北师大九年级数学知识点总结计划归纳最实用资料

精选文档精选文档PAGEPAGE17精选文档PAGE北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(上册)第一章证明(二)※等腰三角形的“三线合一”：顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。※等边三角形是特别的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形分成两个全等的直角三角形，此中一个锐角等于30o，这它所对的直角边必然等于斜边的一半。※有一个角等于60o的等腰三角形是等边三角形。※假如知道一个三角形为直角三角形第一要想的定理有：①勾股定理：a2b2c2（注意区分斜边与直角边）②在直角三角形中，若有一个内角等于30o，那么它所对的直角边等于斜边的一半③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（此定理将在第三章出现）※垂直均分线是垂直于一条线段而且均分这条线段的直线。（注意侧重号的意义）．．．．．．．．．<直线与射线有垂线，但无垂直均分线>※线段垂直均分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。※线段垂直均分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直均分线上。※三角形的三边的垂直均分线交于一点，而且这个点到三个极点的距离相等。（如图1所示，AO=BO=CO）AADFOOCCBBE图1图2※角均分线上的点到角两边的距离相等。※角均分线逆定理：在角内部的，假如一点到角两边的距离相等，则它在该角的均分线上。角均分线是到角的两边距离相等的全部点的会集。※三角形三条角均分线交于一点，而且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。(如图2所示，OD=OE=OF)第二章一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2bxc0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。．．．．．．※把ax2bxc0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。※解一元二次方程的方法：①配方法<马上其变为(x)20的形式>mbb24ac（注意在找abc时须先把方程化为一般形式）②公式法x2a③分解因式法把方程的一边变为0，另一边变为两个一次因式的乘积来求解。（主要包含“提公因式”和“十字相乘”）※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；第1页③把常数项移到方程的右侧；④两边加前一次项系数的一半的平方；⑤把方程转变为(xm)20的形式；⑥两边开方求其根。※根与系数的关系：当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；2当b-4ac<0时，方程无实数根。※假如一元二次方程ax2bxc0的两根分别为x1、x2，则有：x1x2bx1x2c。aa※一元二次方程的根与系数的关系的作用：1）已知方程的一根，求另一根；2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的对称式的值，特别注意以下公式：①x12x22(x1x2)22x1x2②11x1x2③(x1x2)2(x1x2)24x1x2x1x2x1x2④|x1x2|(x1x2)24x1x2⑤(|x1||x2|)2(x1x2)22x1x22|x1x2|⑥x13x23(x1x2)33x1x2(x1x2)⑦其余能用x1x2或x1x2 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达的代数式。（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：x2(x1x2)xx1x20（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的问题，可以转变为求一元二次方程x2(x1x2)xx1x20的根※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数状况只要设问题为x；但也有时也须依据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②找寻等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可依据其列出方程）。※办理问题的过程可以进一步概括为：分析求解解答问题方程检验抽象第三章证明（三）※平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两极点连成的线段叫做它的对角．．．．．．．线。．※平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线相互均分。※平行四边形的鉴识方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。两条对角线相互均分的四边形是平行四边形。※平行线之间的距离：若两条直线相互平行，则此中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等。这个距离称为平行线之间的距离。第2页菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：拥有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线相互垂直均分,每一条对角线均分一组对角。菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。※菱形的鉴识方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。对角线相互垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。矩形是特别的平行四边形。※矩形的性质：拥有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判断：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(依据定义)。对角线相等的平行四边形是矩形。四个角都相等的四边形是矩形。※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的全部性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判断：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线相互垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。