华东师大版八年级数学上册《第十三章总复习》练习题教学课件PPT初二公开课

数学·华东师大版·八年级上册第13章全等三角形13.1命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 、定理与证明课时1命题11.[2021甘肃兰州第四片区期末]下列语言叙述是命题的是()A.画两条相等的线段B.等于同一个角的两个角相等吗?C.延长线段AO到点C,使OC=OAD.两直线平行,内错角相等1.D1(1)条件有时用“已知……”或“若……”的形式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达,结论用“求证……”或“则……”的形式表达;(2)有一些命题的叙述,其条件和结论并不那么明显,我们可以先把它改写成“如果……,那么……”的形式,再找出它的条件和结论,改写时要根据实际意义,适当地添加主语或指示代词.2.[2020安徽合肥四十二中期中]命题“两条直线相交,只有一个交点”的条件是()A.两条直线B.交点C.两条直线相交D.只有一个交点2.C3.命题“等角的余角相等”的条件是“两个角相等”,结论是“”.13.它们的余角相等4.请写出一个关于平行线的命题:.14.两直线平行,同位角相等( 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 不唯一)15.【解析】(1)条件是“a>0,b>0”,结论是“ab>0”.(2)条件是“∠A=∠B,∠B=∠C”,结论是“∠A=∠C”.(3)条件是“不等式的两边同乘一个负数”,结论是“不等号方向改变”.5.指出下列命题的条件和结论.(1)若a>0,b>0,则ab>0;(2)若∠A=∠B,∠B=∠C,则∠A=∠C;(3)不等式的两边同乘一个负数,不等号方向改变.1添加“如果”“那么”后,命题的意义不能改变,改写的句子要完整,语句要通顺,使命题的条件和结论更明显.改写过程中,可适当添加词语.6.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式.(1)互补的两个角不可能都是锐角;(2)平面内垂直于同一条直线的两条直线平行.6.【解析】(1)如果两个角互补,那么这两个角不可能都是锐角.(2)如果平面内的两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.7.[2021广东深圳宝安区期末]下列命题中,假命题是()A.平面内,若a/b,a⊥c,那么b⊥cB.两直线平行,同位角相等C.负数的平方根是负数D.若3a=3b,则a=b7.C【解析】易知A,B,D是真命题.因为负数没有平方根,所以C是假命题.故选C.28.[2021黑龙江哈尔滨南岗区期末]给出下列四个命题:①5是25的算术平方根;②(-4)2的平方根是-4;③经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行;④同旁内角互补.其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.38.C【解析】易知①③是真命题;因为(-4)2=16,16的平方根是±4,所以②是假命题;因为两直线平行,同旁内角互补,所以④是假命题.所以真命题的个数为2.故选C.29.C【解析】当m=-3时,m2=(-3)2=9>4,而-3<2,说明命题“m2>4,则m>2”是假命题.选项A,B,D均不符合题意.故选C.9.[2021吉林长春新区期末]下列选项中m的值,可以作为命题“m2>4,则m>2”是假命题的反例的是()A.3B.2C.-3D.-2当m2>4时,|m|>2,所以m<-2或m>2,所以m<-2时,说明命题“m2>4,则m>2”是假命题.结合题中选项知选C.210.[2021福建漳州期末]命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是(填“真命题”或“假命题”).210.真命题11.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一反例加以说明.(1)两个负数的差一定是负数;(2)两条直线被第三条直线所截,内错角相等;(3)若AC=BC,则点C是线段AB的中点.11.【解析】(1)假命题.如-1-(-2)=1,1是正数.(2)假命题.如两条直线不是平行线,则被第三条直线所截得到的内错角不相等.(3)假命题.如当点C不在线段AB上但满足AC=BC时,点C不是线段AB的中点.213.1命题、定理与证明课时2定理与证明1.下列真命题能作为基本事实的是()A.对顶角相等B.三角形的内角和是180°C.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.内错角相等,两直线平行11.C(1)定理与真命题的关系:定理是真命题,但真命题不一定是定理,只有经过证明正确且可以作为进一步判断其他命题真假的依据的真命题才是定理.