81同底数幂的运算

8.1幂的运算第一课时同底数幂的乘法教学目标1、知识与技能进一步理解幂的意义，掌握同底数幂的乘法的运算性质，并能解决一些实际问题。2、过程与方法通过实际问题，了解同底数幂的乘法的背景；经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，发展符号感和推理能力。3、情感态度与价值观培养学生有条理地思考、表达与交流的能力。重难点、关键重点：同底数幂的乘法法则的推导以及对法则的运用。难点：同底数幂的乘法法则的推导。关键：正确理解幂的意义。教学过程一、创设情境、引入课题问题：“神威1”计算机每秒可进行3.84×1012次运算，它工作1h（3.6×103s）共进行了多少次运算？探索解决问题的方法，在此过程中体会同底数幂运算的必要性。鼓励学生根据幂的意义，独立求出1012×103.提出问题：怎样计算am·an?这需要研究同底数幂的乘法，复习幂的意义。1、把下列各式写成幂的形式。⑴10×10×10×10×10⑵3×3×3×3⑶⑷2、指出式子的各部分名称，a叫底数，n叫指数，叫做幂。注意：.二、探索同底数幂乘法法则1、做一做：（完成下表）算式运算过程结果22×23(2×2)×(2×2×2)25a3·a2a7·a2、观察上表，你发现了什么？观察以上四个乘法算式有什么特点？计算结果的底数、指数与已知算式中的底数、指数之间有怎样的关系？根据以上发现，直接写出以下各算式的结果⑴1012·108；⑵；⑶；⑷一般地，如果字母都是正整数，那么（幂的意义）=（乘法结合律）＝（幂的意义）由此得幂的运算性质1:你能用语言描述这个性质吗？同底数幂相乘，底数不变，指数相加。强调：⑴这里底数a可以是任意的实数，也可以是单项式事多项式。⑵三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质。即三、范例讲解例1.计算⑴⑵106·105·10⑶⑷·⑸(—eq\f(1,2))2·(—eq\f(1,2))3⑹分析：以上⑴～⑷都是同底数幂相乘，根据性质，底数不变，指数相加，其中⑷底数是多项式，而⑸、⑹不是同底数，但底数是互为相反数，可根据乘方的符号法则化为同底数，即当n是偶数时，；当n是奇数时在运算时，一定要注意是不是同底数幂相乘，若只是底数符号不同，设法先将其转化为相同，再按照同底数幂的运算法则进行计算。例2.计算⑴⑵分析：这是同底数幂相乘与整式加减的混合运算，按先乘法、后加减的运算顺序进行。解：⑴（同底数幂相乘法则）（合并同类项）⑵四、课堂练习：巩固深化1、练习1、22、计算⑴⑵.点拨：题（2）将“8”、“4”写成2的n次幂的形式，再根据幂的运算性质1进行计算。3、探究与思考：已知点拨：可以逆用幂的运算性质1.解：五、课堂 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，提高认识本节课我们探究了同底数幂相乘的运算法则，法则的推导主要依据幂的意义，运用法则解题时先分清是否是“同底数幂相乘”，若是，才能把指数相加，注意同底数幂乘法与合并同类项法则的区别，切勿混淆。六、布置作业。第二课时幂的乘方教学目标1、知识与技能会推导幂的乘方法则，并能运用幂的乘方性质进行有关计算。2、过程与方法经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义、发展推理能力和有条理的表达能力。3、情感态度与价值观培养学生积极思考的行为，体会数学知识的应用价值。重难点、关键重点：幂的乘方法则的理解和运用。难点：幂的乘方与同底数幂相乘的运算性质的正确区分。关键：正确理解幂的意义。教学过程一、复习提问1、叙述同底数幂的相乘的性质，并用字母表示。2、填空：，.二、创设情境，引入新课太阳的半径是地球半径的102倍，那么太阳的体积是地球体积的多少倍呢？（太阳、地球可以近似地看作球，球的体积公式是）由球的体积公式可知，太阳的体积是地球的（102）3倍。（102）3倍读作10的二次幂的三次方，也就是本节课要学习的幂的乘方。三、探究幂的乘方运算的性质怎样计算（am）n呢？1、先完成课本中的表格，说出每一步运算的根据。