一个内角为直角※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。一组邻边相等菱形（或对角线相等）一组邻边相等且一个内角为直角平行四边形正方形（或对角线相互垂直均分）一邻边相等一内角为直角矩形或对角线垂直鹏翔教图3※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。※三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半。※夹在两条平行线间的平行线段相等。※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第3页第四章视图与投影※三视图包含：主视图、俯视图和左视图。三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右侧。主视图：基本可以为从物体正面视得的图象俯视图：基本可以为从物体上边视得的图象左视图：基本可以为从物体左面视得的图象※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框必定不在一个平面上。※在一个外形线框内所包含的各个小线框，必定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个小的平面体（或曲面体）。※在画视图时，看得见的部分的轮廓线平时画成实线，看不见的部分轮廓线平时画成虚线。物体在光辉的照耀下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影．．。太阳光辉可以看作平行的光辉，像这样的光辉所形成的投影称为平行投影．．．．。探照灯、手电筒、路灯的光辉可以看作是从一点出发的，像这样的光辉所形成的投影称为中心投影．．．．。※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。眼睛的地址称为视点；由视点发出的线称为视野；眼睛看不到的地方称为盲区。．．．．．．※从正面、上边、侧面看到的图形就是常有的正投影，是当光辉与投影垂直时的投影。①点在一个平面上的投影还是一个点；②线段在一个面上的投影可分为三种状况：线段垂直于投影面时，投影为一点；线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实质长度；线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实质长度。③平面图形在某一平面上的投影可分为三种状况：平面图形和投影面平行的状况下，其投影为实质形状；平面图形和投影面垂直的状况下，其投影为一线段；平面图形和投影面倾斜的状况下，其投影小于实质的形状。第五章反比率函数※反比率函数的看法：一般地，ykx（k为常数，k≠0）叫做反比率函数，即y是x的反比率函数。（x为自变量，y为因变量，此中x不可以为零）※反比率函数的等价形式：y是x的反比率函数←→yk(k0)←→ykx1(k0)←→xyk(k0)←→x变量y与x成反比率，比率系数为k.※判断两个变量是不是反比率函数关系有两种方法：①依照反比率函数的定义判断；②看两个变量的乘积能否为定值<即xyk>。（平时第二种方法更适用）※反比率函数的图象由两条曲线构成，叫做双曲线※反比率函数的画法的注意事项：①反比率函数的图象不是直线，所“两点法”是不可以画的；②采纳的点越多画的图越正确；③画图注意其雅观性（对称性、延伸特色）。※反比率函数性质：①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；③双曲线的两支会无穷凑近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴订交。第4页※反比率函数图象的几何特色:(如图4所示)点P(x,y)在双曲线上都有S矩形OAPB|xy||k|SAOB1|xy|1|k|22第六章频率与概率※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数．．；BPPBOAAO每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率．．；即：频率频数频数数据总数图4实验次数在频率分布直方图中，因为各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。所以，各个小长方形的面积的和等于1。※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不一样表示形式，前者正确，后者直观。用一件事件发生的频率来预计这一件事件发生的概率。可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂状况。※假设布袋内有m个黑球，经过多次试验，我们可以预计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率；※要估量池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，以后再从池塘中捉上200条鱼，如果此中有10条鱼是有标志的，再设池塘共有x条鱼，则可依照10010估量出鱼的条数。（注意估量出来的数据不x200是确实的，所以应谓之“约是XX”）※生活中存在大批的不确立事件，概率是描述不确立现象的数学模型，它能正确地衡量失事件发生的可能性的大小，并不表示必定会发生。第5页北师大版初中数学定理知识点汇总[九年级(下册)第一章直角三角形边的关系※一.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanAA的对边;．．A的邻边①tanA是一个完好的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比；tanA不表示“tan乘”以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。※二.正弦：．．△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinAA的对边定义：在Rt;斜边※三.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosAA的邻边;斜边※余切：△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即cotAA的邻边定义：在Rt;A的对边※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（平时我们称正弦、余弦互为余函数。相同，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则①sinAcos(90A)；cosAsin(90A)②tanAcot(90A)；cotAtan(90A)※当从低处观察高处的目标时，视野与水平线所成的锐角称为仰角．．