2.3.1抛物线及其
标准
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方程第PAGE页2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程一、选择题1.对抛物线x2=y,下列描述正确的是( )A.开口向上,焦点坐标为(0,1)B.开口向上,焦点坐标为C.开口向右,焦点坐标为(1,0)D.开口向右,焦点坐标为答案:B[来源:1]解析:一次项变量为y且系数为正,∴抛物线开口向上,焦点坐标为.2.动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过定点( )A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)答案:B解析:x+2=0为抛物线y2=8x的准线,由抛物线定义知动圆一定过抛物线的焦点.[来源:学_科_网]3.抛物线y=ax2的准线方程是y-2=0,则a的值是( )A.B.-C.8D.-8[来源:1ZXXK]答案:B解析:抛物线方程化为标准形式为x2=y,其准线方程为y=-=2,所以a=-.4.抛物线y2=mx的准线与直线x=1的距离为3,则此抛物线的方程为( )A.y2=-16xB.y2=8xC.y2=16x或y2=-8xD.y2=-16x或y2=8x[来源:Z,xx,k.Com]答案:D解析:抛物线的准线方程为x=-,则=3,m=8或-16.∴所求抛物线方程为y2=8x或y2=-16x.故选D.5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )A.2B.3C.D.答案:A解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为|PF|,由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.二、填空题6.已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l:x=-2的距离相等,则点P的轨迹方程为 . 答案:y2=8x解析:由条件可知P点的轨迹为抛物线,其焦点为(2,0),准线方程为x=-2,所以=2,p=4,轨迹方程为y2=2px=8x.7.已知点A(0,-2),直线l:y=2,则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为 . 答案:x2=-8y解析:设圆心为C,则|CA|=d,其中d为点C到直线l的距离,所以C的轨迹是以A为焦点,l为准线的抛物线.所以所求轨迹方程为x2=-8y.8.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为 . 答案:解析:由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为,即B,将其代入y2=2px(p>0)得1=2p×,解得p=,则B点到抛物线准线的距离为p=.[来源:1ZXXK]三、解答题9.求经过点P(-2,-4)的抛物线的标准方程及其对应的准线方程、焦点坐标.解:由已知设抛物线的标准方程是x2=-2py(p>0)或y2=-2px(p>0),把P(-2,-4)代入x2=-2py或y2=-2px,得p=或p=4,故所求的抛物线的标准方程是x2=-y或y2=-8x.当抛物线方程是x2=-y时,焦点坐标是F,准线方程是y=;当抛物线方程是y2=-8x时,焦点坐标是F(-2,0),准线方程是x=2.10.某河上有一座抛物线形的拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽8米,一木船宽4米,高2米,载货的木船露在水面上的部分为米,当水面上涨到与拱顶相距多少时,木船开始不能通航?解:以桥的拱顶为坐标原点,拱高所在的直线为y轴,建立直角坐标系(如图).设抛物线的方程是x2=-2py(p>0),由题意知点A(4,-5)在抛物线上,故16=-2p×(-5)⇒p=,则抛物线的方程是x2=-y(-4≤x≤4).设水面上涨,木船面两侧与抛物线形拱桥接触于点B,B'时,木船开始不能通航.设B(2,y').则22=-y'⇒y'=-,此时水面与拱顶相距+0.75=2(米),故当水面上涨到与抛物线形的拱桥拱顶相距2米时,木船开始不能通航.
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