考试要求 1.了解直线与圆锥曲线的交点个数与相应方程组的解的对应关系；2.能用判别式法研究直线与圆锥曲线的位置关系；3.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的简单问题的基本方法；4.掌握直线与圆锥曲线有关的综合问题的解决方法.第9节 圆锥曲线的综合问题基础自测解析 (2)因为直线l与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3)因为直线l与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以l为垂直平分线的线段AB所在的直线l′与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式Δ＞0.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×答案 D答案 B4.已知抛物线y2＝8x，过动点M(a，0)，且斜率为1的直线l与抛物线交于不同的两点A，B，若|AB|≤8，则实数a的取值范围是________. 解析 由题意可设直线l方程为y＝x－a，与y2＝8x联立，得y2－8y－8a＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 所以y1＋y2＝8，y1y2＝－8a，又因为2＋a>0，所以－2<a≤－1.答案 (－2，－1]5.已知F1，F2是椭圆16x2＋25y2＝1600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为________. 解析 由题意可得|PF1|＋|PF2|＝2a＝20， |PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝144＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝202－2|PF1|·|PF2|， 解得|PF1|·|PF2|＝128，答案 646.(2019·嵊州适考)已知抛物线C：y2＝2x，点P(a，0)，O为坐标原点，若抛物线C上存在一点Q，使得OQ⊥PQ，则实数a的取值范围是________.答案 (2，＋∞)解 (1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t).由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2).设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，规律方法 研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含x2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用.但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.(1)解 由已知得F(1，0)，l的方程为x＝1.(2)证明 当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，规律方法 圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数
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示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.所以b2＝a2－c2＝2.(2)证明 由题意知，圆O的方程为x2＋y2＝3.由|ON|2＝3＋|MN|2，得32＋t2＝3＋(x0－3)2＋(y0－t)2，即ty－ty0＝－3x＋3x0，即ty＝－3(x－1)，直线l过椭圆C的右焦点F(1，0).综上所述，直线l过椭圆C的右焦点F(1，0).解 (1)因为抛物线y2＝2px过点(1，2)，所以2p＝4，即p＝2.故抛物线C的方程为y2＝4x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝kx＋1(k≠0).依题意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1>0，解得k<0或0<k<1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，－2).从而k≠－3.所以直线l斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，0)∪(0，1).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2).规律方法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.(1)解 当x＝0时，由x2＋(y－1)2＝4得y＝－1或y＝3；规律方法 处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.规律方法 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑以下几个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用给出或隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；(3)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(4)范围问题最后归结为函数求值域或解不等式.审题路线图[构建
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