※当从高处观察低处的目标时，视野与水平线所成的锐角称为俯角．．※利用特别角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值跟着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tgα·ctgα=1。0o30o45o60o90osinα01231222cosα13210222tanα0313—3cotα—31303(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值跟着角度的增大图1第6页※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出全部未知元素的过程，叫做解直角三角形。◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：sinAa,cosAb,tanAa,cotAb;ccbasinBb,cosBa,tanBb,cotBa;c1c1ab(4)ab面积公式:Schc(hc为C边上的高);22abc(5)直角三角形的内切圆半径r2(6)直角三角形的外接圆半径R1c2◎解直角三角形的几种基本种类列表以下：◎解直角三角形的几种基本种类列表以下：BhCi=h:llA图2图3图4※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角h(或叫做坡比)。用字母i表示，即itanA．．．．l◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方向角。如图3，OA、OB、OC的方向角分．．．别为45°、135°、225°。◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD．．．的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。第二章二次函数※二次函数的看法：形如yax2bxc(a、、b、是常数，a0)的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是．．．．第7页全体实数。yax2(a0)是二次函数的特例，此经常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，必定要找寻两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，※二次函数y＝ax2的图象是一条极点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。．．．描述抛物线常从张口方向、对称性、y随x的变化状况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与述。并确立自变量的取值范围。．．．．．．．．轴的交点等方面来描①函数的定义域是全体实数；②抛物线的极点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。③当a＞0时，抛物线张口向上，而且向上方无穷伸展。当a＜0时，抛物线张口向下，而且向下方无限伸展。④函数的增减性：、当＞时随增大而减小;时随增大而增大;A时x0,yxB、当a＜0时x0,yxa0时随增大而增大.时随增大而减小.x0,yxx0,yx⑤当｜a｜越大，抛物线张口越小；当｜a｜越小，抛物线的张口越大。⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0．※二次函数yax2c的图象是一条极点在y轴上且与y轴对称的抛物线※二次函数yax2bxc的图象是以xb为对称轴，极点在（b，4acb2）的抛物线。（张口2a2a4a方向和大小由a来决定）|a|的越大，抛物线的张口程度越小，越凑近对称轴抛物线的张口程度越大，越远离对称轴y轴，yy轴，y随x增加（或降落）速度越快；|a|的越小，随x增加（或降落）速度越慢。※二次函数yax2c的图象中，a的符号决定抛物线的张口方向，|a|决定抛物线的张口程度大小，c决定抛物线的极点地址，即抛物线地址的高低。※二次函数yax2bxc的图象与y＝ax2的图象的关系：yax2bxc的图象可以由y＝ax2的图象平移获取，其步骤以下：①将y2bxc配方成yaxh2k的形式；（此中h=b4acb2）；ax()2a，k=4a②把抛物线yax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，获取y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线ya(xh)2向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|个单位，便获取ya(xh)2k的图象。※二次函数yax2bxc的性质：二次函数yax2bxc配方成ya(xb)24acb2则抛物线的2a4a第8页b②极点坐标：（b2①对称轴：x=，4acb）2a2a4a③增减性：若a>0，则当x<b时，y随x的增大而减小；当x>b时，y随x的增大而增大。2a．．．．．2a．．．．．．若a<0，则当x<b时，y随x的增大而增大；当x>b时，y随x的增大而减小。2a．．．．．2a．．．．．．④最值：若a>0，则当x=b时，y最小4acb2b4acb2；若a<0，则当x=时，y最大2a4a2a4a※画二次函数yax2bxc的图象：我们可以利用它与函数yax2的关系，平移抛物线而获取，但常常我们采纳简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤以下：①先找出极点（b，4acb2），画出对称轴x=b；2a4a2a②找出图象上关于直线x=b对称的四个点（如与坐标的交点等）；2a③把上述五点连成圆滑的曲线。y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。¤二次函数的最大值或最小值可以经过将分析式配成¤解决最大（小）值问题的基本思路是：①理解问题；②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；③用数学的方式表示它们之间的关系；④做数学求解；⑤检验结果的合理性、拓展性等。※二次函数yax2bxc的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根※抛物线与x轴的交点状况可以由对应的一元二次方程的根的鉴识式判断：b24ac>0<===>抛物线与x轴有2个交点；b24ac=0<===>抛物线与x轴有1个交点；b24ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点（无交点）；※当b24ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：|AB||x1x2|(x2x1)2(x1x2)24x1x2化简后即为：|AB|b24ac(240)------这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。