(2)定理与基本事实的关系:它们都是真命题,定理要用推理的方法判断其正确性,而基本事实则不需要证明;定理是由基本事实直接或间接推导出来的.2.下列说法中,错误的是()A.所有的定义都是命题B.所有的基本事实都是命题C.所有的定理都是命题D.所有的命题都是定理12.D3.[2020湖南郴州中考]如图,直线a,b被直线c,d所截.下列条件能判定a/b的是()A.∠1=∠3B.∠2+∠4=180°C.∠4=∠5D.∠1=∠23.D【解析】当∠1=∠3时,c/d;当∠2+∠4=180°时,c/d;当∠4=∠5时,c/d;当∠1=∠2时,a/b.故选D.2请补全下面的证明过程.证明:∵MG平分∠BMN(),∴∠GMN=∠BMN().同理∠GNM=∠DNM.∵AB/CD(),∴∠BMN+∠DNM=(),∴∠GMN+∠GNM=().∵∠GMN+∠GNM+∠G=(),∴∠G=,∴MG⊥NG().4.已知角平分线的定义已知180°两直线平行,同旁内角互补90°等式的性质180°三角形的内角和等于180°90°垂直的定义4.如图,已知AB/CD,直线EF与AB,CD分别交于点M,N,∠BMN与∠DNM的平分线相交于点G.求证:MG⊥NG.25.【解析】如图,作BC的延长线CD,过点C作CE/AB.因为CE/AB,所以∠A=∠ACE(两直线平行,内错角相等),∠B=∠DCE(两直线平行,同位角相等),又因为∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°(平角的定义),所以∠A+∠B+∠ACB=180°.对于一个命题的证明,证法往往不唯一,要注意结合图形选择合适的方法,保证推理的每一步都要合乎逻辑、理由充分、有理有据.5.在学习了平行线的性质以后,我们可以用几何推理的方法证明“三角形的内角和等于180°”.如图,已知△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.26.【解析】在四边形ABCD中,如果AB/DC,∠A=∠C,那么AD/BC.证明如下:如图所示,∵AB/DC(已知),∴∠A+∠D=180°(两直线平行,同旁内角互补).又∵∠A=∠C(已知),∴∠C+∠D=180°(等量代换),∴AD/BC(同旁内角互补,两直线平行).(答案不唯一)(1)分清命题的条件和结论,若命题与图形有关,则根据题意,画出图形,并在图形上标出相关的字母和符号;(2)根据条件和结论,结合图形,写出已知、求证;(3)观察图形,分析证明思路,找出证明方法;(4)写出证明的过程,并注明依据.6.在四边形ABCD中,给出下列论断:①AB/DC;②AD/BC;③∠A=∠C.以其中两个作为条件,另外一个作为结论,用“如果⋯⋯,那么⋯⋯”的形式,写出一个你认为正确的命题并加以证明.27.B【解析】如图,过点C作CF/AB,∴∠BCF=∠B=25°.∵AB/DE,CF/AB,∴CF/DE,∴∠FCE=∠E=90°-∠D=90°-58°=32°,∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=25°+32°=57°.故选B.7.[2019辽宁朝阳中考]把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行.若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是()3A.83°B.57°C.54°D.33°8.72°【解析】设这个锐角的度数是x°,则另一个锐角的度数是(90-x)°,由题意得,x=4(90-x),解得x=72,所以这个锐角的度数是72°.8.[2021湖北恩施州期中]如果某直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍,那么这个锐角的度数是.39.[2021山东烟台期末]如图,△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则图中与∠1相等(∠1除外)的角是9.∠B【解析】∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°.∵CD⊥AB,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠1=90°,∴∠B=∠1.3.13.2三角形全等的判定课时1全等三角形、全等三角形的判定条件(1)判断两个三角形是否全等只看它们能不能完全重合即可,与它们的位置无关.(2)一个三角形经过翻折、平移和旋转等变换得到的新三角形一定与原三角形全等.1.如图,若沿直线AC对折,△ABC与△ADC重合,则△ABC≌,AB的对应边是,AC的对应边是,∠B的对应角是,∠BCA的对应角是.11.△ADCADAC∠D∠DCA2.[2021北京大兴区期末]图中的两个三角形全等,则∠1等于()2A.45°B.62°C.73°D.80°2.C3.B【解析】因为△ABC≌△ADE,所以AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,所以∠BAD=∠CAE.