专题：与圆有关的最值问题

引例引例引例与圆有关的最值（取值范围）问题1:在坐标系中，点A的坐标为（3,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，tan/BOC=m则m的取值范围是.2:如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作OD,以0为圆心0A长为半径作O弧Ab上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交OO于点E，BC=a，AC=b，求a3:如图，/BAC=60，半径长为1的圆O与/BAC的两边相切，为半径的圆P交射线AB、且AC=2设O,C为半圆b的最大值.P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长DE则线段DE长度的最大值为（）.1BCOAxBOCA£AB也是圆中的最值问题,只能凭直观yypAAADAE=60）正弦定理主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方一、题目分析：此题是一个圆中的动点问题，法，注重了初、高中知识的衔接1.引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点OA构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用；2.引例2:通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3.弓侧3:本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A构成三角形的不变条件（/构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略.直观感觉，画出图形；•特殊位置，比较结果；3•理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化•三、中考展望与题型训练例一、斜率运用如图，A点的坐标为（-2,1）,以A为圆心的OA切x轴于点B,P（a,b）为OA上的一个动点，请分别探索：①ba的最大值；②ba的最小值；③ba的最大值；④ba的最大值；C.6DA.3AC于DE两点，连接3.3"~F【拓展延伸】：①b2a的范围；②b2a的范围；例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1如图，在Rt△ABC中，/ACB=90,AC=4,BC=3点D是平面内的一个动点，且AD=2,M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是如图，OO的直径为4,C为OO上一个定点，/ABC=30,动点P从A点出发沿半圆弧Ab向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当长线于D点.在点P的运动过程中，线段在点P的运动过程中，线段P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延例三、正弦定理1如图,△ABC中，/BAC=60,别交ABCD长度的取值范围为AD长度的最大值为/ABC=45,AB=2j2,D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作OO分AC于E,F两点，连接EF,则线段A、定长弦CD在以AB为直径的OO上滑动(点CD与点2.如图，丄AB于点P,若CD=3AB=8贝UPM长度的最大值是例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为2的OO与直线I相切于点A,点P是直径线，垂足为C,PC与OO交于点D,连接PAPB,设PC的长为x大，且最大值是为一C作CPAB左侧半圆上的动点，过点(2vxV4),则当x=P作直线I的垂时，PD?CD的值最D2.如图，线段AB=4,C为线段AB上的一个动点，以ACBC为边作等边△ACD和等边△BCEOO外接于△CDE则O0半径的最小值为（）.A.4B.2、3C.32""FD.2E在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画OO,P是O0上一动点，且P在第一象限内，过点P作O0的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.7例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）1.如图，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=6BC=8D为AB边上一点，过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是.ACE02.如图，Rt△ABC中，/C=90°,ZA=30°,AB=4,以AC上的一点0为圆心0A为半径作O0,若O0与边BC始终有交点（包括B、C两点），则线段A0的取值范围是_.3.如图，射线PQ//射线MNPM1MNA为PM的中点，0为射线PQ上的一个动点，AC丄AB交MN于点C,当以0为圆心，以0B为半径的圆与线段PM有公共点时（包括PM两点），则线段0P长度的最小值为例五、其他几何知识的运用如图所示，AC丄AB,AB=6,AC=4,点D是以AB为直径的半圆0上一动点，DELCD交直线AB于点E,设/DAB=,(0°VV90°).若要使点E在线段0A上(包括0、A两点)，则tan的取值范围为.BB【题型训练】1.如图，已知直线I长线交直线I于点C,围为与O0相离，若在O0上存在点OALl于点A,0A=50A与O0相交于点P,AB与O0相切于点B,BP的延Q使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O0的半径r的取值范2.已知：如图，Rt△ABC中，/B=90o,/A=30o,BC=6cm点0从A点出发，沿AB以每秒疵cm的速度向B点方向运动，当点0运动了t秒(t>0)时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点,过E作EG丄DE交射线BC于G.若点G在线段BC上，则t的取值范围是若点G在线段BC的延长线上，则3.如图，OMON的半径分别为2cm,直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为12t的取值范围是.4cm,圆心距MN=10cmP为OM上的任意一点,当P、Q在两圆上任意运动时，3(D)Q为ON上的任意一点,tan的最大值为().(B)4.如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,个动点，连接APOP则厶AOP面积的最大值为(2150为矩形(A)4(B)(C)ABCD勺中心，以).358(D)D为圆心1为半径作OD,P为OD上的一1745.Q6.如图，在等腰Rt△ABC中，/C=90,AC=BC=4D是AB的中点，点E在AB边上运动（点E不与点A重合），过A、DE三点作O0,0O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中,线段EF长度的最小值为7.如图，AB两点的坐标分别为（2,0）、（0,2）,OC的圆心的坐标为（-1一个动点，线段DA与y轴交于点丘，则厶ABE面积的最小值是2返2,0），半径为1,若D是OC上的8.如图，已知一个动点，射线1,D是OC上的().().A、B两点的坐标分别为（-2,0）、（0,1）,AD与y轴交于点丘，则厶ABE面积的最大值是11c1033Rt△ABC中，/ACB=90,AC=BC=4OC的半径为1,点P在斜边AB上,PQ切OO于点Q则9.如图，等腰切线长PQ长度的最小值为（）.A.7B.2、2C.3D.4如图，在Rt△ABC中，/C=90°,AC=8,BC=6经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、则线段PQ长度的最小值是（）.TOC\o"1-5"\h\z1924A.19B.HYPERLINK\l"bookmark19"\o"CurrentDocument"4510.如图/BAC=60°，半径长1OP交射线ABAC于DE两点,n的范围的OO与/BAC的两边相切，P为OO上一动点，以P为圆心，PA长为半径的连接DE则线段DE长度的范围为.11.在直角坐标系中，点A的坐标为（3,0），点P（m,n）为12.在坐标系中，点A的坐标为(3,0),点B是y轴右侧一点，且AB=2,点C上直线y=x+1上一动点，且CB丄AB于点B,则tanACBm，则m的取值范围是.13.在平面直角坐标系中，M(3,4),P是以M为圆心,接PAPB,则PA'+PB最大值是.2为半径的OM上一动点，A(-1,0)、B(1,0),连1y/AOBj综合点评：与圆有关的最值问题，看着无从下手，但只要仔细观察，分析图形，寻找动点与定点之间不变的维系条件,构建关系，将研究的问题转化为变量与常量之间的关系，就能找到解决问题的突破口！