第二章导数与微分§2.1导数的概念1.变速直线运动的速度设质点沿直线作非匀速运动,一.两个实例其走过的路程了S与时间t的函数关系式为:S=S(t).求某一时刻t0的瞬时速度.解:设从时刻t0到t0+△t这段时间质点走过的路程△S=S(t0+△t)--S(t0)从t0到t0+△t这段时间内,平均速度对非匀速运动的质点来说,平均速度可作为t0这时刻的瞬时速度的近似值,(△t很小时)(△t越小),(当△t→0时),极限存在,我们就有即2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置若N→M时,割线MN的极限位置MT,称为曲线在点M处的切线.两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量△y与自变量增量△x之比的极限.二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.导数定义的另外一种形式若记当△x→0时,x→x0若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:注意:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.例1.常数函数解:即求初等函数导数的公式解:例2.幂函数说明:对一般幂函数(为常数)例如,(以后将证明)例3.三角函数的导数.解:即类似可证得例4.求函数的导数.解:即三、导数的物理意义4.几何意义曲线在点的切线斜率为曲线在点处的切线方程:法线方程:注意:若切线方程:x=x0
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示切线垂直于x轴,法线方程:y=y0例6.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线例5.设存在,求极限解:原式四、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.即可导连续连续可导证:注意:函数在点x连续未必可导.例7:在x=0处连续,但不可导.为初等函数,所以在R上连续,不存在,在点的某个右邻域内五、单侧导数若极限则称此极限值为在处的右导数,记作即(左)(左)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,定理2.函数在点且存在简写为在点处右导数存在定理3.函数在点必右连续.(左)(左)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:6.判断可导性不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.2.增量比的极限;切线的斜率;连续函数不存在导数的几种常见情形0例如,01例如,例如,011/π-1/π例如y=x23(其图形大致如上图)备用题解:因为1.设存在,且求所以在处连续,且存在,证明:在处可导.证:因为存在,则有又在处连续,所以即在处可导.2.设故