和差公式及倍角公式的运用

和差公式及倍角公式的运用一、和差公式sin(a(3)sinacos(3cosasincos(a(3)cosacos(3sinasintan(atanatan(31tanatan(3‘二、倍角公式sin2a2sinacosa,222sina2cosa1,2■2cos2也cos也sin也1」c2tanatan2a—1tana三、应用类型（题型一）-----给角求值【解析】原式=(cos100sin200cos200sin100)sin3002或原式=(sin800sin200cos200cos800)cos60012例1、求sin100osin(1600)cos200ocos(2800)的值.例2、计算12sin222.50的结果等于（）.1、2■33A.B.——C.——D.——2232【解析】12sin2__0_022.5cos452答案：1B例3、已知sin2…a—,贝Ucos(兀32a）的值为().A..51B.—-1C,—、,5D.—3993【解析】cos(兀2a)cos2a2(12sin2a)2sin2a答案：B例4、已知a为第三象限角，cosa【解析】La为第三象限角，COSa-，则tan2a535'2…3、24•sinav1COSa>1（一）—55f曰lsina4于正tana—COSa32tan1tan2a247例5、求sin1Oosin3Oosin5Oosin7Oo的值.【解析】法一：利用二倍角公式的变形公式Sin2a用牛：•sin2a2sinacosa,--sina,2cosa.--0』.N--0.』-0・原式=sin20?1?sin100?sin140.•八2cos100•2•2cos500‘2cos700_000_sin20?1?sin80?sin40_[一2sin80°•2•2sin40°‘2sin20°一16法二：先将正弦变成为余弦，再逆用二倍角公式扁刀rs"―p*——0—1—„___01__0„_0__0角牛：原式_cos80?—?cos40?cos20=—cos20cos40cos8022._._0_0一0_0_0一0_12sin20?cos20cos40cos80_sin40cos40cos80=_:_:22sin2004sin200sin800cos800sin16001；—__—8sin20016sin20016或原式_cos8001?-?cos40?cos20_-cos20cos40cos8021?sin400?cos400cos80022sin200001csin80cos80-?0—8sin2001sin160?016sin20016提示：sin2a2sinacosa,.sin2a--cosa2sina因此cos2000sin400■2sin20010一10一10=—sin200?—sin1000?—sin140021=—sin208_10——cos1081—,从而有sin108例6、求下列各式的值(1)一.2兀sin—8⑵—.兀tan—12,兀tan—12法三：构造对偶式，列方程求解令xsin100sin500sin700,ycos100cos500cos700.贝Uxvsin100cos100?sin500cos500?sin70°cos700xysincossincossincosi\j2?sin800?sin400=1sin800?sin400?sin2008001cos50cos70——y80sin300sin500sin700=116一:一sin2a…sina,cosa2cosasin2a2,cos2sina2asinac2tanacos2o,1tan2tan2ola【解析】(1)原式=1(2sin-11)1(122兀2sin2)8兀-cos-442；28(2)原式二…2兀1tan-=22兀1tan-12212/3.,兀tan—12-兀2tan—12,兀tan—6【题后感悟】对二倍角公式的理解应注意以下几点:(1)对“二倍角”应该有广义的理解，如：戏是膈的二倍角，"的二倍角，3.是的二倍角等;(2)公式逆用：主要形式有1…2sinacosasin2a,sinacosa—sin2%【变式训练】同步练习、求下列各式的值⑴cos200cos400cos600cos800;(2)(cos-■兀、/兀sin-)(cos—88si^);⑶87ttan—82兀1tan—（题型二）——给值求值例1、已知sin（-x）l,x（0,旨,求COS2X的值.454cos弓X）【点拨】求己x的范围求cosQx）的值利用cos2xsin（己2x）求值,兀兀叫(-x)]兀sin(—x).4TOC\o"1-5"\h\z44277^•'兀八、八•'兀、'兀、一'兀、叩sin(—2x)2sin(—x)cos(—x);cos(—x)2444【解析】x(0小4x。分,依题意,兀sin(―4ix)5'x)2兀\sin(—x)44.6T7c•,兀•,兀、/兀、乂cos2xsin(2x)2sin(—x)cos(—x)24425兀•兀兀•/兀、1cos(^x)sin[-(4x)]sin(4x)5,4.64.6原式=圣15【题后感悟】（1）从角的关系寻找突破口.这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.