中考数学专题训练---二次函数的综合题分类含答案

中考数学专 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 训练---二次函数的综合题分类含答案一、二次函数1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．1【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，227115最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，8242），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3210．【解析】【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得33出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S＝﹣x2﹣x+3，再利用二次函数的性△APC22质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：1bc0b2，解得：，42bc3c3∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：mn0m1，解得：，2mn3n1∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，1333127∴S＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．△APC2222283∵﹣＜0，21271∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，28215）．4（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝3232＝32，AN＝3212＝10，∴C＝＝＝△ANMAM+MN+ANAC+AN32+10．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关33系式；（2）利用三角形的面积公式找出S＝﹣x2﹣x+3的最值；（3）利用二次函△APC22数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．2．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．3①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；4②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．【答案】（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－2673．（3）①．①P（1－2，－2），P（1－，）．31224【解析】【分析】已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，bb∴−＝＝12a21∴b=-2∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），∴c=-3，∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，当y=0时，x2-2x-3=0．∴x，．1=-1x2=3∵A点在B点左侧，∴A（-1，0），B（3，0）设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，0＝3km则，3＝mk＝1∴m＝3∴直线BC的函数表达式为y=x-3；3（3）①∵AB=4，PQ=AB，4∴PQ=3∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，3则由抛物线的对称性可得PM=，2∵对称轴是直线x=1，1∴P到y轴的距离是，21∴点P的横坐标为−，217∴P（−，−）247∴F（0，−），475∴FC=3-OF=3-=44∵PQ垂直平分CE于点F，5∴CE=2FC=2∵点D在直线BC上，∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，∴DG=1，CG=1，53∴GE=CE-CG=-1=．22GD2在Rt△EGD中，tan∠CED=＝．EG365②P（1-2，-2），P（1-，-）．1222设OE=a，则GE=2-a，当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），∴1=1×（2-a），∴a=1，∴CE=2，∴OF=OE+EF=2∴F、P的纵坐标为-2，把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+2或1-2∵点P在第三象限．∴P（，），11-2-2当CD为斜边时，DE⊥CE，∴OE=2，CE=1，∴OF=2.5，5∴P和F的纵坐标为：-，2566把y=-，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，222∵点P在第三象限．65∴P（1-，-）．22265综上所述：满足条件为P（1-2，-2），P（1-，-）．1222【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．3．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【解析】【分析】（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转的性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形的性质，可得PM与ME的关系，解方程，可得t的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【详解】OB（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．OA∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为abc0a19a3bc0，解得：b2，抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；c3c3b（2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l1，∴E点坐标为（﹣2a1，0），如图，分两种情况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，EMEFOD1∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．MPCFCO3∵点P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：＝﹣，＝（与＜矛盾，舍去）．t12t23t0当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．【点睛】本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC，OD的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP＝3ME．4．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．【答案】（1）yx22x3；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；13t2t(0＜t＜3)22（3）S13t2t(t＜0或t＞3)22【解析】试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．试题解析：解（1）∵x2+4x30，∴x1，x3，∵m，n是一元二次方程12x2+4x30的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线yx22x31bc0b2的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴{，∴{，∴抛物线解析式为c3c3yx22x3；（2）令y=0，则x22x30，∴x1，x3，∴C（3，0），12∵yx22x3=(x1)24，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，t22t3），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（t22t3）=t23t，1113∴S=PM×QF=(t23t)=t2t，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t22221113＞3时，PM=t22t3﹣（t﹣3）=t23t，∴S=PM×QF=（t23t）=t2t．222213t2t(0t3)22综上所述，S={．13t2t(t0或t3)22考点：二次函数综合题；分类讨论．.5．如图，过A1,0、B3,0作x轴的垂线，分别交直线y4x于C、D两点抛物线yax2bxc经过O、C、D三点．1求抛物线的表达式；2点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；3若VAOC沿CD方向平移(点C在线段CD上，且不与点D重合)，在平移的过程中VAOC与VOBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．41333323321【答案】（1）yx2x；（2）或或；（3）．332223【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有44MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2﹣4x|；解方程|x2﹣4x|=3，求出x33的值，即点M横坐标的值；1（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S（t﹣6111）2；当t=1时，s有最大值为．33【详解】（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．4aab33∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，∴，解得，9a3b113b3413∴抛物线的表达式为：yx2x．33（2）存在．11设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k，∴直线OD解析式为yx．3314131设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2x），∴MN=|y﹣y|=|x﹣333MN34134（x2x）|=|x2﹣4x|．333由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有4MN=AC=3，∴|x2﹣4x|=3．34332332若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x或x；32243若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x，∴存在满足条件的点M，点M的323332332横坐标为：或或．222（3）∵C（1，3），D（3，1），∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为1yx．3如解答图所示，设平移中的三角形为△A'O'C'，点C'在线段CD上．设O'C'与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A'C'与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．11设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，t），33C'（1+t，3﹣t）．设直线O'C'的解析式为y=3x+b，将C'（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O'C'的解析式4为y=3x﹣4t，∴E（t，0）．31331联立y=3x﹣4t与yx，解得：xt，∴P（t，t）．3222111过点P作PG⊥x轴于点G，则PGt，∴S=S﹣SOF•FQOE•PG2△OFQ△OEP22111141（1+t）（t）•t•t23323211（t﹣1）26311当t=1时，S有最大值为，∴S的最大值为．33【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题的关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题的关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．6．已知抛物线yx2(5m)x6m.（1）求证：该抛物线与x轴总有交点；（2）若该抛物线与x轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m的取值范围；（3）设抛物线yx2(5m)x6m与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线yx的对称点恰好是点M，求m的值.【答案】（1） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 见解析；（2）1?