PAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#数的整除之性质与求法1.整除的定义所谓“一个自然数a能被另一个自然数b整除”就是说“商a是一个整数”；或者换句话说：存在b着第三个自然数C，使得a=b>cc。这时我们就说“b整除a”或者“a被b整除”，是b的倍数，记作：“b|a”。2.常用的数的整除特征常用的特殊自然数的整除特征⑴2系列：b叫a的约数，a⑵5系列:被2整除只需看末位能否被被4整除只需看末两位能否被被8整除只需看末三位能否被被5整除只需看末位是否为2整除4整除8整除，依此类推0或5被25整除只需看末两位能否被25整除，即只可能是00,25，50，8整除看末三位为例证明以上两个系列的性质。假设一个多位数末三位是前的部分为X，那么该数=1000x+abc,由于8|1000，所以8|1000X，因此该数能否被末三位abc能否被8整除厂证毕。⑶3系列：被3整除只需看各位数字之和能否被被9整除只需看各位数字之和能否被我们以被3整除9整除75abc,末三位之8整除就决定于我们以三位数为例证明被9整除只需看各位数字之和这一性质。假设该三位数为abc=10"+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)，很明显第一个括号里的数是9的倍数，因此只要a+b+c，即各位数字之和能被9整除，那么这个三位数abc就能被9整除厂反之亦然。推广到任意位数的自然数，该证明方法仍然成立，请大家自己尝试一下。⑷7，11，13系列：看多位数的末三位和前面部分之差能否被为什么要从末三位把这个数一分为二呢？仔细想一想我们会发现1，由此我们可以得到如下证明：和2系列的证明类似，我们仍然设一个多位数的末三位是是这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被乙7，11，13整除7X11X13=1001，正好比1000大abc，前面部分是X，那么我们要证明的就11，13整除。由于该数=1000x+abc=1001x+(abc—x厂又1001同时是7，11，13的倍数，所以这个多位数能否被7，11，13整除决定于abc-x能否被乙11，13整除，证毕。特别的，我们还有另外一种判别能否被的差能否被11整除，若能整除则原数可被3•整除的性质⑴传递性若c|b，b|a，则c|a⑵可加性若c|a，c|b，贝Uc|(a±b)11整除的性质，就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和11整除，反之亦然。【例1】173□是一个四位数。数学老师说：数依次可被9，11,6整除。”问：数学老师先后填入的“我在其中的方框内先后填入3个数字，所得到的3个四位3个数字的和是多少？【拓展】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确；⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】(2008年全国
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数学资优生水平测试试题)资优测试测优资是一个七位回文数，其中相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。已知这个七位数第1位能被2整除，前2位组成的2位数能被3整除，前3位组成的3位数能被4整除，…，前7位数组成的七位数能被8整除。那么资优测试测优资=。【巩固】用1,2，3,4,5,6组成一个六位数ABCDEF，要求AB是2的倍数，ABO3的倍数，ABCD-是4的倍数，ABCDE是5的倍数，ABCDEF是6的倍数，那么这样的六位数有多少个?【例3】从5、6、7、是？8、9五个数中取出三个数字组成被18整除的三位数，这样的三位数有几个？分别【巩固】已知九位数2007□12口2既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少?【例4】已知两个三位数abc与def的和abc+def能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除。【巩固】如果abCde能被6整除，那么2(a+b+c+d)-e也能被6整除。【例5】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5,a和b，将它连续再重复写2008次成为:5ab5ab…5ab。如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少2009个■5ab【巩固】一个19位数77…770444…44能被13整除，求O内的数字。9个一个J_V_丿【例1】19【拓展】⑴43326,⑵12【例2】4285824【巩固】【例3】两个576,756【巩固】200731212abcdef=abcx1000+def=abcx999+(abc+def)【例4】_因为999能被37整除，所以ab^lgg能被37整除而（abc融）也能被37整除，所以其和也能被37整除，即abcdef能被37整除【巩固】•••6=2X3•••2|abcde•••2|e•••6|3e•3|abcde•-3|a+b+c+d+e•••6|2(a+b+c+d+e)•••6|2(a+b+c+d+e)-3e•••6|2(a+b+c+d)—ePAGE\*MERGEFORMAT#PAGE\*MERGEFORMAT#例5】546巩固】6
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