函数零点的求法及应用

函数零点的求法及应用科技信息基础教育函数零点晌求法及应用盐城第一初级中学万中杰 [摘要]本文从函数零点的问题及其应用出发，介绍了函数零点的几种求法和函数零点在解题中的几种应用，研究了函数零点和方程的根的转化关系，并讨论了已知函数零点或零点个数如何确定参数的取值范围及函数零点在探究性问题中的应用，并结合例子说明函数零点理论在求解及理论研究等方面的应用。 [关键词】函数零点交点单调性极值函数的零点是高中数学新课程中新增的内容。如何判断一个函数是否有零点及函数的零点个数以及由零点或零点个数如何...

科技信息基础教育函数零点晌求法及应用盐城第一初级中学万中杰 [摘要]本文从函数零点的问题及其应用出发，介绍了函数零点的几种求法和函数零点在解题中的几种应用，研究了函数零点和方程的根的转化关系，并讨论了已知函数零点或零点个数如何确定参数的取值范围及函数零点在探究性问题中的应用，并结合例子说明函数零点理论在求解及理论研究等方面的应用。 [关键词】函数零点交点单调性极值函数的零点是高中数学新课程中新增的内容。如何判断一个函数是否有零点及函数的零点个数以及由零点或零点个数如何确定字母的取值范围等，本文给出了几种解法。函数的零点把函数和方程紧密地联系在一起，函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用，有些看似复杂的问题，借助零点都能迎刃而解。本文主要举例探讨了函数零点的求法及在解题中的应用。零点的概念是在分析了众多图像的基础上，由图像与轴的位置关系得到的一个形象的概念，学生可能会设法画出图像找到所有任意函数的可能存在的所有零点，但是并不是所有函数的图像都能具体的描绘出，所以就要能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。一、函数零点的求法对于函数y x)，我们把使f《x】：0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。函数零点的特点有：(I)函数零点是一个实数。当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零，零点不是一个点坐标；(2)函数的零点也就是函数y： x】图像与 x轴交点的横坐标；(3)求零点就是求方程 f(x)=o 的实数根。这样，函数 y= x)的零点就是方程 x)：：0的实数根，也就是函数 y=f (x)的图像与x轴交点的横坐标。所以，方程 x O有实数根等价予函数 v= x)的图像与x轴有交点等价于函数 v=f【x)有零点。 1．直接求根或画出函数图像求零点根据函数零点的定义，函数 y=f(x)的零点即~)--o的实数根，因此可以直接解方程求出零点，也可以画出函数 y=“x)的图像，它与x轴的交点个数就是函数的零点个数。这种方法要求易作函数的图像或容易解方程。例 l判断函数f(x)：x~-4ax一2+4a2的零点个数。分析画图或用判别式可得函数有两个零点。解法一 f(x)=x2 4ax一2+4aZ=-(x一2a)2-2此二次函数图像开口向上，图像对称轴 x=2a，由此作出函数图像如图 l，由图像可以看出函数有 2个零点。 ‘y - 2 O I 图 1 解法二 △=l6a }●4a 一2)=8>O，根据判别式法知函数有2个零点。利用函数的零点与方程的根之间的关系进行转化求解。 2．利用函数零点存在定理求零点如果函数y：f(x)在区问fa'b】上的图像是连续不断的一条曲线并且有 a)·ffb)O，所以 f(2)·f(3)<0，而二次函数 f(x)： X2 - 2x-1在区间【2，3】上是单调递增函数且图像是不间断的，这表明此函数图像在XIh](2-3)上一定穿过 x轴，如图2所示，即函数在区间(2，3)上存在零点、 3．转化为求两条曲线交点的问韪求零点一些方程不涉及方程根的具体值，只求根的个数的这类方程的解的问胚可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来．使问题的解决得到简化 O 1 2 3 图 2 例 3判断方程I x2—2x一3 l_a解的个数。分析此题并不涉及方程根的具体值，只求根的个数，而求方程的根的个数问题可以转化为求两条曲线的交点的个数问题来解决。解方程ix 一2x一-3 I=a根的个数问题就是函数y--l x：-2x一3 I与函数 y=a图像的交点的个数。作出抛物线y=x2-2x一3的图像，然后将 x轴下方的图像关于X轴翻折上去，就得到函数V=--I x2-2x一3 I的图像。