等比数列(一)教案设计（汪正文）

-PAGE1-等比数列(一) 教案 中职数学基础模块教案 下载北师大版¥1.2次方程的根与系数的关系的教案关于坚持的教案初中数学教案下载电子教案下载 设计江苏省丹阳六中汪正文教学目标：⒈掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；⒉培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等比数列的定义及通项公式.教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 .教学过程：Ⅰ.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来共同回顾一下有关内容：⑴等差数列定义：文字 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 述：_______________；符号表示：an-an-1=d(n≥2)(递推公式)；⑵等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d(n∈N*)一般推广：an=am+(n-m)d(m>n,m、n∈N*)⑶公式推倒(过程中所蕴涵的思想和) 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ①迭代归纳思想②叠加法Ⅱ.讲授新课问题：观察下列几组数列，说说它们有何共同特点?⑴1，2，4，8，16，…，263；⑵5，25，125，625，…；⑶－eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…；⑷1，1，1，1，…；T：共同特点：从第二项起，各一项与前一项的比都等于同一个常数.S：对，从第二项起，各一项与前一项的比都等于同一个常数（和等差数列相比）我们把具备这种特点的数列叫作等比数列.--------正题T：那么请同学们用自己的语言给等比数列下个定义⒈等比数列定义：①文字表述：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.（和等差数列类比）这个常数叫做等比数列的公比；通常用字母q表示(q≠0)。②符号表示：(n2,n∈N*)或(n∈N*)T：数列①、②、③、④都是等比数列，它们的公比依次是2，5，－eq\f(1,2)，1与等差数列比较，仅一字之差。练习：判断下列数列是否是等比数列，若是，试写出公比及通项公式.⑴1、、、、┈⑵1、2、4、8、12、16、20┈⑶、、、、┈⑷8、8、8、8、8、8、┈⑸a、a、a、a、a、┈T：请同学来回答，⑵不是、⑸不一定；公比是：_____；通项公式：______注：①常数列不一定是GP;(由⑸得出，与AP类比不同)③{an}成GP，隐含了an≠0且q≠0；(在AP中公差d可以为0，问q≠0？)④若q>0时，是同号数列；(通过观察q的正负分析得出，再类比AP)若q<0时，是正负交替数列；若q=1时，是非零常数列T；其实，对于GP数列，只要知道其首项及公比，该数列则可确定。探索：已知数列{an}是GP，首项为a1,公比为q，试用a1和q表示an。法一：由定义式可得：a2＝a1q，a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，…，an＝an－1q＝a1qn－1(a1、q≠0)，迭代归纳思想法二：由定义式得：=====(n≥2)an＝a1·qn－1(n≥2)累积（叠乘法）思想当n＝1时，左＝a1，右＝a1，等式亦成立。⒉等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1(n∈N*)an＝am·qn－m(m>n,m、n∈N*)变：T：在AP中，有an=am+(n-m)d，那在GP中an、am有怎样的关系呢？S：an＝am·qn－m，T：怎样证明？an＝a1·qn－1①am＝a1·qm－1②方程思想，两式一比/除（AP数列中，加加减减）T：类比从函数的观点理解：AP数列an=an+b是关于n的一次形式，那GP：an＝a1·qn－1=注：⑤从函数的观点理解：等比数列an是类指数函数。问：数列①；②；③；④以上数列哪些是等比数列？T：下面我们就利用等比数列的相关知识来解决一些简单问题。⒊题例：例1．已知数列3，―6，12，－24，…是等比数列，判断192，200是否是该数列中的项？若是，是第几项？(S板演)例2．在等比数列{an}中，已知a3=20，a6=160，求通项公式an。(S板演)评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.（2法）例3．在等比数列{an}中，，，则公比的取值范围是_____.（0，1）(先提问，在讨论、分析、归纳)从而得出：注：⑥数列{an}是GP，若{an}递增且或且；若{an}递减且或且；课时小结：①等比数列的定义：eq\f(an,an－1)＝q(q≠0，q为常数，n≥2)；②等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1(n≥2)及推导过程.练习：课本P481，2，3⒋一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q则：eq\b\lc\{(\a\al(a1q2＝12①,a1q3＝18②))②÷①得：q＝eq\f(3,2)③③代入①得：a1＝eq\f(16,3)∴an＝a1·qn－1＝eq\f(16,3)×（eq\f(3,2)）n－1，a2＝a1·q＝eq\f(16,3)×eq\f(3,2)＝8.答：这个数列的第1项与第2项分别是eq\f(16,3)和8.