3.4基本(jīběn)不等式:第一页，共39页。2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是(zhènɡshì)经过艺术处理的“弦图”。它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。一、问题(wèntí)引入第二页，共39页。情景(qíngjǐng)设置第三页，共39页。新课探究(tànjiū)第四页，共39页。新课探究(tànjiū)第五页，共39页。一般地，对于任意实数，我们有当且仅当时等号成立(chénglì)思考：如何(rúhé)证明？第六页，共39页。证明(zhèngmíng)：当且仅当时，此时第七页，共39页。2.代数意义：几何平均数小于等于(děngyú)算术平均数2.代数(dàishù)证明:3.几何意义(yìyì)：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当用去替换中的,能得到什么结论?基本不等式探究3第八页，共39页。第九页，共39页。当且仅当a=b时，取“=”号能否(nénɡfǒu)用不等式的性质进行证明？小组(xiǎozǔ)合作：第十页，共39页。在右图中，AB是圆的直径(zhíjìng)，点C是AB上的一点，设AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。基本不等式的几何(jǐhé)意义是：“半径不小于半弦。”EP98探究(tànjiū)第十一页，共39页。oabABPQ1.如图,AB是圆o的直径，Q是AB上任(shàngrèn)一点，AQ=a,BQ=b,过点Q作垂直于AB的弦PQ，连AP,BP,则半弦PQ=____,半径AO=_____几何(jǐhé)意义：圆的半径不小于圆内半弦长探究(tànjiū)4动态演示你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?2.PQ与AO的大小关系怎样?第十二页，共39页。证明(zhèngmíng):要证只要(zhǐyào)证()①②要证②，只要(zhǐyào)证()③要证③，只要证（－)④显然:是成立的,当且仅当时④④中的等号成立.证明:当时,.探究３第十三页，共39页。平方第十四页，共39页。基本(jīběn)不等式：当且仅当a=b时，等号成立(chénglì).当且仅当a=b时，等号成立(chénglì).重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。第十五页，共39页。2.基本(jīběn)不等式（均值定理）1.两个(liǎnɡɡè)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.两个(liǎnɡɡè)正数的等差中项不小于它们的等比中项。此定理又可叙述为：第十六页，共39页。1.重要(zhòngyào)不等式2.基本不等式（均值(jūnzhí)定理）注意(zhùyì)：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等第十七页，共39页。1.基本(jīběn)不等式：a=b基本(jīběn)不等式的变形：知识(zhīshi)要点：（当且仅当________时取“＝”号）．（当且仅当a=b时取“＝”号）．如果a≥0，b≥0，那么≥第十八页，共39页。重要(zhòngyào)变形2（由小到大）第十九页，共39页。应用基本(jīběn)不等式求最值的条件：a与b为正实数(shìshù)若等号成立(chénglì)，a与b必须能够相等一正二定三相等积定和最小和定积最大（a＞0，b＞0）第二十页，共39页。基本(jīběn)不等式当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立结论1：两个(liǎnɡɡè)正数积为定值，则和有最小值结论2：两个(liǎnɡɡè)正数和为定值，则积有最大值第二十一页，共39页。第二十二页，共39页。第二十三页，共39页。第二十四页，共39页。第二十五页，共39页。第二十六页，共39页。第二十七页，共39页。第二十八页，共39页。第二十九页，共39页。例题(lìtí)：第三十页，共39页。练习(liànxí)：第三十一页，共39页。例3．求函数的最大值，及此时x的值。解：，因为(yīnwèi)x>0，所以(suǒyǐ)得因此(yīncǐ)f(x)≤第三十二页，共39页。当且仅当，即时，式中等号成立。由于x>0，所以，式中等号成立，因此，此时。第三十三页，共39页。例４、已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值错解:即的最小值为过程(guòchéng)中两次运用了均值不等式中取“=”号过渡，而这两次取“=”号的条件是不同的，故结果错。错因：第三十四页，共39页。已知正数x、y满足2x+y=1，求的最小值解:当且仅当即:时取“=”号即此时(cǐshí)正确(zhèngquè)解答是:第三十五页，共39页。2、已知则xy的最大值是。1、当x>0时，的最小值为，此时(cǐshí)x=。213、若实数(shìshù)，且，则的最小值是（）A、10B、C、D、D第三十六页，共39页。4、在下列(xiàliè)函数中，最小值为2的是（）A、B、C、D、C第三十七页，共39页。下面几道题的解答可能(kěnéng)有错，如果错了，那么错在哪里？１．已知函数，求函数的最小值和此时x的取值．运用均值不等式的过程中，忽略(hūlüè)了“正数”这个条件．第三十八页，共39页。２．已知函数 ，求函数的最小值．用均值不等式求最值，必须(bìxū)满足“定值”这个条件．第三十九页，共39页。
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