数形结合思想

高中数学复习系列学(教)案 题目 高中数学复习专题讲座 数形结合思想 高考要求 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合 应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决 运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征 重难点归纳 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化 （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图像 （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图像 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线 以形助数常用的有 借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 以数助形常用的有 借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合 典型题例示范讲解 例1设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围 命题意图 本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目 知识依托 解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C 进而将C B用不等式这一数学语言加以转化 错解分析 考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论 巧妙观察图像将是上策 不能漏掉a＜–2这一种特殊情形 技巧与方法 解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决 解 ∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下 ①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜a2≤z≤4} 要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾 ②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知 必须且只需 解得 ≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}， 要使C B必须且只需 解得2＜a≤3 ④当a＜–2时，A= 此时B=C= ，则C B成立 综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］ 例2已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证 命题意图 本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力 知识依托 解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程 进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上 错解分析 考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一 如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二 技巧与方法 善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题 证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图 从而 ｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β) 又∵单位圆的圆心到直线l的距离 由平面几何知识知｜OA｜2–( ｜AB｜)2=d2即 ∴ 例3曲线y=1+ (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围 解析 方程y=1+ 的曲线为半圆， y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 （ ］ 例4设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围 解法一 由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立 考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图像在［–1,+∞］时位于x轴上方 如图两种情况 不等式的成立条件是 (1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1) (2) a∈(–3,–2 ， 综上所述a∈(–3,1) 解法二 由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1) 令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图像 如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3， 故直线l对应的a∈(–3,1) 学生巩固 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 1 方程sin(x– )= x的实数解的个数是( ) A 2 B 3 C 4 D 以上均不对 2 已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b ，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β ，则实数a、b、α、β的大小关系为( ) A α＜a＜b＜β B α＜a＜β＜b C a＜α＜b＜β D a＜α＜β＜b 3 (4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是 4 已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是 5 设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β （1）求a的取值范围； （2）求tan(α+β)的值 6 设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y– )2=a2,a＞0},且A∩B≠ ，求a的最大值与最小值 7 已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点 求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值 8 把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？ 参考答案 1 解析 在同一坐标系内作出y1=sin(x– )与y2= x的图像如图 答案 B 2 解析 a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图像如图所示 答案 A 3 解析 联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t) 点A的几何图形是椭圆，点B 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示直线 考虑用点到直线的距离公式求解 答案 4 解析 解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得 答案 a＞3 5 解 ①作出y=sin(x+ )(x∈(0,π))及y=– 的图像，知 当｜– ｜＜1且– ≠ 时，曲线与直线有两个交点， 故a∈(–2,– )∪(– ,2) ②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a 相减得tan ， 故tan(α+β)=3 6 解 ∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心， a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1, )为圆心，a为半径的圆 如图所示 ∵A∩B≠ ，∴半圆O和圆O′有公共点 显然当半圆O和圆O′外切时，a最小 a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大 此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2 7 解 由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0) 由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如图 由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤ 当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号 即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为 ，– 于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6– 8 解 本题实际上是求正方形窗口边长最小值 由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小 如图 设AE=x,BE=y, 则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴ ∴ 课前后备注