会计学1第五章相似矩阵3.求一般矩阵A的特征值的
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。2.对类似上述特殊矩阵，较容易直接得到方程的解X和数。但对一般方阵A而言，是绝大多数非零向量难以满足的方程，仅从矩阵A不容易直接看出它的特征值和特征向量。将（5.1）式变形为：（5.2）第1页/共36页4.特征多项式注：是一个次多项式，方程在复数域内必有n个根，它们就是矩阵的全部特征值.从而n阶方阵在复数域内有n个特征值.则齐次线性方程组（5.2）有非零解的充要条件是为了方便起见，称为矩阵A的特征多项式第2页/共36页例求下面矩阵A的特征值。解第3页/共36页5.矩阵的特征值和矩阵的关系定理5.1设n阶方阵的n个特征值为：则证（5.6）A的特征多项式可表示为：(1）当是的特征值时，令第4页/共36页的行列式展开式中，主对角线上元素的乘积是其中一项：而行列式展开后，每项为取自于不同行不同列的个元素乘积，展开式的其余项至多包含个主对角线上元素.因此，特征多项式中含和的项只能在主对角元素乘积这一项中出现，故应有：（2）因为将它与（5.6）比较，即得第5页/共36页求一般矩阵A的特征值后，求方程组（5.2）的非零解，得到A的关于的全部特征向量。7.求一般矩阵A的对应特征值的特征向量的方法。推论n阶方阵A可逆的充要条件是A的n个特征值非零.6.方阵A的迹第6页/共36页例2求下面矩阵A的特征值和特征向量。解第7页/共36页由，得得解因此，上式在不同时为0时，给出A关于的全体特征向量。第8页/共36页此时是A的二重根，它对应有二个线性无关的特征向量：给出A关于的全体特征向量.只对应一个线性无关的特征向量求解得第9页/共36页解例3求的特征值和特征向量。第10页/共36页此时A的二重特征值-2,只对应一个线性无关的特征向量问题：从上面例子可以看到，的一个特征值对应着无穷多个特征向量.那么的一个重特征值对应着多少个线性无关的特征向量？而一个特征向量又能否对应不同的特征值？这都是有待讨论的问题.求得特征向量：解得特征向量第11页/共36页例4设n阶方阵A满足等式证明A的特征值为1或0。证设特征值，则存在向量由此第12页/共36页例5设是方阵A对应于特征向量X的特征值，证明：（1）对数是对应于特征向量X的特征值；（2）对正整数是对应于特征向量X的特征值；（3）若A是可逆的，则是对应于特征向量X的特征值。证由题意，对向量（1），即是对应于特征向量的特征值.第13页/共36页（3）A可逆时，由定理5.1的推论，用左乘两端，得（2）对应于特征向量的特征值.8.矩阵多项式所以对应于特征向量的特征值.则定义矩阵多项式第14页/共36页用例5的方法，读者可自证：若g（A）是矩阵多项式，值得注意的是，和矩阵A的特征向量是一样的.第15页/共36页例6设三阶方阵A的三个特征值分别为2，3，7，求行列式|5A+I|。解当是A的特征值时，由例5，是矩阵的特征值，即矩阵有特征值：由定理5.1第16页/共36页特征向量的性质：矩阵A关于特征值的m个特征向量的任何非零线性组合还是A关于的特征向量特征向量的性质由定义易证.第17页/共36页我们还要重点关注矩阵的特征向量的线性相关性。定理5.2设是矩阵A的不同特征值所对应的特征向量，则是线性无关的。证用数学归纳法对向量个数施归纳证明。设为对应于与两个特征向量，即为证的线性无关性，令①－②，得则有因为所以同理可得即定理对成立。①②第18页/共36页设由归纳假设，线性无关，因此用A左乘③，得又从而代入③，得③－④，得定理得证.③④第19页/共36页定理5.4设是n阶方阵A的一个t重特征值，则对应的特征向量中线性无关的最大个数≤t。定理5.4的证明超出了我们的范围，我们不证明该性质。定理5.3矩阵A的s个不同特征值所对应的s组各自线性无关的特征向量并在一起仍是线性无关的。第20页/共36页从以上定理可知，若A有n个互异的特征值，则每个仅对应一个线性无关的特征向量，从而A共有n个线性无关的特征向量若A的互异的特征值只有s个：，即有其中，若A的重特征值对应个线性无关的特征向量，必有，所以A共有个线性无关的特征向量。于是，n阶方阵A至多有n个线性无关的特征向量。第21页/共36页§5.2矩阵相似对角化1.矩阵相似的概念定义5.2对n阶方阵A和B，若有可逆的n阶方阵P，使得（5.8）则称A和B相似，或A相似于B，记为A~B。可逆矩阵P称为相似变换矩阵。相似是方阵之间的一种关系，第22页/共36页2.相似关系性质（1）A~A，（2）A~B，则B~A，（3）A~B且B~C，则A~C。即它是一种等价关系。证明第23页/共36页3.相似的矩阵具有一些共性定理5.5设n阶方阵A和B相似，则有（1）（2）（3）A和B的特征多项式相同，即从而A和B的特征值相同。证性质（1）、（2）显然，下面只证明性质（3）。因为，故存在可逆矩阵使，于是第24页/共36页矩阵相似对角形1.矩阵相似问题矩阵相似的主要问题，是求一个可逆矩阵P，使具有尽可能简单的形式。所谓矩阵相似对角形，是希望选一个变换矩阵P，使（5.9）第25页/共36页相似对角化定义5.3对n阶方阵A，若存在可逆矩阵P，使（5.9）式成立，则称A相似于对角矩阵，也称矩阵A可相似对角化。问题是如何确定可逆矩阵P和数，为此将（5.9）式变形为将按列分块为线性无关，代入上式，有第26页/共36页因此这说明可逆矩阵的个列线性无关.即相似于对角矩阵时，A有n个线性无关的特征向量。再由上述过程的逆推导，可得到相似于对角矩阵的结论.故有：第27页/共36页定理5.6n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。设有可逆阵P，使得则为A的n个特征值，而矩阵P的n个列向量是A的对应于这些特征值的n个线性无关的特征向量。第28页/共36页推论1若n阶方阵A有n个互异的特征值，则A必相似于对角矩阵。该推论只给出A相似于对角矩阵的一个充分条件，非必要条件。如例2给出的矩阵A有二重特征值－2，A有三个线性无关的特征向量，由定理5.6，A可相似于对角阵。而例3中矩阵有和例2中矩阵有一样的特征值，但只有二个线性无关的特征向量，故该矩阵就不能相似于对角矩阵。例2与例3还提供了两个矩阵特征值一样，但并不相似的例子。第29页/共36页推论2n阶方阵A相似于对角矩阵的充要条件是，A的每一个ti重特征值对应ti个线性无关的特征向量。A的重特征值一定得对应个线性无关的特征向量（以保证A有n个线性无关的特征向量），因而有:第30页/共36页例8判断下列矩阵能否相似于对角矩阵，若能，则求相似变换矩阵解（1）由为二重特征值，又其秩第31页/共36页当时，得故只对应一个线性无关的特征向量，不能相似于对角形.（2）由对应2个线性无关的特征向量，即可对角化所以第32页/共36页得解所以存在为单特征值，它有且仅有一个线性无关的特征向量，由对应的线性无关特征向量为第33页/共36页由题意有：解因为有三个互异特征值，故可取例9设三阶方阵A的三个特征值且对应的特征向量分别是求矩阵第34页/共36页第35页/共36页
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