由题中所给条件无法得到A,C,D选项中的结论,B选项一定成立.故选B.A.AC=DEB.∠BAD=∠CAEC.AB=AED.∠ABC=∠AED3.[2020山东淄博中考]如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是()24.[2021江苏南京联合体期末]如图,△ABC≌△DEF,四个点B,E,C,F在同一直线上.若BC=7,EC=5,则CF的长是4.2【解析】∵△ABC≌△DEF,∴BC=EF,又∵BC=7,∴EF=7.∵EC=5,∴CF=EF-EC=7-5=2.2.5.【解析】(1)∵BE⊥AD,∴∠EBD=90°.∵△ACF≌△DBE,∴∠FCA=∠EBD=90°,∴∠A=90°-∠F=28°.(2)∵△ACF≌△DBE,∴CA=BD,∴CA-CB=BD-BC,∴AB=CD.∵AD=9cm,BC=5cm,∴AB+CD=9-5=4(cm),∴AB=2cm.(1)若BE⊥AD于点B,∠F=62°,求∠A的大小;(2)若AD=9cm,BC=5cm,求AB的长.5.[2021山西朔州部分重点中学大联考]如图,△ACF≌△DBE,其中点A,B,C,D在一条直线上.26.B【解析】由题意得△ABC≌△A'B'C',由全等三角形的性质,得点A与点A'是对应点,∠ACB=∠A'C'B',∠ABC=∠A'B'C',AB=A'B'.由旋转的性质,易知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称,所以BO=B'O.故选B.A.点A与点A'是对应点B.∠ACB=∠C'A'B'C.AB=A'B'D.BO=B'O6.[2021安徽阜阳颍州区期末]如图,将△ABC绕点O旋转180°得到△A'B'C',则下列结论不一定成立的是()3【解析】由题意知,△ABC≌△DEF,所以∠ABC=∠E=60°,所以∠C=180°-∠A-∠ABC=180°-80°-7.如图,已知△ABC沿AB方向平移后得到△DEF,DF交BC于点O.若∠A=80°,∠E=60°,则∠C的度数是.360°=40°.7.40°所以∠DAE=∠FAE.因为四边形ABCD是长方形,所以∠BAD=90°,所以∠BAF+∠FAE+∠DAE=90°,又因为∠BAF=60°,所以∠DAE=∠FAE=15°.8.如图,将长方形纸片ABCD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.若∠BAF=60°,求∠DAE的度数.8.【解析】由题意知△ADE≌△AFE,39.下列说法正确的是()A.三个角对应相等的两个三角形全等B.判定两个三角形全等的条件中至少有一个是等边C.面积相等的两个三角形全等D.周长相等的两个三角形全等49.B10.下列说法正确的是()A.有两边对应相等的两个三角形全等B.有一边和一角对应相等的两个三角形全等C.有一边对应相等的两个等腰三角形全等D.有三边对应相等的两个三角形全等410.D1.B【解析】如图,由题意知△ADC≌△A'DC,∴∠1=∠A=50°.∵∠A=50°,∠ACB=90°,∴∠B=90°-∠A=40°.∵∠1=∠B+∠A'DB,∴∠A'DB=∠1-∠B=50°-40°=10°.故选B.如图,由题意知△ADC≌△A'DC,∴∠1=∠A=50°.∵∠A+∠ACB+∠1+∠ADA'=360°,∴∠ADA'=360°-∠A-∠ACB-∠1=360°-50°-90°-50°=170°,∴∠A'DB=180°-∠ADA'=180°-170°=10°.故选B.1.如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=50°,将△ABC折叠,使点A落在CB边上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=()A.15°B.10°C.8°D.5°当求全等三角形中有关角的度数时,利用全等三角形的形式先确定两个三角形中角的对应关系,由这种关系实现已知角和未知角之间的转换,然后求出待求角的度数.2.如图,已知△ACE≌△DBF,A,B,C,D四点在同一直线上,给出下列结论:①AC=DB;②AB=DC;③∠1=∠2;④AE/DF;⑤S△ACE=S△DBF;⑥BC=AE;⑦BF/EC.其中一定正确的个数是()A.4B.5C.6D.72.C【解析】∵△ACE≌△DBF,∴AC=DB,∠ECA=∠DBF,∠A=∠D,S△ACE=S△DBF,①⑤正确;∵AB+BC=AC=BD=CD+BC,∴AB=CD,②正确;∵∠ECA=∠DBF,∴BF/EC,∠1=∠2,③⑦正确;∵∠A=∠D,∴AE/DF,④正确;由题中条件无法得到BC与AE相等,⑥不一定正确.故题中结论一定正确的个数是6.故选C.3.180【解析】如图,∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°.