bac|a|第9页第三章圆.车轮为何做成圆形※1.圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点．．．．．记作⊙O，读作“圆O”随之旋转所O为圆心的圆，会集性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的会集。此中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，．．．．．．圆心定圆的地址，半径定圆的大小，圆心和半径确立的圆叫做定圆．．。对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件独一确立：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。2.点与圆的地址关系及其数目特色：假如圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则①点在圆上<===>d=r;②点在圆内<===>dd>r.此中点在圆上的数目特色是要点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。二.圆的对称性:※1.与圆相关的看法：①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。直径：经过圆心的弦叫做直径。．．②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆．．．弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆．．。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。．．劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了差别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)．．③弓形：弦及所对的弧构成的图形叫做弓形．．。④齐心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做齐心圆．．．。⑤等圆：可以完好重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，可以相互重合的弧叫做等弧．．。⑦圆心角：极点在圆心的角叫做圆心角.．．．⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.．．．2.圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。3.垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，而且均分弦所对的两条弧。推论：均分弦（不是直径）的直径垂直于弦，而且均分弦所对的两条弧。说明：依据垂径定理与推论可知关于一个圆和一条直线来说，假如具备：①过圆心；②垂直于弦；③均分弦；④均分弦所对的优弧；⑤均分弦所对的劣弧。上述五个条件中的任何两个条件都可推出其余三个结论。第10页※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:1.1°的弧的看法:把极点在圆心的周角均分成360份时,每一份的角都是1°的圆心角,相应的整个圆也被均分成360份,每一份相同的弧叫1°弧.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.这里指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不可以写成∠AOB=,这是错误的.※3.圆周角的定义:极点在圆上,而且两边都与圆订交的角,叫做圆周角.※4.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.※推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所对的弧也相等；※推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；※四.确立圆的条件:※1.理解确立一个圆一定的具备两个条件:圆心和半径,圆心决定圆的地址,半径决定圆的大小.经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆,其圆心在这个两点线段的垂直均分线上.※2.经过三点作圆要分两种状况:经过同向来线上的三点不可以作圆.(2)经过不在同向来线上的三点,能且仅能作一个圆.※定理:不在同向来线上的三个点确立一个圆.3.三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形的看法:(1)三角形的外接圆和圆的内接三角形:经过一个三角形三个极点的圆叫做这个三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形.(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三极点的距离相等.五.直线与圆的地址关系※1.直线和圆订交、相切相离的定义:(1)订交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆订交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点做切点.(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2.直线与圆的地址关系的数目特色:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；d直线L和⊙O订交.d=r<===>直线L和⊙O相切.d>r<===>直线L和⊙O相离.3.切线的总判判定理:经过半径的外端而且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.4.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得以下结论:第11页假如一条直线具备以下三个条件中的任意两个,即可推出第三个.①垂直于切线;②过切点;③过圆心.5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的看法.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.6.