圆的基本性质

圆的基天性质基础知识回放考点1对称性圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又拥有旋转不变性。温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，所以在谈及圆的对称轴时不可以说圆的对称轴是直径。考点2垂径定理定理：垂直于弦的直径均分______⑤______而且均分弦所对的两条___⑥________。常用推论：均分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，而且均分弦所对的两条_____⑧___________。温馨提示：垂径定理是中考取的要点观察内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 目难度不大，只需在平常的练习中，多注意 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机联合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是结构直角三角形；（2）常用的协助线：连结半径；过极点作垂线；（3）此外要注意答案不独一的状况，若点的地点不确立，则要考虑优弧、劣弧的差别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只需知足：①过圆心；②垂直于弦；③均分弦；④均分弦所对的优弧；⑤均分弦所对的劣弧；考点3圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。常用的还有：（1）在同圆或等圆中，假如两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○11____________，所对的弦_____○12___________。（2）在同圆或等圆中，假如两条弦相等，那么它们所对的圆心角○○____13___________，所对的弧______14__________。方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，能够概括为：在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其他各组量也都相等。温馨提示：（1）上述定理中不可以忽略“在同圆或等圆中”这个条件。不然，固然圆心角相等，可是所对的弧、弦也不相等。以齐心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在齐心圆中，所对的弧与弦都不相等。2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不可以既是优弧又是劣弧。考点4圆周角定理及其推论定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。方法点拨：定理中的推论应用十分宽泛，一般状况下用它来结构直角三角形，若需要直角或证明垂直时，往常作出直径就能解决问题。温馨提示：定理中的“同弧或等弧”不可以改为是“同弦或等弦”。由于在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。中考热门难点打破例1：如图1，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点?BPCP在劣弧CD上不一样于点C获得随意一点，则∠的度数是（）A．45oB．60oC．75oD．90oADCCOPOBCABODEADB例1图例2图例3图例2：如图，在eO中，AOB的度数为m，C是?D，E?ABACB上一点，是AB上不一样的两点（不与，两点重合），则DE的度数为（）A．mB．180omC．90omD．m222例3：高速公路的地道和桥梁最多．如图是一个地道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10米，净高CD=7米，则此圆的半径OA=（）A．5B．73737C．D．75中考效能测试一、选择题（每题3分，共30分）1．（09年南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（）A．3cmB．3cmC．23cmD．9cm2第1题图第2题图第3题图第4题图2．（09年天津市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（）A．28°B．56°C．60°D．62°3．（09南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°,⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（）A．3cmB．3cmC．23cmD．9cm24．（09年安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为（）A．2B．3C．4D．55．（09年安徽）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是（）A．120°B．125°C．135°D．150°6．（09年重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°，则∠A等于（）A．60°B．50°C．40°D．30°C第6题图第7题图第8题图ADB第9题图13米，则拱高为()7．（09年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为A．5米B．8米C．7米D．53米8．（09年山东青岛市）一根水平搁置的圆柱形输水管道横截面以下图，此中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（）A．0.4米B．0.5米C．0.8米D．1米9．（09山西省太原市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰巧经过AB的中点D，则AC的长等于（）A．53B．5C．52D．610.(09年云南省)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D＝35°，则∠OAC的度数是（）A．35°B．55°C．65°D．