习题51•导出如下3个求积公式，并给出截断误差的
表
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达式(1)左矩形公式：af(x)dxf(a)(ba)(2)右矩形公式：af(x)dxf(b)(ba)⑶中矩形公式：baf(x)dxf(ab2)(ba)解:(1)f(x)f(a)，bf(x)dxabf(a)dxaf(a)(ba)⑵f(x)f(b)，af(x)dxaf(b)dxf(a)(ba)baf()(xb)dxbf()a(xb)dx1(ba)21f()，,(a,b)ab⑶法1f(x)f(丁),法2可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式H(x)abababab...,,满足H()f(),H()f()，则有2222aaKf(x)H(x)-f()(x—2~)2,(a,b)于是2•考察下列求积公式具有几次代数精度：110f(x)dxf(0)丁⑴；11f(x)dxf(一；)f(；)。解：(1)当f(x)1时，左=1，右=1+0=1，左二右；111当f(x)x时，左，右=0，左=右；22221当f(x)x2时，左=-，右=1，左右，代数精度为13（2）当f（X）1时，左=2，右=2,左=右;当f(X)X时，左=0，右=（3)当f(X)X2时，左-，右11333当f(X)X3时，左0，右(..3)当f(X)X4时，左-，右5Q2精度为3。I，左=右;29，左右。代数130，左=右；(3)30,左=右;3•确定下列公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出其代数精度的次数。(1)11f(x)dx13【f(1)2f()3f()];bbf(x)dxba^Af(a)f(b)]2a(ba)2[f(a)f(b)]；(3)f(x)dxa°f(1)aif(0)a2f(1)。解:f(x)1时，左2，右-(123)32,左=右;f(x)x时，左0,右1(123f(x)x2时，左3，右3(1222);要使所给求积公式至少具有2次代数精度当且仅当满足1_61,255求积公式(1)：\f(x)dx-13』，12丄1匀51,2356)1^_651517612后f(1)2f(T6)3f(527)求积公式（2）:111f(x)dx3f(1)2f(!—^)5(B)当f(x)X3时，(A)的左端为1。的右端2(」)3526尸15(B)的右端1y/632(--)35(2)(A)和5i3(B)的代数精度均为23(526尸15baf(X)dXba〒仙f(b)(ba)2[f(a)f(b)]ba当f(x)1时，左ba，右(11)ba122ba122当f(x)x时，左(ba)，右[ab](ba)222当f(x)x2时，左1(b3a3)，3ba22右(a2b2)(ba)(a2b)要使求积公式具有2次代数精度，当且仅当3b3144当f(x)x3时，左x3dx-(b4a4),4右^^[a3b3]丄(ba)2[3a23b2]212b11当f(x)x4时，左x4dx-(b5a5)，b5的系数—。a55右宁[a4b4]士(ba)2(4a34b3)，212其中b5的系数112(4)1。因而代数精度为355•设函数f(x)由下表给出:x1.61.82.02..22.42.6f(x)4.9536.0507.3899.02511.02313.464x2.83.03.23.43.63.8f(x)16.44520.08624.53329.96436.59844.701解：x1.82.02.22.42.62.83.03.23.4f(x)6.0507.3899.02511.02313.46416.44520.08624.53329.964(1)复化梯形公式h0.2,xi1.8ih,i0,1,2,,8(2)h0.4(3)Romberg算法7•试用复化梯开公式计算曲线f(x)tanx在区间［0,］上这一段的弧长，取41103。21TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark66"\o"CurrentDocument"解：f(x)tanx,f(x)—cos2x30HYPERLINK\l"bookmark72"\o"CurrentDocument"1681641［1.280841.415921.429861.459251.50746HYPERLINK\l"bookmark74"\o"CurrentDocument"232所求弧长为T321.278819.利用积分—dxIn4计算In4时，若采用复化梯形公式，问应取多少节2x点才能使其误差绝对值不超过1105。2解：a2,b8,1f(x)1，f(x)122,f(x)3x2x3baf(x)dxTn(f)baf(12)h2,(2,8)要使只要4文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.取n949答：取950个等距节点，则有方法2I(f)Tn(f)11211f(x)dxTnf(a)f(b)h28110•用Romberg方法求dx2x上题结果比较中体会这2种方法的优缺点。1要求误差不超过-210解：将区间［2,8］作16等分,821611210822h222从所取节点个数与2,c319222528313437x2+—88888888f(x)188888882，192225，28，31，34，37404346495255586164x888888888f(x)88888888840,43,46,49,52,55,58,61,64实际上O12.用3点Gauss-Legendre公式求I0exdx1x解：0exdxt)三点^Gauss公式21•根据下列f(x)tanx的数值表:x1.201.241.281.321.36f(x)2.572152.911933.341353.903354.67344解：f(x)tanx1f(x)命2tanxD(x°,h)f(X0h)仁勺h)2h12(x°h,x°h)f(x°)D(x°,h)h2f(),实际误差f(1.28)D(1.28,0.08)0.96844268f(1.28)D(1.28,0.04)0.22813018
浙公网安备 33021202002483