ThismodelpaperwasrevisedbyLINDAonDecember15,2012.导数在研究函数中的应用测试题导数在研究函数中的应用测试题一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若函数f(x)在R上是一个可导函数，则f′(x)＞0在R上恒成立是f(x)在区间(-∞,+∞)内递增的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件2（原创题）函数单调递增区间是（）A.B.C.D.3已知函数在上是单调函数,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.4对于上可导的任意函数，若满足，则必有（）A.B.C.D.5函数有（）A.极大值，极小值B.极大值，极小值C.极大值，无极小值D.极小值，无极大值6已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是()A-1＜a＜2B-3＜a＜6Ca＜-1或a＞2Da＜-3或a＞67（改编题）函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A.个B.个C.个D.个8（原创题）函数的最小值为（）A.B.C.D.9已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c()A有最大值B有最大值－C有最小值D有最小值－10已知函数在区间上的最大值为,则a等于()A.B.C.D.或11（原创题）半径为5的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于()A.和B.和C.和D.以上都不对12（2011·山东高考）函数y=-2sinx的图象大致是()二填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）13（原创题）.函数的单调递增区间是______________.14函数在时有极值，那么的值分别为________.15若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为____________.16（改编题）.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20cm,要使其体积最大,则高为________________.三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17(本小题10分)已知的图象经过点，且在处的切线方程是（1）求的解析式；（2）求的单调递增区间.18(本小题10分)已知函数在与时都取得极值(1)求的值与函数的单调区间(2)若对，不等式恒成立，求的取值范围.20(本小题10分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤21）的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大20（改编题）(本小题10分)已知a为实数，.⑴求导数；⑵若，求在[－2，2]上的最大值和最小值；⑶若在(－∞，－2)和[2，+∞]上都是递增的，求a的取值范围.21(原创题)(本小题12分)已知函数f(x)＝ln(x+1)－ax（a>0）⑴求函数f(x)的单调区间；⑵当时，若，证明：．【挑战能力】★1已知函数，，其中．（1）若是函数的极值点，求实数的值；（2）若对任意的（为自然对数的底数）都有≥成立，求实数的取值范围2已知是函数的一个极值点,其中(1)求m与n的关系式;(2)求的单调区间;(3)当时,函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m,求m的取值范围.★3两县城A和B相聚20km，现
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在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对称A和城B的总影响度为.（1）将y表示成x的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离，若不存在，说明理由.导数在研究函数中的应用测试题答案一选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1【答案】A.【解析】当f′(x)＞0在R上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f′(x)≥0.2【答案】C【解析】令3【答案】B【解析】在恒成立，4【答案】C【解析】当时，，函数在上是增函数；当时，，在上是减函数，故当时取得最小值，即有得5【答案】C【解析】，当时，；当时，当时，；取不到，无极小值6【答案】D【解析】.由题意：f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0有两个不等实根,∴Δ=4a2-12(a+6)＞0,解得:a＜-3或a＞6.7【答案】A【解析】极小值点应有先减后增的特点，即8【答案】A【解析】令，当时，；当时，所以，，在定义域内只有一个极值，所以9【答案】B【解析】.由f(x)在[－1,2]上是减函数，知f′(x)＝3x2＋2bx＋c≤0，x∈[－1,2]，则15＋2b＋2c≤0b＋c≤－.10【答案】C【解析】当时,最大值为4,不合题意,当时,在上时减函数,最大,,解得,或(舍去).11【答案】B【解析】设矩形的一边长为x，则另一边长为，则，，令，解得，（舍去）.当时,,当时,,所以当时,l取最大值,即周长最大的矩形的边长为,.12【答案】C.【解析】因为y′=-2cosx，所以令y′=-2cosx>0，得cosx<，此时原函数是增函数；令y′=-2cosx<0，得cosx>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得C正确.二填空题（共4小题，每小题3分共12分，把答案填在相应的位置上）13【答案】【解析】因为,所以14【答案】【解析】，当时，不是极值点15【答案】－1【解析】f′(x)＝,当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当－
0，f(x)单调递增，当x＝时，f(x)＝，＝<1，不合题意.∴f(x)max＝f(1)＝，a＝－1.16【答案】cm【解析】设圆锥的高为x,则底面半径为,其体积为,,令,解得(舍去).当时,;当时,,所以当时,V取最大值.三解答题（本大题五个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17【解析】：（1）的图象经过点，则，切点为，则的图象经过点得（2）单调递增区间为18【解析】：（1）由，得，函数的单调区间如下表：极大值极小值所以函数的递增区间是与,递减区间是；（2），当时，为极大值，而，则为最大值，要使恒成立，则只需要，得.20【解析】（1）设商品降低x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的销售利润为f(x)，则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)又已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈［0,21］.（2）根据（1），我们有f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).故x＝12时，f(x)达到极大值11664，因为f(0)=9072，f(12)=11664，所以定价为30－12＝18元时能使一个星期的商品销售利润最大.20【解析】：⑴由原式得∴⑵由得,此时有.由得或x=-1,又所以f(x)在[－2,2]上的最大值为最小值为⑶解法一:的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得即∴－2≤a≤2.所以a的取值范围为[－2,2].解法二:令即由求根公式得:所以在和上非负.由题意可知,当x≤-2或x≥2时,≥0,从而x1≥-2,x2≤2,即解不等式组得－2≤a≤2.∴a的取值范围是[－2,2].21【解析】：⑴函数f(x)的定义域为．＝－a＝.,当．∴当x∈时，f(x)是增函数，即f(x)的单调递增区间为；当x∈时，f(x)是减函数，即f(x)的单调递减区间为.⑵证明：由⑴知，令，则＝．∴当x∈（－1，0）时，＜0，当x∈（0，＋∞）时，＞0．∴当时，≥，即≥0，∴．综上可知，当时，有．【挑战能力】1【解析】（1）∵，其定义域为，∴．∵是函数的极值点，∴，即．∵，∴．经检验当时，是函数的极值点，∴． （2）对任意的都有≥成立等价于对任意的都有≥．当［1，］时，．∴函数在上是增函数．∴．∵，且，．①当且［1，］时，，∴函数在［1，］上是增函数，∴.由≥，得≥，又，∴不合题意．②当1≤≤时，若1≤＜，则，若＜≤，则．∴函数在上是减函数，在上是增函数．∴.由≥，得≥，又1≤≤，∴≤≤．③当且［1，］时，，∴函数在上是减函数．∴.由≥，得≥，又，∴．综上所述，的取值范围为．2【解析】:(1)因为是函数的一个极值点,所以,即所以(2)由(1)知,当时,有当x变化时，与的变化如下表:故有上表知,当时,在单调递减,在单调递增,在上单调递减.(3)由已知得,即又所以,即…①设其函数开口向上,由题意知①式恒成立,所以,即m的取值范围为3【解析】：（1）如右图,由题意知AC⊥BC,,，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时,垃圾处理厂到A、B的距离都相等，ABCx且为，所以有，解得，∴（2）∵==，令，得，解得，即，又因为，所以函数在上是减函数，在上是增函数，∴当时，y取得最小值，所以在弧AB上存在一点，且此点到城市A的距离为，使建在此处的垃圾处理厂对城市A、B的总影响度最小.
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