21曲线与方程三个课时

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程濮阳县三中袁志伟yxb??k222()()xaybr????为什么?复习回顾:我们研究了直线和圆的方程.1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程为____________2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是______________3.圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为_______________________.x-y=0含有关系：lx-y=0xy0（1）l上点的坐标都是方程x-y=0的解（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在上l∴说直线l的方程是0xy??,又说方程0xy??的直线是l.坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0思考?00(,)xy00xy?反之，如果是方程x-y=0的解，即，那么以这个解为坐标的点到两坐标轴的距离相等，它一定在这条直线上。00(,)xy00(,)xy00xy?如果点是这条直线上的任点，则，那么它的坐标是方程x-y=0的解；圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:222()()xaybr????满足关系：（1）如果00(,)Mxy00(,)Mxy是圆上的点，那么一定是这个方程的解·0xyM·（2）方程表示如图的圆图像上的点M与此方程有什么关系？222()()xaybr????222()()xaybr????的解，那么以它为坐标的点一定在圆上。00(,)Mxy（2）如果是方程222()()xaybr????圆心为C(a,b),半径为r的圆C的方程为:222()()xaybr????思考?(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线.定义:1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系;方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.f(x,y)=00xy一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:说明:2.“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”,阐明曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.（点不比解多）（纯粹性）.3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”,阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.（解不比点多）（完备性）.由曲线的方程的定义可知:如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y0)在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0例1:判断下列命题是否正确解:(1)不正确，，应为x=3,(2)不正确,应为y=±1.(3)正确.(4)不正确,应为x=0(-3≤y≤0).(1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3(2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1(3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1(4)△ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)，D为BC中点，则中线AD的方程x=0例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.的解。是方程即所以轴的距离为与轴的距离为与因为点是轨迹上的任意一点，如图，设证明：kxyyxkyxxyyxMyxM????),(,,,),()1(00000000oyxMkyxkyxkxyyxM??????1111111,),()2(即即的解，是方程的坐标设点是曲线上的点。点是常数到两条直线的距离的积因此点到纵轴、横轴的距离，正是点而11111,,MkMMyx的点的轨迹方程。的积为常数。是与两条坐标轴的距离可知，由)0()2(),1(???kkkxy第一步，设M(x0,y0)是曲线C上任一点，证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解；归纳:证明已知曲线的方程的方法和步骤第二步，设(x0,y0)是f(x,y)=0的解，证明点M(x0,y0)在曲线C上.练习1:下列各题中，下图各曲线的曲线方程是所列出的方程吗？为什么？(1)曲线C为过点A(1，1)，B(-1，1)的折线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0;(2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程为x+=0;(3)曲线C是Ⅰ,Ⅱ象限内到x轴，y轴的距离乘积为1的点集其方程为y=。10xy-110xy-11-2210xy-11-221y⑴⑵⑶不是不是是练习2:下述方程表示的图形分别是下图中的哪一个？①-=0xy|x|-|y|=0②③x-|y|=011OXY11OXY11OXY-1-111OXY-1ABCD①表示B②表示C③表示D练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是()A.方程f(x,y)=0所表示的曲线是CB.坐标满足f(x,y)=0的点都在曲线C上C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲线CD.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全部DC练习4:设圆M的方程为,直线l的方程为x+y-3=0,点P的坐标为(2,1),那么()2)2()3(22????yxA.点P在直线上，但不在圆上B.点P在圆上，但不在直线上；C.点P既在圆上，也在直线上D.点P既不在圆上，也不在直线上练习5:已知方程的曲线经过点,则m=_____,n=______.0422???nymx)1,2(),2,1(??BA4545课外练习:1.“曲线C上的点的坐标都是方程(,)fxy=0的解”是“方程(,)fxy=0是曲线C的方程”的（）条件.(A)充分非必要(B)必要非充分(C)充要(D)既非充分也非必要2.△ABC的顶点坐标分别为(4,3)A??，(2,1)B?，(5,7)C，则AB边上的中线的方程为___________.B320(1)xyx???≤≤52.1.2求曲线的方程（1）复习回顾2.练习：(1)设A(2,0)、B(0,2)，能否说线段AB的方程为x+y-2=0?(2)方程x2-y2=0表示的图形是_______1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念3.证明已知曲线的方程的方法和步骤上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法.M点,)xy坐标(按某中规律运动C曲线,xy的制约条件(,)0fxy?方程几何意义代数意义“数形结合”数学思想的基础1．解析几何与坐标法：我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法.