∵三个三角形全等,∴∠4+∠9+∠6=180°.又∵∠5+∠7+∠8=180°,∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°,∴∠1+∠2+∠3=180°.3.[2021河北唐山丰南区期中]将三个全等三角形按如图所示的形式摆放,则∠1+∠2+∠3=°.4.[2020江苏镇江市外国语学校月考]已知△ABC的三边长分别为7,5,3,△DEF的三边长分别为3x-2,2x-1,3.若这两个三角形全等,则x=.4.3【解析】∵△ABC与△DEF全等,∴3x-2=7且2x-1=5,解得x=3,或3x-2=5且2x-1=7,没有满足条件的x的值.故x=3.5.108°【解析】设∠3=x,则∠1=7x,∠2=2x.∵∠1+∠2+∠3=180°,∴7x+2x+x=180°,解得x=18°,∴∠1=126°,∠2=36°,∠3=18°.∵△ABE是△ABC沿着AB边所在直线翻折形成的,∴△ABE≌△ABC,∴∠BAE=∠1=126°,∠E=∠3,∴∠EAC=360°-∠BAE-∠1=360°-126°-126°=108°.∵△ADC是△ABC沿着AC边所在直线翻折形成的,∴△ADC≌△ABC,∴∠ACD=∠3,∴∠E=∠ACD,而∠α+∠E=180°-∠DPE=180°-∠APC=∠PAC+∠ACP,∴∠α=∠EAC=108°.5.[2021河南商丘市实验中学月考]如图,△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB,AC边所在直线翻折形成的,AE交CD于点P.若∠1∶∠2∶∠3=7∶2∶1,则∠α的度数为.6.【解析】(1)∵△ABC沿AB方向平移得到△DEF,∴AD=BE=CF,△ABC≌△DEF,∴EF=BC=3cm.∵AE=8cm,DB=2cm,∴AD=BE=CF=8=3(cm),∴△ABC沿AB方向平移的距离是3cm.(2)四边形AEFC的周长为AE+EF+CF+AC=8+3+3+4=18(cm).cm,DB=2cm.(1)求△ABC沿AB方向平移的距离;(2)求四边形AEFC的周长.6.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4cm,BC=3cm,△ABC沿AB方向平移得到△DEF,连接CF.若AE=87.【解析】(1)∵△BAD≌△ACE,∴BD=AE,AD=CE.又∵AE=AD+DE,∴BD=DE+CE.(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD/CE.理由如下:∵∠ADB=90°,∴∠BDE=180°-90°=90°.∵△BAD≌△ACE,∴∠CEA=∠ADB=90°,∴∠CEA=∠BDE,∴BD/CE.7.[2021河北邯郸期中]如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.(1)试说明:BD=DE+CE.(2)△ABD满足什么条件时,BD/CE?并说明理由.素养提升8.如图,在正方形ABCD中,E是正方形AD边上一点,F是BA延长线上一点,并且AF=AE.已知△ABE≌△ADF.(1)可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法,怎样变换使△ABE与△ADF完全重合?(2)指出图中线段BE与DF之间的数量和位置关系,并说明理由.(2)BE⊥DF,BE=DF.理由如下:如图,延长BE交DF于点H.∵△ABE≌△ADF,∴∠AEB=∠F,BE=DF.易知∠ABE+∠AEB=90°,∴∠ABE+∠F=90°,∴∠BHF=180°-(∠ABE+∠F)=180°-90°=90°,∴BE⊥DF.8.【解析】(1)结合题中图形可知,△ABE绕点A逆时针旋转90°可以与△ADF完全重合.13.2三角形全等的判定课时2边角边1:()A.AB=DCB.OB=OCC.∠C=∠BD.∠AOB=∠DOC1.[2021湖南益阳赫山区期中]如图,AC和BD相交于O点.若OA=OD,用“S.A.S.”证明△AOB≌△DOC,还需的条件为1.B应用“S.A.S.”判定两个三角形全等时一定要保证相等的角必须是分别对应相等的两边的夹角,即“两边夹一角”,且不可出现“边边角”的错误.2.[2021广西钦州期中]如图,要用“S.A.S.”证明△ABC≌△ADE.若已知AB=AD,AC=AE,则还需要的条件为1:2.∠BAE=∠DAC(或∠BAC=∠DAE).(用图中的字母表示)“S.A.S.”3.【解析】∵DE/AC(已知),∴∠EDB=∠A(两直线平行,同位角相等).在△DEB与△ABC中,∵DE=AB(已知),∠EDB=∠A(已证),BD=CA(已知),∴△DEB≌△ABC(S.A.S.).3.[2020吉林中考]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE/AC,并截取DE=AB,且点C,E在1:AB同侧,连接BE.