高考资源网 第十四章 极限与导数 1、 基础知识 1．极限定义：（1）若数列{un}满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m，当n>m且n∈N时，恒有|un-A|<ε成立（A为常数），则称A为数列un当n趋向于无穷大时的极限，记为 ，另外 =A
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示x大于x0且趋向于x0时f(x)极限为A，称右极限。类似地 表示x小于x0且趋向于x0时f(x)的左极限。 2 极限的四则运算：如果 f(x)=a, g(x)=b，那么 [f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)•g(x)]=ab, 3.连续：如果函数f(x)在x=x0处有定义，且 f(x)存在，并且 f(x)=f(x0)，则称f(x)在x=x0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x在x0处取得一个增量Δx时（Δx充分小），因变量y也随之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若 存在，则称f(x)在x0处可导，此极限值称为f(x)在点x0处的导数（或变化率），记作 (x0)或 或 ，即 。由定义知f(x)在点x0连续是f(x)在x0可导的必要条件。若f(x)在区间I上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x0处导数 (x0)等于曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。 6．几个常用函数的导数：（1） =0（c为常数）；（2） （a为任意常数）；（3） (4) ;(5) ;(6) ;（7） ；（8） 7．导数的运算法则：若u(x),v(x)在x处可导，且u(x)≠0,则 （1） ；（2） ；（3） （c为常数）；（4） ；（5） 。 8．复合函数求导法：设函数y=f(u),u= (x)，已知 (x)在x处可导，f(u)在对应的点u(u= (x))处可导，则复合函数y=f[ (x)]在点x处可导，且（f[ (x)] = . 9.导数与函数的性质：（1）若f(x)在区间I上可导，则f(x)在I上连续；（2）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递增；（3）若对一切x∈(a,b)有 ，则f(x)在(a,b)单调递减。 10．极值的必要条件：若函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值，则 11.极值的第一充分条件：设f(x)在x0处连续，在x0邻域(x0-δ,x0+δ)内可导，（1）若当x∈(x-δ,x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若当x∈(x0-δ，x0)时 ，当x∈(x0,x0+δ)时 ，则f(x)在x0处取得极大值。 12．极值的第二充分条件：设f(x)在x0的某领域(x0-δ,x0+δ)内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且 。（1）若 ，则f(x)在x0处取得极小值；（2）若 ，则f(x)在x0处取得极大值。 13．罗尔中值定理：若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使 [证明] 若当x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，则对任意x∈(a,b)， .若当x∈(a,b)时，f(x)≠f(a)，因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一个不等于f(a)，不妨设最大值m>f(a)且f(c)=m，则c∈(a,b)，且f(c)为最大值，故 ，综上得证。 14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，则存在ξ∈(a,b)，使 [证明] 令F(x)=f(x)- ,则F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使 =0，即 15．曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I内具有二阶导数，（1）如果对任意x∈I, ,则曲线y=f(x)在I内是下凸的；（2）如果对任意x∈I, ,则y=f(x)在I内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数，下凸函数为凹函数。 16．琴生不等式：设α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函数，则x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法与例题 1．极限的求法。 例1 求下列极限：（1） ；（2） ；（3） ；（4） 例2 求下列极限：（1） (1+x)(1+x2)(1+ )…(1+ )(|x|<1)； （2） ；（3） 。 2．连续性的讨论。 例3 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义，且恒满足f(x+1)=2f(x)，又当x∈[0,1)时，f(x)=x(1-x)2，试讨论f(x)在x=2处的连续性。 3．利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 4．导数的计算。 例5 求下列函数的导数：（1）y=sin(3x+1)；（2） ；（3）y=ecos2x；（4） ；（5）y=(1-2x)x(x>0且 )。 5．用导数讨论函数的单调性。 例6 设a>0，求函数f(x)= -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。 6．利用导数证明不等式。 例7 设 ，求证：sinx+tanx>2x. 7.利用导数讨论极值。 例8 设f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2处都取得极值，试求a与b的值，并指出这时f(x)在x1与x2处是取得极大值还是极小值。 例9 设x∈[0,π],y∈[0,1]，试求函数f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 三、基础训练题 1． =_________. 2．已知 ，则a-b=_________. 3． _________. 4． _________. 5．计算 _________. 6．若f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数，且 存在，则 _________. 7．函数f(x)在(-∞,+∞)上可导，且 ，则 _________. 8．若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P坐标为_________. 9．函数f(x)=x-2sinx的单调递增区间是_________. 10．函数 的导数为_________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 11．若曲线 在点 处的切线的斜率为 ，求实数a. 12.求sin290的近似值。 13．设0
0时，比较大小：ln(x+1) _________x. 9.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值为_________，最小值为_________. 10．曲线y=e-x(x≥0)在点M(t,e-t)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，则S(t)的最大值为_________. 11．若x>0，求证：(x2-1)lnx≥(x-1)2. 12．函数y=f(x)在区间(0,+∞)内可导。导函数 是减函数，且 >0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程，另设g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0), 表示m；（2）证明：当x∈(0,+∞)时，g(x)≥f(x)；（3）若关于x的不等式x2+1≥ax+b≥ 在(0,+∞)上恒成立，其中a,b为实数，求b的取值范围及a,b所满足的关系。 13.设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn+ ,证明：xn≤1(n∈N+). 五、联赛一试水平训练题 1．设Mn={（十进制）n位纯小数0• 只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则 _________. 2．若(1-2x)9展开式的第3项为288，则 _________. 3．设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时， ，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为_________. 4．曲线 与 的交点处的切线夹角是_________. 5．已知a∈R+，函数f(x)=x2eax的单调递增区间为_________. 6．已知 在(a,3-a2)上有最大值，则a的取值范围是_________. 7．当x∈(1,2]时，f(x)= 恒成立，则y=lg(a2-a+3)的最小值为_________. 8．已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若对任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x)|+ln[ ]<0恒成立，则实数m取值范围是_________. 9.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函数f(x)的最大值；（2）设01. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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