在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.2．平面解析几何研究的主要问题：（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过方程，研究平面曲线的性质.说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1)、(3,7),求线段AB的垂直平分线的方程.如何求曲线的方程?运用现成的结论──直线方程的知识来求.解:∵7(1)23(1)AB??????k,∴所求直线的斜率k=12?又∵线段AB的中点坐标是1317(,)22????即(1,3)∴线段AB的垂直平分线的方程为13(1)2yx????.即x+2y-7=0法一:法二:若没有现成的结论怎么办?──需要掌握一般性的方法??||||MBMAMP??2222)7()3()1()1(???????yxyx.由两点间的距离公式，点M所适合条件可表示为：将上式两边平方，整理得：x+2y－7=0①我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解；（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即:x+2y1－7=0x1=7－2y1解法二:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也就是点M属于集合问题1.设A、B两点的坐标是(－1,－1)，(3,7)，求线段AB的垂直平分线的方程.;)136(5)1()28()1()1(121212121211???????????yyyyyxAM,)136(5)7()24()7()3(11121212121211BMAMyyyyyxBM?????????????即点M1在线段AB的垂直平分线上.由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.点M1到A、B的距离分别是这种求曲线的方程的方法叫：直接法由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy,解：2MAMB???22(0)(2)2xyy??????218yx??21(0)8yxx??2)列式3）代换4)化简5）审查??(0,2)AMB1）建系设点因为曲线在x轴的上方，所以y＞0,所以曲线的方程是设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B，通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节，在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习.课堂练习:练习1.已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等,求点M的轨迹方程.解:设点M的坐标为(x,y)建立坐标系设点的坐标∵点M与x轴的距离为y,22(4)FMxy???∴y=22(4)xy??限(找几何条件)代(把条件坐标化∴222816yxyy????∴2816xy??化简这就是所求的轨迹方程.思考:(37P练习第3题)如图,已知点C的坐标是(2,2),过点C直线CA与x轴交于点A,过点C且与直线CA垂直的直线CB与y轴交于点B,设点M是线段AB的中点,求点M的轨迹方程.活用几何性质来找关系xy0CBA?M思维漂亮!(,)xy2.1.2求曲线的方程（2）求曲线（图形）的方程步骤：说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程.(1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；(2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)}(3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0;(4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式；(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.复习回顾解:练习1.22yx?yx?的2.BB3.4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方程是_________解:设动点为(x，y)，则由题设得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程.y2=4(x-1)5.在三角形ABC中，若|BC|=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以3yx|AD|22???化简得:x2+y2=9(y≠0)这就是所求的轨迹方程.解:取B、C所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系.1.直接法:求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立x,y之间的关系,构成F(x,y)=0即可.①直接法②定义法③代入法④参数法求轨迹方程的常见方法:2.定义法：（待定系数法）利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．（下面的课中讲）3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法.即利用动点P'(x',y')是定曲线F(x,y)=0上的动点,另一动点P(x，y)依赖于P'(x',y')，那么可寻求关系式x'=f(x,y),y'=g(x,y)后代入方程F(x',y')=0中，得到动点P的轨迹方程.例、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.（代入法）4.参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标x,y,得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。xy0?ABC?Ml解:设M(,)xy,A11(,)xy,B22(,)xy则121222xxxyyy???????????设直线l的方程为ykx?由方程组2264100ykxxyxy?????????消去y得22(1)(64)90kxkx?????121222649,11kxxxxkk???????∴22321321kxkkykk??????????????消去参数k得22320xyxy????然后由△>0得参数k的范围,再确定x的范围例、经过原点的直线l与圆相交于两个不同点A、B，求线段AB的中点M的轨迹方程.226490xyxy?????消参法1.求曲线的方程的一般步骤：设（建系设点）找（找等量关系）列（列方程）化（化简方程）验（以方程的解为坐标的点都是曲线上的点）---M(x,y)---P={M|M满足的条件}课堂小结M点,)xy坐标(按某中规律运动C曲线,xy的制约条件(,)0fxy?方程几何意义代数意义2.“数形结合”数学思想的基础3、求曲线方程的四种方法：直接法、定义法、代入法、参数法,(5,0),(5,0),,(0),ABCABACBCmmC???练习1、已知的两个顶点的坐标分别是且所在直线的斜率之积等于试探求顶点的轨迹方程。解：设C（x，y）．由已知，得直线AC的斜率kAC＝5yx?（x≠－5）；直线BC的斜率kBC＝5yx?（x≠5）；由题意，得kACkBC＝m，所以，5yx?×5yx?＝m（x≠±5）．写成225x－225ym＝1（x≠±5）．（直接法）2225xy??22(3)48xy???