数列中的子数列 1、在等差数列 中，公差 ， 的等比中项，已知数列 ， ， ， … 成等比数列，求数列 的通项（汕尾统考试题） 解：依题意 得： 故 新数列 则 等比 公比 又 而 2、已知数列 为等差数列，公差 ，由 中的部分项组成的数列： 为等比数列，其中 （1）求数列 的通项公式 （2）记 求 解：（1）由已知可得 等比， 得： 新数列 的公比 , 又 （2） 3、已知一个数列 各项是1或0，首项为1，且在第 个1和第 个1之间有 个0，则第20个1是该数列的第几项 解：所有的1构成一个子数列 ， ,设 则 ，且有： 即第2004个1是该数列的第4014013项 4、将数列 （其中 ）按第 个数进行分组得： …则1991位于第 n组 解：设第 组第1个数为 则 ，由迭加法易求得 ，设1991位于第 组，则： 得 1991位于第32组 子数列问题关键是处理等式“ ”中 的
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达式（通项） 5、设 的前 ，数列 的通项公式为 （1）、求数列 的通项公式 （2）、把数列 与 的公共项按从小到大的顺序排成一个新数列 ，求 的通项 解：（1）当 ，当 ，得： 等比，故有 （2）设 经计算知 而 故 ，又 6、已知数列 中， 解：令 ，再由 两式相除得： 故 是以4为首项，4为公比的等比数列 是以1为首项，4为公比的等比数列。 当 当 故 7、已知数列 满足条件： ，且 是公比为 的等比数列, 设 （1）求使不等式 成立的 的范围 (2 ) 求 (3 ) 设 的最大项和最小项 解:(1)依题 恒成立,不等式化为 结合 知 (2) 由 故 为公比的等比数列, 同理 为公比的等比数列, (3) 故 记 且: 故所求最大项为 所求最小项为 数列的递推(一) （一）迭(叠)加法: 若数列 满足 ,则可迭加法:在前式中分别 令 取1,2,3… 所得 个式子累加起来得: （二）迭乘法: 若数列 满足 则可使用迭乘法:同理可得: (注: 为连乘号) （三）待定系数法: 若数列 满足 , 则可使用待定系数法: 设 ,从而有 为常数 由 是以 为公比的等比数列可得: （四）特征方程法：若数列 满足 ，则可先解方程： ，则必有：（由韦达定理可证得结论成立）（ ） 上式说明 为公比的等比数列（ 为公比的等比数列） 从而得 再由等式两边除以 得： 迭加法可求出 进上步可得 的通项必有形状： 以上四种方法对应的递推关系，我们习惯上称之为：象等差型（迭加法）、象等比型（迭乘法）、一阶线性递推（待定系数）、二阶线性递推（特征方程） （五）归纳法：先计算 猜想通项，再用数学归纳法证明，归纳法适用于任何递推关系。 1、数列 满足 ，对于任意 都有 又知数列 的通项为 <1>求通项 及它的前 项和 <2>求 的前 项 <3>猜想 的大小关系，并说明理由。 解：<1> 可化为： 解之得： （舍去） <2> <3> 经计算有： 当 当 （用数学归纳法证明） (略) 2、（2004年天津市高考题）已知定义在R上的函数 和数列 满足下列条件： （ ）， （ ） （其中 为非0常数） <1> 令 ( ),证明： 是等比数列 <2> 求数列 的通项 <3>当 解:<1> 证明：由 ,可得： 由 故 是公比为 的等比数列 <2> 由<1>知 由迭加法得: 若 <3> 3、正数数列 的前 项和为 ，试求：<1>通项 <2>设 求证： 解：<1> 当 得： 当 相减得： 是以1为首项，2为公差的等差数列 <2> 4、已知点的序列 ，其中 中点， 的中点...... 的中点，求 解：由中点坐标公式可得： 解法一：归纳法： (可用特征方程猜） 下面用数学归纳法证明： 时，猜想成立。 假设 时猜想成立（ ），那么 时 猜想成立 综上 可知猜想成立， （利用特征方程可得下列解法） 解法二： 故 是常数列 再由待定系数法知： 解法三： 从而可得： 由迭加法可求出 (待续未完)
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