= 3x的倾斜角的2倍. 选择适当的直线方程形式，把所需要 的条件求出即可. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y= x，即2x-3y=0.思维启迪null若a≠0，则设l的方程为 ∵l过点（3，2），∴ ∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3- ,令x=0,得y=2-3k, 由已知3- =2-3k，解得k=-1或k= , ∴直线l的方程为 y-2=-（x-3）或y-2= (x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0.null（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为 ， 则所求直线的倾斜角为2 . ∵tan =3,∴tan 2 = 又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=- (x+1), 即3x+4y+15=0.null探究提高 在求直线方程时，应先选择适当的直 线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题 时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距 是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.null知能迁移3 求下列直线l的方程： （1）过点A（0，2），它的倾斜角的正弦值是 ； （2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半； （3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与 2x-3y-2=0的交点. 解 （1）设直线l的倾斜角为 ， 则sin = ,tan =± , 由斜截式得y=± x+2, 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.null（2）设直线l和l1的倾斜角分别为 、 ， 则 解得tan =3或tan =- （舍去）. 由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0. （3）解方程组 即两条直线的交点为（-5，-4）. 由两点式得 即5x-7y-3=0.null题型四 直线方程的应用 【例4】 （12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y 轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程. 先求出AB所在的直线方程，再求出A， B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用 相关的数学知识求最值.思维启迪null解 方法一 设直线的方程为 当且仅当 ,即a=4,b=2时，S△AOB取最 小值4， 4分 此时直线l的方程为 6分1分3分null 当且仅当a-2=1,b-1=2, 即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0. 12分8分10分null方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 当且仅当-4k=- ,即k=- 时取最小值，此时直 线l的方程为y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分1分3分null（2）|PA|·|PB|= 10分 当且仅当 =4k2,即k=-1时取得最小值,此时直 线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分 求直线方程最常用的方法是待定系数 法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点 斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而 方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独 特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决 问题的能力.探究提高null知能迁移4 已知直线l:kx-y+1+2k=0 (k∈R). （1）证明：直线l过定点； （2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的 方程. （1）证明 直线l的方程是：k（x+2)+(1-y)=0, ∴无论k取何值，直线总经过定点（-2，1）.null（2）解 由方程知,当k≠0时直线在x轴上的截距为 ,在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过 第四象限， 则必须有 解之得k＞0; 当k=0时，直线为y=1,符合题意，故k≥0.null（3）解 由l的方程，得 依题意得 null 方法与技巧 1.要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值 范围，熟记斜率公式：k= ，该公式 与两点顺序无关，已知两点坐标（x1≠x2）时， 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率.当x1=x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，此时直 线的倾斜角为90°.思想方法 感悟提高null2.