求证:△DEB≌△ABC.1:4.【解析】∵AB/DE(已知),∴∠A=∠D(两直线平行,内错角相等).∵AF=CD(已知),∴AC+CF=DF+CF,∴AC=DF(等式的性质).在△ABC和△DEF中,∵AC=DF(已证),∠A=∠D(已证),AB=DE(已知),∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).4.[2021云南昆明五华区期末]已知:如图,A,C,F,D在同一条直线上,且AB/DE,AF=DC,AB=DE.求证:△ABC≌△DEF.5.如图,MP⊥NP,MQ为△NMP的角平分线,点T在MN上,MT=MP,连接TQ,则下列结论中不一定正确的是()A.∠PMN=∠NQTB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT5.D【解析】∵MQ平分∠PMN,∴∠QMP=∠QMN.在△QMP和△QMT中,MQ=MQ,∠QMP=∠QMT,MP=MT,∴△QMP≌△QMT(S.A.S.),∴∠MQP=∠MQT,∠QTM=∠P=90°,故B,C正确.∵∠PMN+∠PQT=360°-90°-90°=180°,∠NQT+∠PQT=180°,∴∠NQT=∠PMN,故A正确.根据题中所给的条件,无法得出∠NQT=∠MQT,故D不一定正确.故选D.2“6.20【解析】∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCE.在△ACD和△ECD中,∵CA=CE,∠ACD=∠ECD,CD=CD,∴△ACD≌△ECD(S.A.S.),∴∠CED=∠A=55°.∵∠ACB=90°,∴∠B=180°-90°-55°=35°,∴∠BDE=∠CED-∠B=55°-35°=20°.6.[2021山东临沂兰山区期中]如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,E点在BC上,CE=CA,连接DE.2“若∠A=55°,则∠BDE=°.7.【解析】在△ABC和△ADC中,∵AB=AD(已知),∠BAC=∠DAC(已知),AC=AC(公共边),∴△ABC≌△ADC(S.A.S.),∴∠BCA=∠DCA=180°-∠DAC-∠D=180°-25°-80°=75°.7.[2020广东广州中考]如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°.求∠BCA的度数.2“8.[2021浙江台州期中]某中学 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 为新生配备如图1所示的折叠凳,图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长度相等,O是它们的中点,为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为35cm.由以上信息能求出CB的长度吗?如果能,请求出CB的长度;如果不能,请说明理由.在△AOD和△BOC中,∵OA=OB(已证),∠AOD=∠BOC(对顶角相等),OD=OC(已证),∴△AOD≌△BOC(S.A.S.),∴CB=AD(全等三角形的对应边相等).∵AD=35cm,∴CB=35cm.8.【解析】能.∵O是AB,CD的中点(已知),∴OA=OB,OC=OD(中点的定义).2“1.C【解析】∵BD=CE,∠B=∠C=65°,BE=CF,∴△DBE≌△ECF(S.A.S.),∴∠BDE=∠CEF.∵∠BDE+∠BED=180°-65°=115°,∴∠BED+∠CEF=115°,∴∠DEF=180°-115°=65°.故选C.1.[2020山东临沂河东区期中]如图,△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE,BE=CF,则∠DEF的度数是()A.75°B.70°C.65°D.60°2.[2021吉林长春宽城区期末]如图,AB=AC,点D,E分别是AB,AC上一点,AD=AE,BE,CD相交于点M.若∠BAC=60°,∠C=25°,则∠BMD的大小为()A.50°B.65°C.70°D.80°2.C【解析】在△ADC与△AEB中,∵AD=AE,∠A=∠A,AC=AB,∴△ADC≌△AEB(S.A.S.),∴∠B=∠C,∠AEB=∠ADC.∵∠BAC=60°,∠C=25°,∴∠AEB=∠ADC=180°-∠BAC-∠C=180°-60°-25°=95°,∴∠BMC=∠DME=360°-∠AEB-∠ADC-∠BAC=360°-95°-95°-60°=110°,∴∠BMD=180°-110°=70°.故选C.3.[2020江苏南通期中]如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿ABBCCDDA向终点A运动.