三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形极点和内心的射线均分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线:连接内心和三角形的极点,该线均分三角形的这个内角.六.圆和圆的地址关系.※1.外离、外切、订交、内切、内含(包含齐心圆)这五种地址关系的定义.外离:两个圆没有公共点,而且每个圆上的点都在另一个圆的外面时,叫做这两个圆外离.(2)外切:两个圆有唯一的公共点,而且除了这个公共点之外,每个圆上的点都在另一个圆的外面时,叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点.订交:两个圆有两个公共点,此时叫做这个两个圆订交.(4)内切:两个圆有唯一的公共点,而且除了这个公共点之外,一个圆上的都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点.(5)内含:两个圆没有公共点,而且一个圆上的点都在另一个圆的内部时,叫做这两个圆内含.两圆齐心是两圆内的一个特例.2.两圆地址关系的性质与判断:(1)两圆外离<===>d>R+r(2)两圆外切<===>d=R+r(3)两圆订交<===>R-rd=R-r(R>r)(5)两圆内含<===>dr)※3.相切两圆的性质:假如两个圆相切,那么切点必定在连心线上.※4.订交两圆的性质:订交两圆的连心线垂直均分公共弦..弧长及扇形的面积※1.圆周长公式:圆周长C=2R(R表示圆的半径)※2.弧长公式:弧长lnR180(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)※3.扇形定义:一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所构成的图形叫做扇形.4.弓形定义:由弦及其所对的弧构成的图形叫做弓形.弓形弧的中点到弦的距离叫做弓形高.5.圆的面积公式.2圆的面积SR(R表示圆的半径)第12页nR2(R表示圆的半径,n表示弧所对的圆心角的度数)扇形的面积S扇形360※弓形的面积公式:(如图5)ABOOAOBABCCC(1)当弓形所含的弧是劣弧时,图5S扇形S三角形S弓形(2)当弓形所含的弧是优弧时,S弓形S扇形S三角形(3)当弓形所含的弧是半圆时,S弓形1R2S扇形八.圆锥的相关看法:2※1.圆锥可以看作是一个直角三角形绕着直角边所在的直线旋转一周而形成的图形,另一条直角边旋转而成的面叫做圆锥的底面,斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.※2.圆锥的侧面睁开图与侧面积计算:圆锥的侧面睁开图是一个扇形,这个扇形的半径是圆锥侧面的母线长、弧长是圆锥底面圆的周长、圆心是圆锥的顶点.假如设圆锥底面半径为r,侧面母线长(扇形半径)是l,底面圆周长(扇形弧长)为c,那么它的侧面积是:S侧11rlrlcl222S表S侧S底面rlr2r(rl)¤九.与圆相关的辅助线1.如圆中有弦的条件,常作弦心距,或过弦的一端作半径为辅助线.2.如圆中有直径的条件,可作出直径上的圆周角.3.如一个圆有切线的条件,常作过切点的半径(或直径)为辅助线.4.若条件交代了某点是切点时,连接圆心和切点是最常用的辅助线.¤十.圆内接四边形AOPB图6若四边形的四个极点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形,这个圆叫做这个四边形的外接圆.圆内接四边形的特色:①圆内接四边形的对角互补;②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.※十一.北师版数学未出理的相关圆的性质定理1.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线均分两条切线的夹角。如图6，∵PA，PB分别切⊙O于A、B∴PA=PB，PO均分∠APB2．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。A推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。如图7，CD切⊙O于C，则，∠ACD=∠BO3．和圆相关的比率线段：B①订交弦定理：圆内的两条弦订交，被交点分成的两条线段长的积相等；CD第13页②推论：假如弦与直径垂直订交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比率中项。图7如图8，AP?PB=CP?PD如图9，若CD⊥AB于P，AB为⊙O直径，则CP2=AP?PB4．切割线定理①切割线定理，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项；②推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图10，①PT切⊙O于T，PA是割线，点A、B是它与⊙O的交点，则PT2=PA?PB②PA、PC是⊙O的两条割线，则PD?PC=PB?PA5．两圆连心线的性质①假如两圆相切，那么切点必定在连心线上，也许说，连心线过切点。②假如两圆订交，那么连心线垂直均分两圆的公共弦。如图11，⊙O1与⊙O2交于A、B两点，则连心线O1O2⊥AB且AC=BC。6．两圆的公切线两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。如图12，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，连接O1A，O2B，过O2作O2C⊥O1A于C，公切线长为l，两圆的圆心距为d，半径分别为R，r则外公切线长：Ld2(Rr)2如图13，AB分别切⊙O1与⊙O2于A、B，O2C∥AB，O2C⊥O1C于C，⊙O1半径为R，⊙O2半径为r，则内公切线长：Ld2(Rr)2CBPAOD图8AOCO12B图11DCDOPBAAOPBT图10C图9AROOd1d1COO2R2rrBAB图12C图13第四章统计与概率实验频率与理论概率的关系不过在实验次数很多时,实验频率凑近于理论看法,但实验次数再多,也很难保证明验结果与理论值相等,这就是“随机事件”的特色.三.游戏公正吗?1.游戏的公正性是指游戏两方各有50%赢的机遇,也许游戏多方赢的机遇相等.2.表示一个事件发生的可能性大小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在0与1之间.第14页概率的展望的计算方法:某事件A发生的概率:事件A包含的基本领件的个数P基本领件的总数4.用分析的方法求事件发生的概率要注意要点性的两点:(1)要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果;(2)要弄清楚全部机遇均等的结果.（注：※表示要点部分；¤表示认识部分；◎表示仅供参阅部分；）∵∴⊙∠①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩?⊥第15页