⒌已知{an}是无穷等比数列，公比为q.(1)将数列{an}中的前k项去掉，剩余各项组成一个新数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{an}为：a1，a2，…，ak，ak+1，…则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，…，an，…可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q.(2)取出数列{an}中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设{an}为：a1，a2，a3，…，a2k－1，a2k，…，取出{an}中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，…，a2k－1，a2k+1，…∵eq\f(a2k+1,a2k－1)＝eq\f(a1q2k,a1q2k－2)＝q2(k≥1)∴此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q2.(3)在数列{an}中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？解：设数列{an}为：a1，a2，…，an，…每隔10项取出一项的数可列为：a11，a22，a33，……可知，此数列为等比数列，其公式为：eq\f(a22,a11)＝eq\f(a11q11,a11)＝q11.评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.Ⅴ.课后作业课本P52习题1，2，3，4等比数列(一)1．已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn，那么数列{an}是（）A.等比数列B.当p≠0时为等比数列C.当p≠0，p≠1时为等比数列D.不可能为等比数列2．公差不为0的等差数列{an}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.2D.33．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.4．已知等比数列x，－eq\f(3,4)，y，－eq\f(27,16)，eq\f(81,32)，…，求x，y.5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求a4的值.等比数列(一) 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 1．D2．D3．数列{an}的前n项之和是Sn＝an＋b(a、b为常数且a≠0，1)，问数列{an}是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.分析：利用等比数列的定义解题.解：a1＝S1＝a＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－1)an－1又a1＝(a－1)·a0＝a－1∴若a－1≠a＋b，即b≠－1时，显然数列{an}不是等比数列.若a－1＝a＋b，即b＝－1时，由an＝(a－1)an－1(n≥1)，得eq\f(an,an－1)＝a(n≥2)故数列{an}是等比数列.4．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(9,8)5．已知数列{an}是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列{an}的通项公式.分析一：先从等比数列入手解决问题.解法一：设符合题设的等比数列{an}中的连续三项为am，am+1，am+2，则：am+1＝amq，am+2＝am+1q(q为公比)两式相减，得q＝eq\f(am＋2－am＋1,am＋1－am)又am+1＝am＋(k－t)d，即am+1－am＝(k－t)d同理am+2－am+1＝(p－k)d(d为公差），故q＝eq\f(（p－k）d,（k－t）d)＝eq\f(p－k,k－t)∴所求通项公式为an＝a1(eq\f(p－k,k－t))n－1.分析二：先从等差数列入手解决问题.解法二：设等差数列为{bn}，公差为d，则eq\b\lc\{(\a\al(b1＝b1＋（t－1）d,bk＝b1＋（k－1）d,bp＝b1＋（p－1）d))由题设知，bt，bk，bp是等比数列{an}中的连续三项：故q＝eq\f(bk,bt)＝eq\f(bp,bk)利用等比定理，可得eq\f(bk,bt)＝eq\f(bp－bk,bk－bt)＝eq\f(（p－k）d,（k－t）d)＝eq\f(p－k,k－t)∴q＝eq\f(p－k,k－t)，an＝a1(eq\f(p－k,k－t))n－1.6．已知数列{an}为等比数列，a1＋a3＝10，a4＋a6＝eq\f(5,4)，求a4的值.分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.解：设此数列的公比为q,由已知得：eq\b\lc\{(\a\al(a1＋a1q2＝10,a1q3＋a1q5＝eq\f(5,4)))eq\b\lc\{(\a\al(a1（1＋q2）＝10①,a1q3（1＋q2）＝eq\f(5,4)②))由a1≠0，1＋q2≠0，②÷①得，q3＝eq\f(1,8)q＝eq\f(1,2)a1＝8.a4＝a1q3＝8×eq\f(1,8)＝1.评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.