再作出函数 y=a的图像，如图 3所示。哼 4 、、、／、， 0 ) 图 3 所以，当a4时，方程IxL2x一3 l=a两解；当OO， x)是增函数；当x∈(I，3)时，f(x)O，f(x)是增函数；所以x=l是极大值点，且极大值 1)一6<0，x一是极小值点，极小科技信息基础教育值 3)=一10<0(如图4)，因此函数有一个零点。二、函数零点的应用利用函数的零点可以求解一些参数的取值或取值范围以及研究方程的根的情况。 1．利用函数零点求函数的定义域利用连续函数的零点的性质，可以分折研究函数值的变化情况，从而解决函数的定义域问题。例5求函数 v=、／x 一5x+6的定义域。分析求函数 y=、／x 一5x+6的定义域，就是求自变量 X的取值范嗣，使X2-5x+6~0。解令 g(x)：x 5x+6，则 g(x)=0得x=2，3，这是 g(x)的两个零点，这两个零点将 x轴分成三个区间(一o。，2)，(2，3)，(3，+ )，在区间(一，2)内取 x：0 得 g(O)：6>0，由函数零点性质知当x∈(一。。，2)时有 g(x 0，且 X∈(2，3)时有 g(x)<0，当X∈(3，+o。)时有 g(x)>O。因此使 g(x)≥0成立的 X的范围是 (一，2]U[3，+ )，此即为函数的定义域。求出函数的零点后，充分利用函数零点的两个性质，得到在不同的自变量的取值范围内，函数值的不同取值情况： 2．利用函数零点解不等式如果函数的图像是连续的，那么当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号。但对于二次函数来说，如果它有一个二重零点，那么它通过这个二重零点时，函数值的符号不改变。如果函数的图像是连续的，那么在相邻的两个零点之间的所有函数值保持同号。例 6二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表 - 3 -2 一l 0 1 2 ．3 4 y 6 O -4 -6 -6 -4 0 6 求不等式 v=“ +bx+c>0的解集范围。解由表中数据可知函数的两个零点分别为一2和3，这两个零点将其余实数分为三个区间(一*，2)，(一2，3)，(3，+。。)。在区间(一，一2)中取特殊值一 3，因此根据二次函数变号零点的性质，当X∈(一o。，一2)时，都有 “x)>O；当 xE(一2，3)时，有 x)O。故不等式的解集为(一，一 2)U(3，+∞)。二次函数的图像是连续的，当它通过零点(不是二重零点)时，函数值变号，并且在任意两个相邻的变号零点之间函数值保持同号，根据二次函数变号零点的这一性质，可以求解二次不等式。 3．判断方程根的个数函数零点将函数与方程紧密联系在一起，使函数问题能够通过方程来解决，也可将方程问题从函数的角度结合图像等加以解决。函数的零点与方程的根有密切的联系，通过函数的零点可以研究方程的根的个数判断、分布等问题，解题中注意数形结合思想方法的运用。例 7已知函数 ffx)=ln(2+3x)一 x 若关于x的方程 x)=一2x+b在【O，1]上恰有两个不同的实根，求实数 b的取值范围。解：由f(x)=一2x+b ln(2+3x)一÷x2+2x—b=0 令 =ln(2+3x)一 3 2+2x_h测 _x-3x+2_专著当x∈[0，】时，‘p’(x)>0，于是 ‘P(x)在『0， ]上递增当 ∈[ ，1]时，‘Pt(x)<0，于是 ‘P(x)在[ ，1]dZiff~ 而‘P(—— )>‘P(o)，‘p( )>‘P(1) ．f(x)=一2x+b即‘p(x)=0在【0，1]恰有两个不同实根等价于 ‘P(0)=ln2一b≤0 (孚 2+ )÷+ 0 ‘P(1)=ln5 1-h≤0 ． · ．1n5专 0 f 3x4—5×(一2)+a>0 即。 tf(3)>0 【27—15+a>0 解得一12O) 当x∈(O，1)时，h’(x)>0，h(x)是增函数；当x∈(1，3)时'h’(x)(O，h(x)是减函数；当x∈(3，+m)时，h’(x)>0，h(x)是增函数；所以 h(x)最大值：h(1)：m一7，h(x)最小值=h(3)=m+61n3一l5 因为 x—+o，h(x)—+一；x—’+∞，h(x)—++∞ 所以要使函数 h(x)有且只有三个零点，必须且只需 fh(x)最大值=m一7>0 l h(x) =m+61n3—1 5<0 即 7

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