设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为()A.3B.5或7C.7D.3或73.D【解析】分两种情况讨论:①当BP=CE时,在△ABP与△DCE中,∵AB=DC,∠ABP=∠DCE=90°,BP=CE,∴△ABP≌△DCE,由题意得BP=t-2=1,∴t=3;②当AP=CE时,在△ABP与△CDE中,∵AB=CD,∠BAP=∠DCE=90°,AP=CE,∴△ABP≌△CDE,由题意得AP=8-t=1,解得t=7.综上,当t的值为3或7时,△ABP和△DCE全等.故选D.中,AF=AE,∠BAF=∠CAE,AB=AC,∴△FAB≌△EAC(S.A.S.),故①正确;∵△FAB≌△EAC,∴BF=CE,故②正确;∵△FAB≌△EAC,∴∠ABF=∠ACE,又∵∠BDF=∠ADC,∴∠BFC=∠DAC,又∵∠DAC=∠EAF,∴∠BFC=∠EAF,故③正确;由已知条件无法得到AB=BC,故④不一定正确.4.如图,已知AB=AC,AF=AE,∠EAF=∠BAC,点C,D,E,F共线.给出下列结论:①△AFB≌△AEC;②BF=CE;③∠BFC=∠EAF;④AB=BC.其中一定正确的是.(填序号)【解析】∵∠EAF=∠BAC,∴∠BAF=∠CAE,在△FAB与△EAC4.①②③5.90°【解析】如图,设小正方形的边长为1,在△ABC与△EDA中,AB=ED=1,∠ABC=∠EDA=90°,BC=DA=2,∴△ABC≌△EDA,∴∠1=∠EAD,∴∠1+∠2=∠EAD+∠2=90°.5.[2021重庆二十九中期末]如图,方格纸中有4个完全相同的小正方形,则∠1+∠2的度数为.6.【解析】(1)△ABE≌△ACD.证明如下:∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形,∴AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠EAD=90°,∠ABC=∠ACB=45°,∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,∴∠BAE=∠CAD.在△ABE与△ACD中,∵AB=AC(已证),∠BAE=∠CAD(已证),AE=AD(已证),∴△ABE≌△ACD(S.A.S.).(2)∵△ABE≌△ACD(已证),∴∠ACD=∠ABE=45°(全等三角形的对应角相等),又∵∠ACB=45°,∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°,∴DC⊥BE.(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明;(不添加其他字母及线段)(2)求证:DC⊥BE.6.两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E在同一直线上,连接DC.【探究与发现】(1)如图1,AD是△ABC的中线,延长AD至点E,使ED=AD,连接BE,求证:△ACD≌△EBD.【理解与应用】(2)如图2,EP是△DEF的中线.若EF=5,DE=3,则EP的取值范围是.(3)如图3,AD是△ABC的中线,E,F分别在AB,AC上,且DE⊥DF.求证:BE+CF>EF.素养提升7.[2021河北邢台市第二十五中学期中]某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动,请你来加入.7.【解析】(1)∵AD是△ABC的中线(已知),∴CD=BD(中线的定义).在△ACD和△EBD中,∵CD=BD(已证),∠ADC=∠EDB(对顶角相等),AD=ED(已知),∴△ACD≌△EBD(S.A.S.).(2)1<EP<4如图1,延长EP至点M,使PM=EP,连接DM,则EM=2EP.∵EP是△EFD的中线(已知),∴FP=PD(中线的定义).在△EPF和△MPD中,∵EP=MP,∠EPF=∠MPD(对顶角相等),FP=DP(已证),∴△EPF≌△MPD(S.A.S.),∴DM=EF=5(全等三角形的对应边相等).在△EMD中,DM-ED<EM<ED+DM,∴5-3<2EP<5+3.∴1<EP<4.(3)如图2,延长FD至点G,使得GD=DF,连接BG,EG.∵AD是△ABC的中线(已知),∴DC=DB(中线的定义).在△DFC和△DGB中,∵DF=DG,∠CDF=∠BDG(对顶角相等),DC=DB(已证),∴△DFC≌△DGB(S.A.S.),∴BG=CF(全等三角形的对应边相等).在△EDF和△EDG中,∵DF=DG,∠FDE=∠GDE=90°,DE=DE(公共边),∴△EDF≌△EDG(S.A.S.),∴EF=EG(全等三角形的对应边相等).在△BEG中,BG+BE>EG.∵EF=EG,BG=CF,∴BE+CF>EF.13.2三角形全等的判定课时3角边角1:的一个条件是()A.∠B=∠CB.