椭圆及其
标准
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方程学习目标：1.理解并掌握椭圆的定义；2.能根据椭圆的标准方程熟练地写出椭圆的焦点坐标，会用待定系数法确定椭圆的方程；3.初步掌握用相关点法和直接法求轨迹方程的一般方法.二、学习重点与难点重点：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想难点：运用椭圆的定义与其标准方程解决问题三、学习过程分析1、椭圆定义的回顾椭圆定义中，平面内动点与两个定点F1,F2的距离之和等于常数，当这个常数大于|F1F2|时，动点的轨迹是椭圆；当这个常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当这个常数小于|F1F2|时，动点不存在.2、椭圆的标准方程当且仅当椭圆的中心在坐标原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式。当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且 ； 当椭圆的焦点在轴上时，椭圆的标准方程为，其中焦点坐标为，，且3、典型例题例1、设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|：|PF2|＝4：3，求PF1F2的面积。[分析]由椭圆方程可求出2a与2c，且由|PF1|：|PF2|＝4：3知可求出|PF1|，|PF2|的长度，从而可求三角形的面积。［解］由于|PF1|＋|PF2|＝7，且|PF1|：|PF2|＝4：3，得|PF1|＝4，|PF2|＝3，又|F1F2|＝2c＝，显然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以PF1F2是以PF1，PF2为直角边的直角三角形，从而所求PF1F2的面积为S＝|PF1||PF2|＝43＝6.［变式训练］：已知点A(3,0)，B(－2,1)是椭圆内的点，M是椭圆上的一动点，试求|MA|+|MB|的最大值与最小值。例2、已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。.[分析]方法：由题设条件设出椭圆的标准方程，求出焦距与长轴长是求解本题的关键。因椭圆的焦点位置未明确在哪个坐标轴上，故应有两种情况，应用椭圆的定义。设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|PF1|=，|PF2|=由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF2|=,即，由|PF1|＞|PF2|知PF2垂直于长轴。所以在中，4c2=|PF1|2－|PF2|2=,所以c2=，于是b2=a2－c2=又由于所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为或.［变式训练］已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）。求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程。例3、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点(2，－3)且与椭圆具有共同的焦点.解（1）（2）［变式训练］求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)焦点在坐标轴上，且经过两点、；(2)经过点，且与椭圆具有共同的焦一课一练一、选择题（6分4）1．已知焦点坐标为(0，－4)、(0，4)，且过点(0，－6)的椭圆方程为()A．B．C．D．2．过点与椭圆4x2＋9y2＝36有相同焦点的椭圆方程为()A．B．C．D．3．椭圆的焦距是2，则m的值为()A．5B．3C．5或3D．204．椭圆的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么｜PF1｜∶｜PF2｜的值为()A．7∶1B．5∶1C．9∶2D．8∶3二、填空题（8分5）5．已知方程
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示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________________________．6．椭圆的焦点坐标是____________．7．经过的椭圆的标准方程是____________．8．若椭圆两焦点为F1(－4，0)、F2(4，0)，点P在椭圆上，且三角形PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆方程是__________________．9．已知三角形ABC的周长是8，B、C两点的坐标分别为(－1，0)、(1，0)，则顶点A的轨迹方程为__________________．三、解答题（共3题，36分）10．已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的左焦点到直线l：y＝x－2的距离为，求此椭圆方程．11．如图，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，三角形POF2是面积为的正三角形，求此椭圆方程．12．圆P经过点B(0，3)且与圆A：x2＋(y＋3)2＝100内切，求圆心P的轨迹方程．
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