2、观察上面已填好的表格，发现幂的乘方有什么规律？根据你的发现，猜想（am）n＝？（a5）n＝？3、对正整数m、n，你认为等于什么？能对你的猜想进行验证吗？一般地，如果字母m、n都是正整数，那么（幂的意义）（同底数幂相乘的性质）（合并同类项）由此得幂的运算性质2：（m、n都要是正整数）语言描述为：幂的乘方，底数不变，指数相乘同样，这里字母a可以是任意的实数，也可以是单项式或多项式。四、范例讲解例1（教科书例2）可由学生独自完成。例2计算⑴⑵⑶分析：题（1）是幂的乘方与同底数乘法混合运算，应先做幂的乘方，再做同底数幂的乘法，题（2）是幂的乘方和加减混合运算，应先乘方，后加减。解：⑴⑵⑶要求学生说出以上每一步的算理，同时注意的符号区别。五、课堂练习，巩固深化1、练习1、2.2、计算：⑴；⑵；⑶；⑷.3、⑴已知⑵若点拨：逆用幂的乘方法则，即解：⑴⑵六、课堂总结，提高认识同底数幂乘法与幂的乘方性质比较幂运算种类指数运算种类同底数幂相乘乘法加法幂的乘方乘方乘法共同点：指数运算比幂的运算低一个等级。七、布置作业。第三课时　　积的乘方教学目标1、知识与技能掌握积的乘方的运算性质，能运用幂的运算性质进行计算，并能解决一些有关的实际问题。2、过程与方法经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义发展推理能力。3、情感态度与价值观培养学生灵活运用知识的能力和积极思考的良好行为，体会幂的运算性质与实际生活的联系，感受数学知识的应用价值。重难点、关键重点：积的乘方运算性质的指导和应用。难点：幂运算的三条性质在解题中的综合运用。关键：分清各性质的异同点、区分性质的适用范围。教学过程一、复习提问叙述同底数幂的乘法性质和幂的乘方的性质，并说出这两个性质的异同点。共同点：运算时底数不变，只对指数作运算；底数可以是数或式。不同点：指数运算不同。二、探索积和乘方的性质1、根据幂的乘方的性质⑴⑵　　　　=　　　　　=　　　　⑶=　　　　=　　　　　=　　　　　　一般地，如果字母n是正整数，那么　　　（乘法交换律、结合律）　　（幂的意义）由此得幂的运算性质3.请你用自己的语言描述以上性质。积的乘方，等于各因式乘方的积。以上性质可以邀请以三个或三个以上的因式乘方的积，即（n为正整数）。积和乘方性质也可以逆用，即因此不能运用幂的运算性质3.三、范例讲解例1.（课本例3）球的体积公式是为球的半径），已知地球半径约6.4×103km，求地球的体积（π取3.14）.综合运用积的乘方和幂的乘方的性质解决实际问题，按课本写出解答，并让学生说明每一步的算理，最后一步的运算可以使用计算器。例2.计算：⑴⑵解：⑴⑵原式=0本例是幂的混合运算，运算中要注意遵循由高级到低级的运算顺序，同时要区分幂运算的三个性质的适用范围，对号入座，不要混淆。例3.用简便方法进行计算。⑴；⑵0.2514×229.分析：⑴题中的两个底数是互为倒数、乘积为1，而且这两个数乘方的次数都是8，所以可逆用积的乘方的性质简化运算。⑵题可把229转化为，然后再逆用积的乘方的性质。解：⑴⑵0.2514×229.=0.2514×229.×2=0.2514×414.×2=(0.25×4)14.×2=114×2=2四、课堂练习，巩固深化练习.1，2，3，4.五、课堂总结，提高认识本节课我们探究了积的乘方的性质，运用此性质时应注意每一个因式都要乘方，还有符号问题，在运用幂的运算性质解题时，要注意这三个性质的使用范围，不要混淆。布置作业第四课时同底数幂的除法（一）教学目标1、知识与技能会推导同底数幂的除法运算的性质，并能用此性质进行有关计算.2、过程与访求经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。重点、难点重点：同底数幂的除法的性质及其应用。难点：同底数幂的除法性质的推导。教学过程一、创设情境，引入课题已知太阳的体积约为9.05×1017千米3，地球的体积约为9.05×1011千米3，那么的体积约是地球体积的多少倍？9.05×1017÷（9.05×1011）这就需要研究同底数幂的除法.提出问题：怎样计算呢？二、探索同底数幂的除法的性质1、完成课本表格。