求斜率可用k=tan （ ≠90°），其中 为倾 斜角，由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分 割，牢记：“斜率变化分两段，90°是分界，遇 到斜率要谨记，存在与否需讨论”. 3.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程，再求直线方程中的系数，这种方法叫待定系 数法. 4.重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线 上设一任意点P（x，y），再找出x，y的一次关 系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.null失误与防范 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在； 每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存 在斜率. 2.根据斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围； 二是要考虑正切函数的单调性. 3.利用一般式方程Ax+By+C=0求它的方向向量为 （-B，A）不可记错，但同时注意方向向量是不 唯一的. 4.利用三种直线方程求直线方程时，要注意这三 种直线方程都有适用范围，利用它们都不能求 出垂直于x轴的直线方程.null一、选择题 1. 直线l经过A（2，1）、 B（1，m2） （m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 （ ） A.［0， ） B. C. D. 解析 k= =1-m2≤1,又k=tan ,0≤ ＜ , 所以l的倾斜角的取值范围为定时检测Dnull2.直线l1:3x-y+1=0，直线l2过点（1，0），且它的 倾斜角是l1的倾斜角的2倍，则直线l2的方程为 （ ） A.y=6x+1 B.y=6(x-1) C.y= (x-1) D.y=- (x-1) 解析 由tan =3可求出直线l2的斜率 k=tan 2 = 再由l2过点（1，0）即可求得直线方程.Dnull3.若直线（2m2+m-3）x+(m2-m)y=4m-1在x轴上的 截距为1,则实数m是 ( ) A.1 B.2 C. D.2或 解析 当2m2+m-3≠0时, 在x轴上截距为 =1,即2m2-3m-2=0， ∴m=2或m= .Dnull4.直线x+(a2+1)y+1=0 (a∈R)的倾斜角的取值范围 是 （ ） A. B. C. D. 解析 斜率k=- ≥-1,故k∈［-1，0）， 由图象知倾斜角 ,故选B.Bnull5.直线ax+y+1=0与连结A（2，3）、B（-3，2）的 线段相交，则a的取值范围是 （ ） A.［-1，2］ B.（-∞，-1）∪［2，+∞） C.［-2，1］ D.（-∞，-2］∪［1，+∞） 解析 直线ax+y+1=0过定点C（0，-1），当直 线处在AC与BC之间时，必与线段AB相交，应满 足-a≥ 或-a≤ ，即a≤-2或a≥1.Dnull6.已知直线x=2及x=4与函数y=log2x图象的交点分别 为A，B，与函数y=lg x图象的交点分别为C，D， 则直线AB与CD （ ） A.相交，且交点在第Ⅰ象限 B.相交，且交点在第Ⅱ象限 C.相交，且交点在第Ⅳ象限 D.相交，且交点在坐标原点 解析 易知A（2，1），B（4，2），原点 O（0，0）， ∴kOA=kOB= .∴直线AB过原点. 同理C（2，lg 2），D（4，2lg 2），kOC=kOD= ∴直线CD过原点，且与AB相交，故选D.Dnull二、填空题 7.过两点A（m2+2，m2-3），B（3-m-m2，2m）的 直线l的倾斜角为45°，则m的值为 . 解析 由题意得： 解得：m=-2或m=-1. 又m2+2≠3-m-m2,∴m≠-1且m≠ ,∴m=-2. -2null8.若经过点P（1-a,1+a）和Q（3，2a）的直线的倾 斜角为锐角，则实数a的取值范围是 . 解析 由条件知直线的斜率存在，由公式得 因为倾斜角为锐角，所以k＞0， 解得a＞1或a＜-2. 所以a的取值范围是{a|a＞1或a＜-2}.（-∞,-2）∪(1,+∞)null9.直线y= x关于直线x=1对称的直线方程是 . 解析 在所求直线上任取一点坐标为（x,y），设 关于直线x=1对称点的坐标是（x0，y0）， 整理得：x+2y-2=0.（也可以用点斜式求解） x+2y-2=0null三、解答题 10.已知线段PQ两端点的 坐标分别为（-1，1）、 （2，2），若直线l:x+ my+m=0与线段PQ有交点， 求m的范围. 解 方法一 直线x+my+m=0 恒过A（0，-1）点. kAP= =-2， null又m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点， ∴所求m 的范围是 ≤m≤ . 方法二 过P、Q两点的直线方程为y-1= 即 代入x+my+m=0, 整理得： ,由已知-1≤ ≤2, 解得：- ≤m≤ .null11.已知△ABC中，A（1，-4），B（6，6）， C（-2，0）.求： （1）△ABC的平行于BC边的中位线的一般式方 程和截距式方程； （2）BC边的中线的一般式方程，并化为截距式 方程. 解（1）平行于BC边的中位线就是AB、AC中点 的连线. 因为线段AB、AC中点坐标为 所以这条直线的方程为null整理得：6x-8y-13=0， 化为截距式方程为 （2）因为BC边上的中点为（2，3），所以BC边 上的中线方程为 即7x-y-11=0, 化为截距式方程为null12.已知两点A（-1，2），B（m，3）. （1）求直线AB的方程； （2）已知实数m∈ 求直线AB的倾 斜角 的取值范围. 解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1, 当m≠-1时，直线AB的方程为null（2）①当m=-1时， = ; ②当m≠-1时，m+1∈ ∪（0， ］， 综合①②知，直线AB的倾斜角 返回