∠ADC=∠ADBC.AB=ACD.BD=CD1.[2021吉林长春朝阳区期末]如图,点D在AE上,∠CAD=∠BAD,若直接依据“A.S.A.”证明△ACD≌△ABD,则需添加1.B1:2.如图,AB/CD,点C是BE的中点,直接应用“A.S.A.”证明△ABC≌△DCE还需要的条件是()A.AB=CDB.∠ACB=∠EC.∠A=∠DD.AC=DE2.B【解析】∵点C是BE的中点,∴BC=CE.∵AB/CD,∴∠B=∠DCE,∴应添加条件∠ACB=∠E才能直接应用“A.S.A.”证明△ABC≌△DCE.故选B.1:3.【解析】在△ABC和△EDC中,∵∠A=∠E(已知),AC=EC(已知),∠ACB=∠ECD(对顶角相等),∴△ABC≌△EDC(A.S.A.).3.[2021云南昆明期末]如图,AE和BD相交于点C,∠A=∠E,AC=EC.求证:△ABC≌△EDC.么最省事的方法是()A.带①去B.带②和③去C.带③去D.带①和②去4.[2021吉林四平期末]如图,某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那【解析】①不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边,则可以根据“A.S.A.”来配一块完全一样的玻璃.故2“4.A选A.5.71【解析】∵AE和BD相交于点O,∴∠AOD=∠BOE.在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,∠AOD=∠BOE,∴∠BEO=∠2.又∵∠1=∠2,∴∠1=∠BEO,∴∠AEC=∠BED.在△AEC和△BED中,∵∠A=∠B,AE=BE,∠AEC=∠BED,∴△AEC≌△BED(A.S.A.),∴∠BDE=∠C=71°.5.[2021甘肃武威九中期末]如图,∠A=∠B,AE=BE,点D在AC边上,∠1=∠2,AE和BD相交于点O.若∠C=71°,则∠BDE的度数为°.2“6.【解析】在△ACD和△ABE中,∵∠A=∠A(公共角),AC=AB(已知),∠C=∠B(已知),∴△ACD≌△ABE(A.S.A.),∴AD=AE(全等三角形的对应边相等),∴AB-AD=AC-AE(等式的性质),∴BD=CE.6.[2020江苏南京中考]如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.求证:BD=CE.2“7.【解析】∵AB⊥AC,AD⊥AE(已知),∴∠BAE+∠CAE=90°,∠BAE+∠BAD=90°(垂直的定义),∴∠CAE=∠BAD.在△ABD和△ACE中,∵∠BAD=∠CAE(已证),AB=AC(已知),∠ABD=∠ACE(已知),∴△ABD≌△ACE(A.S.A.),∴BD=CE(全等三角形的对应边相等).7.如图,AB=AC,AB⊥AC,AD⊥AE,且∠ABD=∠ACE.求证:BD=CE.2“8.为进一步加强新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控宣传教育工作,引导广大群众科学防控、群防群控,某区的值班员沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的新冠肺炎疫情防控宣传标语口号.其具体信息汇集如下.如图,AB/OH/CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米,行车道的宽度一样.请根据上述信息求标语CD的长度.2“8.【解析】因为AB/CD(已知),所以∠ABO=∠CDO(两直线平行,内错角相等).因为OD⊥CD(已知),所以∠CDO=90°(垂直的定义),所以∠ABO=90°,所以OB⊥AB.因为行车道的宽度一样,所以OB=OD.在△ABO与△CDO中,因为∠ABO=∠CDO(已证),OB=OD(已证),∠AOB=∠COD(对顶角相等),所以△ABO≌△CDO(A.S.A.),所以CD=AB=20米.答:标语CD的长度为20米.2“1.[2021河北邯郸期中]有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,将三角形纸片按下列方式用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是()1.C【解析】A项与B项,均可由“S.A.S.”证得两个小三角形全等;C项,如图1,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,∴∠FEC=∠BDE,∴BE和CF是对应边,而已知给的是BD=FC=3,无法判断BE与CF的数量关系,∴不能判定两个小三角形全等;D项,如图2,∵∠DEC=∠B+∠BDE,∴x°+∠FEC=x°+∠BDE,∴∠FEC=∠BDE,在△BDE与△CEF中,∵∠BDE=∠CEF,BD=CE=2,∠B=∠C,∴△BDE≌△CEF(A.S.A.),∴能判定两个小三角形全等.