2、观察已填好的表格，发现同底数幂的除法有什么规律？引导学生观察底数的指数发生了什么变化？鼓励学生运用自己的语言进行描述。一般地，如果字母都是正整数那么由此得幂的运算性质3：＞n)用语言描述为：同底数幂相除，底数不变，指数相减。问：这里为什么要 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说明：⑴若a为零，则除数为零，除法就没有意义了。⑵公式后面的条件是此性质的一部分，不要漏掉。⑶应用这一性质时，必须明确底数、指数分别是什么，然后再同底数幂除法性质进行计算。⑷单独的一个字母，其指数为1，而不是0.⑸多个同底数幂相除时，应按顺序计算。三、范例讲解例1、计算.⑴⑵⑶⑷题1是同底数幂相除，可直接运用幂的运算性质4进行计算，2不是同底数，应先转化为同底数后，再运用性质4，题3是幂的运算性质1性质2和性质4的综合应用，应遵循运算顺序进行，题4，先逆用幂的运算性质2，转化为同底数幂的乘除。解：⑴⑵⑶⑷四、课堂练习，巩固深化1、练习1、2.2、计算.⑴⑵⑶⑷解：⑴⑵⑶⑷3、思考与探究⑴若⑵若⑴⑵因为，所以，由已知条件得，所以五、课堂总结，提高认识本节课我们学习了同底数幂的除法性质，同底数除法中，底数可以是任意一个不等于零的单项式或多项式，同底数幂的除法运算关键是确定底数，底数互为相反数的两个幂相除，可以转化为同底数幂相除。六、布置作业。第五课时　　同底数幂的除法（二）教学目标1、知识与技能了解零指数、负指数的意义，掌握负整数指数转化为正整数指数的方法。能用科学记数法表示较小的数据2、过程与方法利用“假设同底数幂的除法性质对于时仍然成立，”再通过比较两种算法来明零指数幂：和负整数次的合理性。3、情感态度与价值观培养学生观察思考、合作交流的意识，认识知识发展的价值。重点、难点重点：掌握负整数指数转化为正整数指数的方法。难点：理解负指数幂的意义。教学过程一、回顾交流，引新设疑我们已经得到当为正整数，且m＞时，那么当又如何计算呢？我们先假设以上性质在仍成立。1、当被除式的指数等于除式的指数（即）时，例如，容易看出所得的商都是1，若按照同底数幂的除法性质，得：，比较这两种算法，你有什么发现？我们发现，如果添加约定那么同底数幂的除数性质，对于时就成立了。因此，我们约定：即任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1.注意：1、只是一种规定，这规定的合理性还可以用乘除法的逆运算关系来说明：因为所以（不正整数）2、零的零次幂无意义，当底数的值不确定时，要注意讨论。3、当被除式的指数小于除式的指数（即＜n）时，例如：若按照同底数幂的除法性质进行计算，得比较上述两种算法，只要添加什么约定，同底数幂的运算性质对于m＞n时也能成立？由此，我们约定：即任何一个不等于零的数的指数幂，等于这个数的次幂的倒数。有了上述两个约定，我们再遇到计算时，就不必限制，幂运算的4条性质对零指数和负指数幂同样适合。二、范例讲解例1、计算⑴；⑵；⑶；⑷解：⑴⑵）或⑶或⑷反思：观察上面计算过程，可归纳将负整数指数转化为正整数指数有两种访求：⑴当a是整数时，适用，⑵当a是分数时，适用解2.计算⑴⑵；⑶.解：⑴⑵原式⑶原式三、科学记数法绝对值大于10的数可以用科学法表示如：228000＝2.28×105那么绝对值小于1的数如何用科学记数法表示可见绝对值小于1的数可记成±时的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，n等于原数中第一个不为0的数字前面的零的个数（包括小数点前的一个0）.例：用科学记数法表示下列各数⑴0.00076⑵-0.00000159解：⑴0.00076=7.6×0.0001=7.6×10-4⑵-0.00000159=-1.59×10-6幂运算的4条性质仍适用于零指数幂和负正整数次幂；遇到零指数幂，只要底数不为零可直接写1；混合运算中注意运算顺序和符号。四、课堂总结，提高认识1、本节我们学习了零指数幂、负整数指数幂：2、科学记数法量（1≤│a│＜10，且n为整数）有了以上两个约定，幂运算的四个性质中的字母m、n就扩展为整数了。五、布置作业。