§4平摆线(bǎixiàn)和渐开线汉滨高级中学(gāojízhōngxué)第一页，共8页。1、摆线(bǎixiàn)的定义思考(sīkǎo)：如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直的道路上行使(xíngshǐ)时，白色印记会画出什么样的曲线？同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？OABM摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。第二页，共8页。xyODAEBMC2、摆线的参数(cānshù)方程OABM根据点M满足(mǎnzú)的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径(bànjìng)为r。所以，摆线的参数方程为：第三页，共8页。xyODAEBMC3、摆线的参数(cānshù)方程OABM摆线的参数方程为：思考：在摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？第四页，共8页。4、渐开线的定义(dìngyì)探究(tànjiū)：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么(nàme)铅笔会画出一条曲线。这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？动点（笔尖）满足什么几何条件？ABMO我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。第五页，共8页。ECD5渐开线的参数(cānshù)方程:设圆的半径为r，则动点M的初始位置的坐标为（r,0),则动点M的坐标为（x,y),是以OA为始边、OB为终边的正角令为参数(cānshù)，此时AB的弧长为r.做ME⊥Ox,BC⊥Ox，垂足(chuízú)分别为E,C;作MD⊥BC，垂足为D，则∠MBD=∠AOB=，由此可得：O这就是圆的渐开线的参数方程。第六页，共8页。6、渐开线的参数(cānshù)方程ABMOxy渐开线的应用(yìngyòng)：由于渐开线齿行的齿轮磨损(mósǔn)少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。第七页，共8页。小结(xiǎojié)：1、圆的渐开线，渐开线的参数方程2、平摆线、摆线的参数方程第八页，共8页。
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