竞赛讲座 19排列组合、二项式定理

竞赛讲座19 -排列、组合、二项式定理 基础知识 1．排列组合题的求解策略 （1）排除：对有限条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况排除，这是解决排列组合题的常用策略． （2）分类与分步 有些问题的处理可分成若干类，用加法原理，要注意每两类的交集为空集，所有各类的并集是全集；有些问题的处理分成几个步骤，把各个步骤的方法数相乘，即得总的方法数，这是乘法原理． （3）对称思想：两类情形出现的机会均等，可用总数取半得每种情形的方法数． （4）插空：某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法．即先安排好没有限制条件的元素，然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间． （5）捆绑：把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素”，然后与其它“普通元素”全排列，然后再“松绑”，将这些特殊元素在这些位置上全排列． （6）隔板模型：对于将不可辨的球装入可辨的盒子中，求装的方法数，常用隔板模型．如将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个缝隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，分别装入4个不同的盒子中的方法数应为 ，这也就是方程 的正整数解的个数． 2．圆排列 （1）由 的 个元素中，每次取出 个元素排在一个圆环上，叫做一个圆排列（或叫环状排列）． （2）圆排列有三个特点：（i）无头无尾；（ii）按照同一方向转换后仍是同一排列；（iii）两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同，但元素之间的顺序不同，才是不同的圆排列． （3）定理：在 的 个元素中，每次取出 个不同的元素进行圆排列，圆排列数为 ． 3．可重排列 允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列． 在 个不同的元素中，每次取出 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序那么第一、第二、…、第 位是的选取元素的方法都是 种，所以从 个不同的元素中，每次取出 个元素的可重复的排列数为 ． 4．不尽相异元素的全排列 如果 个元素中，有 个元素相同，又有 个元素相同，…，又有 个元素相同（ ），这 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 个元素的全排列，它的排列数是 5．可重组合 （1）从 个元素，每次取出 个元素，允许所取的元素重复出现 次的组合叫从 个元素取出 个有重复的组合． （2）定理：从 个元素每次取出 个元素有重复的组合数为： ． 6．二项式定理 （1）二项式定理 （ ）． （2）二项开展式共有 项． （3） （ ）叫做二项开展式的通项，这是开展式的第 项． （4）二项开展式中首末两端等距离的两项的二项式系数相等． （5）如果二项式的幂指数 是偶数，则中间一项的二项式系数 最大；如果 是奇数，则中间两项的二项式系数 与 最大． （6）二项式开展式中奇数项的二项式系数之和等于偶数项系数之和，即 7．数学竞赛中涉及二项式定理的题型及解决问题的方法 二项式定理，由于结构复杂，多年来在高考中未能充分展示应有的知识地位，而数学竞赛的命题者却对其情有独钟． （1）利用二项式定理判断整除问题：往往需要构造对偶式； （2）处理整除性问题：构造对偶式或利用与递推式的结合； （3）求证不等式：通过二项式展开，取展开式中的若干项进行放缩； （4）综合其他知识解决某些综合问题：有些较复杂的问题看似与二项式定理无关，其实通过观察、分析题目的特征，联想构造合适的二项式模型，便可使问题迅速解决． 例题分析 例1．数1447,1005,1231有某些共同点，即每个数都是首位为1的四位数，且每个四位数中恰有两个数字相同，这样的四位数共有多少个？ 例2．有多少个能被3整除而又含有数字6的五位数？ 例3．有 个人参加收发电报培训，每两人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？ 例4．将 个不同的小球放入 个不同的盒子中，要使每个盒子都不空，共有多少种放法？ 例5．在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少个？ 例6．用8个数字1,1，7,7，8,8，9,9可以组成不同的四位数有多少个？ 例7．用 五种颜色给正方体的各个面涂色，并使相邻面必须涂不同的颜色，共有多少种不同的涂色方式？ 例8．某种产品有4只次品和6只正品（每只产品可区分），每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求最后一只次品在第五次测试时被发现的不同情形有多少种？ 例9．在平面上给出5个点，连结这些点的直线互不平行，互不重合，也互不垂直，过每点向其余四点的连线作垂线，求这此垂线的交点最多能有多少个？ 例10。.8位政治家举行圆桌会议，两位互为政敌的政治家不愿相邻，其入坐方法有多少种？ 例11．某城市有6条南北走向的街道，5条东西走向的街道．如果有人从城南北角（图 点）走到东南角中 点最短的走法有多少种？ 例12．用4个1号球，3个2号球，2个3号球摇出一个9位的奖号，共有多少种可能的号码？ 例13．将 个相同的小球，放入 个不同的盒子（ ）． （1）有多少种不同的放法？ （2）如果不允许空盒应有多少种不同的放法？ 例14．8个女孩和25个男孩围成一圈，任意两个女孩之间至少站着两个男孩．（只要把圆旋转一下就重合的排列认为是相同的） 例15．设 ，求 的值． 例16．当 时， 的整数部分是奇数还是偶数？证明你的结论． 例17．已知数列 （ ）满足： 求证：对于任意正整数 ， 是一次多项式或零次多项式． 例18．若 （ ），求证： ． 例19．设 的整数部分，求 的个数数字． 例20．已知 （ ）求 的个位数字． 例21．试证大于 的最小整数能被 整除（ ）． 例22．求证：对任意的正整数 ，不等式 ． 例23．设 ，且 ．求证对于每个 ，都有 训练题 1．8次射击，命中3次，其中愉有2次连续命中的情形共有（　　）种 （A）15　　　（B）30　　　　（C）48　　　（D）60 2．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（　　） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 3．若 的展开式为 ，则 的值为 （A） 　　　（B） 　　　　　（C） 　　　　　（D） 4．某人从楼下到楼上要走11级楼梯，每步可走1级或2级，不同的走法有（　）种 （A）144　　　（B）121　　　（C）64　　　（D）81 5．从7名男乒乓球队员，5名女乒乓球队员中选出4名进行男女混合双打，不同的分组方法有（　　）种 （A） 　　　（B） 　　　（C） 　　（D） 6．有5分、1角、5角的人民币各2枚、3张、9张，可组成的不同币值（非0）有（　　　　　）种 （A）79　　　（B）80　　　　（C）88　　　　（D）89 7．从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有________种 8． 把 写成 的形式，为 自然数，则 ＝　　　　． 9．已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{3,2,1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是______． 10．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种． 11．如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；（2）ab,bc,cd,da；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_________． 12．在一个正六边形的六个区域种植观赏植物，要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择，则有　　　　　种载种 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ． 13．10人围圆桌而，如果甲、乙二人中间相隔4人，有　　　　　种坐法． 14． 除以 的余数是　　　　　． 15．设 的展开中，用 记它的整数部分， 记它的小数部分．求证： 是一定值． 16．从 中，按从小到大的顺序选取 四个数，使得 ， ， ．问符合上要求的不同取法有多少种？ 17．8人围张一张圆桌，其中 、 两人不得相邻，而 、 两人以必须相邻的不同围坐方式有多少种？ 18．4对夫妇去看电影，8人坐成一排．若每位女性的邻座只能丈夫或另外的女性，共有多少种坐法？ 19．求证： ． 20．设 ， ， ， ．求证： ．