70°第10题图第11`题图第12题图第13题图二、填空题（每题3分，共30分）11．（09年长沙）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝44°，则∠A的度数为．12．（09年长春）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB10，，则BC的长为．A30°（09年福州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为14．（09年北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦?o，则∠ABD＝°.CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28CEABD第14题图第15题图第16题图第17题图15．（09年山东青岛市）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD＝__________°.16．（09年新疆乌鲁木齐市）如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD均分ACB，若AB＝2,∠CBA＝15°，则CD的长为．17．（09年广东省）已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30则BC＝______cm.18年山西省）以下图，A、B、C、D是圆上的点，170°，A40°，C—度．．（09则DOACB第18题图第20题图19.(09年上海市)在⊙O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝．20．(09成都)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．三、解答题（共60分）21．(此题6分)（09年广西钦州）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于1的纵坐标为A（1，0）、B（5，0）两点，点O5．求⊙O1的半径．yO1OAABBx第21题图图222．(此题6分)(’09年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD订交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC.求证：（1）CD⊥DF；（2）BC＝2CD.第22题图第22题图23．(此题6分)（09年甘肃庆阳）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延伸AP交圆于点E．∠E＝度；第23题图25．(此题7分)（09年株洲市）如图，点A、B、C是eO上的三点，AB//OC.（1）求证：AC均分OAB.（2）过点O作OEAB于点E，交AC于点P.若AB2，AOE30，求PE的长．第25题图26.(此题9分)(09年潍坊)以下图，圆O是△ABC的外接圆，BAC与ABC的均分线订交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC．1）求证：BDDCDI；（2）若圆O的半径为10cm，，求△BDC的面积．BAC120°第27题图参照答案基础知识回放①轴②中心③对称轴④圆心⑤弦⑥弧⑦弦⑧弧⑨相等⑩相等○○11相等12相等○○○○○直角○13相等14相等15相等16一半1718直径例1、A例2、B例3、C中考效能测试1．B【分析】此题观察同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.由于∠ＣＤＢ＝300，所以∠ＣＯＢ＝600，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝1ＣＯ＝3，依据勾股定理可得ＣＥ＝3，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3cm.2222．D【分析】此题观察了圆周角和圆心角的相关知识。依据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以∠AOB=2∠C。∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA,又∵∠OAB=28°,∴∠AOB=124°，所以∠C=62°.应选D.3．Ｂ【分析】此题观察同弧所对的圆周角和圆心角的关系及垂径定理的应用.由于∠ＣＤＢ＝300，所以∠ＣＯＢ＝600，所以在直角⊿ＣＯＥ中，ＯＥ＝1ＣＯ＝3，依据勾股定理可得ＣＥ＝3，所以ＣＤ＝2ＣＥ＝3cm.2224．B【分析】由垂径定理，可得DH=2,所以BH=BD2BH21,又可得△DHB∽△ADB.,所以有BD2BH?BA,(3)21BA,AB3.此题观察了垂径定理及相像三角形判断与性质。5．C【分析】由CD为腰上的高,I为△ACD的内心，则∠IAC+∠ICA=1(BACBCA)1(1800ADC)1(1800900)450,222所以AIC1800(IABICA)18004501350.又可证△AIB≌△AIC,得AIB=∠AIC=1350。6．C【分析】观察圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以∠A是∠BOC的一半，答案为C.7．B【分析】此题主要观察直角三角形和垂径定理的应用。由于跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连结OB，延伸CD到O，组成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，从而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。应选B。8．D【分析】观察点：此题观察圆的垂径定理和解直角三角形的相关知识。解题思路：依据题意，我们能够经过增添协助线获得以下列图形：OACBD设圆的半径为R，则OA=R，由垂径定理可得AC=10.80.4，OC=R-0.2，在RtOAC中，利用勾股定理可2得：R20.42(R0.2)2，解得R=0.5，故该圆的直径为0.521（米）。9．A【分析】此题观察圆中的相关性质，连结CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝1AB＝5，∴BC2＝5，依据勾股定理得AC＝53，应选A．