（2）当遇到己x这样的角时，可利用互余角的关系和诱导公式，将4x).7Ctctc条件与结论沟通.cos2xsin(j2x)2sin(、x)cos(、类似这样的变换还有:7tcos2xsin(§2x)x)cos(；x),sin2xcos(2x)22cos2(三x)1412sin2^x),4sin2xcos弓2x)12cos2(jx)2sin2(己x)1等等.例2、已知sinQx)-,x(0,-),求前2'的值.434.建、原式3sin(»x)sin2xcos弓2x)12sin2(fx)又X(0,》.x(0,!，44412(-)2-,39依题意，sin(己x)-,•.cos(-x)...434■、L;TtTtTtTt叩sin(—x)sin[—(—x)]cos(—x)4244・2(兀、』51sin(—x)——435,3【解析】、515（题型二）化简例、化简下列各式:⑴cos100(1V3tan100).cos70°1cos40°_2.2cos01兀2兀2tan(—0)sin(―440)【点拨】切化弦，并逆用二倍角公式0后sin100【解析](1)原式=疑100)sin200?2cos200cos100.3sin10°-2sin4002.2(cos100、3sin100)22(£cos100尹1n100)sin4002..2sin40°sin40°sin40022(sin300cos100cos300sin100)0sin4022.提示：1、1cos40°2cos220°；2、还可以将2sin120(2cos2120变为cos600，将烫变为sin600,因此，分子变为cos500.TOC\o"1-5"\h\z22■扁刀虹/c、质8cos20cos20cos20』HYPERLINK\l"bookmark150"\o"CurrentDocument"［解析］(2)原式=1.2sin(「6)兀sin(:26)cos2°———？cos2F0)2cos(-0)【题后感悟】被化简的式子中有切函数与弦函数时，常首先“切化弦”，然后 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 角的内部关系，看是否有互余或互补的，若有，应用诱导公式转化；若没有，再分析角间是否存在线性关系，并利用两角和与差的三角函数展开（或重新组合），经过这样的处理后，一般都会化简完毕.【变式训练】化简:3tan1203⑴02—0——；sin120(4cos21202)(2)1sinacosa1sinacosa1sinacosa1sinacosa1)2sin120cos120cos240【解析】⑴原式=3sin120cos1203sin1203cos12010■.302.3(—sin12——cos12)22sin240cos2404、3(sin300sin120cos300cos120)sin48043cos420sin4804.3sin480sin4804、3.⑵法--：原式=2sin^2aCOS—22sin2a2o_■aa2sin—COS—222a2cos—2。•a2sin2•asin2acos—2aCOS22cos2_•2sina2a22sincos—222aCOS222a2sin—2法二：原式=QaCOS2sin•asin2COSa)•asin—22(1sinacos-2aCOSo)sin2.a2(1sina)22cos222(1sinacosa)(1SinaCOSa)(1Sino)COSa4(1sina)22sino(1sina)sina四、万能公式(正、余弦的二倍角与正切的单角的关系)1.sin2a2sinaCOSa2sinaCOSa22sinaCOSa2tana2tana2tana2；1tana2.2.2COS2aCOSaSina22COSaSina22SinaCOSa21tan<2~,即COS2a1tana21tana1tana说明：这两个公式叫做“万能公式”,在是否记忆上不做硬性要求,但记住了S2a、C25T2a之间的关系，就会使解题过程更简捷.五、活用公式由于公式之间存在着紧密的联系，所以，就要求我们在思考问题的时候必须因势利导、融会贯通，要有目的地活用公式.主要形式有：sin2a2cosasin2a2sina(1)、1sin2asin2也cos2也2sinacosa(sin也cosa)2,sina⑵、sin2a2sinaCOSaCOSa2』cos2a2cos成1,2⑶、cos2也cos2_■_2也sincos2成12sina,“21cos2aacos成,2.21cos2asin成.2六、错例分析例、解不等式sinxcosx10.【错解】sinxcosx1,两边平方，得(sinxcosx)21,12sinxcosx1,sin2x0,2k兀2x2k兀XkZ),因化匕，k兀xk兀-(kZ).2即原不等式的解集为(Ek兀气其中kZ.2【正解】sinxcosx1,两边平方，得sinxcosx0,必有sinx0且cosx0,又sinx1,cosx1,x必为第一象限角，二2k兀x2k兀-(kZ).2即原不等式的解集为(2k：t,2k兀；),其中kZ.【错因】错因1:忽略了x为第一象限角(因为|sinx1,cosx1,又•/sinxcosx1,所以必须sinx0且cosx0）；错因2：上述方法引进了sinxcosx1的增解，如果改用恒等变形，得岳n(xj1,即sin(xj七，可避免增解，也无需寻找隐含条件.