10．B【分析】此题观察同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍，所以∠ＡＯＣ＝2∠Ｄ＝700，而⊿ＡＯＣ中，ＡＯ＝ＣＯ，所以∠ＯＡＣ＝∠ＯＣＡ，而1800－∠ＡＯＣ＝1100，所以∠ＯＡＣ＝550.法2：由于ＢＣ是直径，所以∠ＢＡＣ＝900，则∠ＯＡＣ＝900－∠ＢＡＯ，而⊿ＡＯＢ中，ＡＯ＝ＢＯ，所以∠ＡＢＯ＝∠ＢＡＯ，而∠ＡＢＯ＝∠Ｄ＝350，从而问题得解。11．22°【分析】此题观察了圆周角和圆心角的相关知识。依据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以此题的答案为4401220。212．5【分析】由于AB是圆的直径，则它所对的圆周角为直角，又AB10，A30°，依据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，则BC=5。13．2【分析】此题观察的是垂径定理和平行线、圆周角性质.由于AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以OD⊥BD,依据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.14．28【分析】此题综合观察了垂经定理和圆周角的求法及性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD，又依据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知∠ABD=28°.解答这种题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从哪处下手造成错解。15．48【分析】连结OD，依据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，AOD840,又因OD=OA，所以BADADO1(1800AOD)1(1800840)480。2216．3【分析】此题观察了垂径定理的基本图形.连结OC，过点O作OE，使OE⊥CD，垂足为点E，由于∠ABC=15°，OB=OC，所以∠OCB=15°，∠OCE=∠BCD-∠OBC=45°-15°=30°，在Rt△OCE中，CE=OC×cos30°=1×3,所以CD=3.217．4【分析】此题观察的是圆周角定理.依据直径所对的圆周角为直角能够获得∠C为直角.再依据30度角1所对的直角边等于斜边的一半,所以BC=AB=4cm.218．30【分析】∠1=∠A+∠B,∠B=30°,又∵∠C=∠B=30°.（同弧所对的圆周角相等）此题主要观察同弧所对的圆周角相等及三角形的外角的性质.有的同学会错误地应用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半从而获得∠C=1∠1=35°.219．5【分析】此题观察垂径定理与勾股定理。如图，在⊙O中，AB=6，OC⊥AB于C，则AC=1AB=3，在Rt△AOC2中，OAOC2AC242325.20．33【分析】由于AB＝BC，∠ABC＝120°，则∠CAB=∠ACB=30°，又AD为⊙O的直径，则∠ABD=90°，又AD＝6，AB=3，则BD=33。提炼知识。解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C，则有AC＝BC．yO1ACBxOAB由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．图2在1的纵坐标为5，Rt△AO1C中，∵OO1C＝5．112222＝3．∴⊙O的半径OA＝O1CAC(5)222．证：（1）设∠DFC＝θ，则∠BAD＝2θ在△ABD中，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADBABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ∴∠FCD+∠DFC＝90°CD⊥DF2）过F作FG⊥BC于G在△FGC和△FDC中，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCDFGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC∴△FGC≌△FDCGC＝CD且∠GFC＝∠DFC又∠BFC＝2∠DFC∴∠GFB＝∠GFCBC＝2GC，∴BC＝2CD.23．解：（1）45．（2）△ACP∽△DEP．原因：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE，△ACP∽△DEP．（3）方法一：∵△ACP∽△DEP，∴APAC.DPDE又AP＝AD2DP25，AC＝AD2DC222，∴DE＝210．5方法二：如图2，过点D作DFAE于点F．在Rt△ADP中，AP＝AD2DP25,又QS△ADP1ADgDP1APgDF，22DF＝25．5∴210．DE2DF524．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB于点D，∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F∵∠BCD＝＝∠F，∠FBC＝∠CBG∴△FBC∽△CBG∴BC2BGBFBCFBBGCB25．（1）∵AB//OC，∴CBAC；∵OAOC，∴COAC∴BACOAC即AC均分OAB.（2）∵OEAB∴AEBE11又QAOE30，PEA90∴OAE60∴AB2EAP1OAE30，∴PE1PA，设PEx，则PA2x，依据勾股定理得x212(2x)2，解22得x3（或许用tanEAPPE）3AE3即PE的长是.326．（1）证明：QAI均分BACBADDAC，BDDCQBI均分ABC，ABICBIQBADDAC，DBCDACBADDBC，又DBIDBCCBI，DIBABIBADDBIDIB，△BDI为等腰三角形BDID，BDDCDI（2）解：当BAC120°时，△ABC为钝角三角形，圆心O在△ABC外，连结OB、OD、OC，DOCBOD2BAD120°，DBCDCB60°，BDC为正三角形．又知OB10cm，3BD2OBsin60°210103cm2S△BDC3(103)2753cm24.答：△BDC的面积为753cm2．