综上,可能得不到全等三角形纸片的是选项C.故选C.2.16【解析】∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°,AD=AB,∴∠ABE=∠D=90°.∵∠BAD=∠EAF=90°,∴∠DAF+∠BAF=∠BAE+∠BAF=90°,∴∠DAF=∠BAE.在△AEB和△AFD中,∵∠ABE=∠ADF,AB=AD,∠BAE=∠DAF,∴△AEB≌△AFD(A.S.A.),∴S△AEB=S△AFD,∴S四边形AECF=S正方形ABCD=16.2.[2020河南周口期末]如图,有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点放在A点,两条直角边分别与CD,CB的延长线交于点F,E,则四边形AECF的面积是.3.①②③【解析】∵∠B=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°.∵AF⊥AD,BC⊥CF,∴∠DAF=∠BAC=∠ECF=90°,∴∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF=45°,又∵AB=AC,∴△ABD=△ACF(A.S.A.),故①正确.∵△ABD=△ACF,∴AD=AF.∵AE=AE,∠EAD=∠EAF=45°,AD=AF,∴△AED=△AEF(S.A.S.),∴DE=EF,故②正确.∵S△ADE=10,S△CEF=4,∴S△ABD+S△AEC=14,∴S△ABC=S△ABD+S△AEC+S△ADE=14+10=24,故③正确.∵△ABD=△ACF,∴BD=CF.∵EC+CF>EF,∴BD+CE>DE,故④错误.故正确结论的序号是①②③.3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=∠ACD=45°,D,E是BC上两点,且∠DAE=45°,过点A作AF⊥AD,垂足是A,过点C作CF⊥BC,垂足是C,CF交AF于点F,连接EF.给出下列结论:①△ABD=△ACF;②DE=EF;③若S△ADE=10,S△CEF=4,则S△ABC=24;④BD+CE=DE.其中正确结论的序号是.4.【解析】(1)∵AB/DE(已知),∴∠EAB=∠E=40°(两直线平行,内错角相等),∵∠DAB=70°(已知),∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=30°.(2)在△BCA与△ADE中,∵∠B=∠DAE,AB=AE(已知),∠BAC=∠E(已证),∴△BCA≌△ADE(A.S.A.),∴AD=BC(全等三角形的对应边相等).4.[2020湖北黄石中考]如图,AB=AE,AB/DE,∠DAB=70°,∠E=40°.(1)求∠DAE的度数;(2)若∠B=30°,求证:AD=BC.5.【解析】AM=2AN.理由如下:连接PA,∵AC/PN,EF/BC(已知),∴∠CAP=∠NPA,∠CPA=∠NAP(两直线平行,内错角相等).在△APC和△PAN中,∵∠CPA=∠NAP(已证),PA=AP(公共边),∠CAP=∠NPA(已证),∴△APC≌△PAN(A.S.A.),∴PC=AN(全等三角形的对应边相等).同理得△APB≌△PAM(A.S.A.),∴BP=MA(全等三角形的对应边相等).∵BP=2PC,∴AM=2AN.5.如图,点P是△ABC的边BC上的一个动点,过点A作EF/BC,过点P分别作PM/AB,PN/AC,PM,PN分别交EF于M,N两点.当BP=2PC时,线段AM与AN有什么数量关系?请说明理由.素养提升6.:如图1,OP平分∠MON,在OM,ON上分别取点A,B,使OA=OB,再在OP上任取一点D,连接AD,BD,请你猜想AD与BD之间的数量关系,并说明理由.:如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA,AD,CE相交于点F,请你写出FE与FD之间的数量关系,并说明理由.∴△OAD≌△OBD(S.A.S.),∴AD=DB(全等三角形的对应边相等).:FE=FD.理由如下:如图,在AC上截取AG=AE,连接FG.∵AD平分∠BAC(已知),∴∠EAF=∠GAF(角平分线的定义).在△AEF和△AGF中,6.【解析】:AD=BD.理由如下:∵OP平分∠MON(已知),∴∠DOA=∠DOB(角平分线的定义).在△OAD和△OBD中,∵OA=OB(已知),∠DOA=∠DOB(已证),OD=OD(公共边),∵AE=AG,∠EAF=∠GAF(已证),AF=AF(公共边),∴△AEF≌△AGF(S.A.S.),∴∠AFE=∠AFG(全等三角形的对应角相等),FE=FG(全等三角形的对应边相等).∵∠ACB=90°,∠B=60°(已知),∴∠BAC=30°(三角形内角和定理).∵AD,CE分别平分∠BAC,∠BCA(已知),∴∠FAC=∠BAC=15°,∠FCA=∠BCA=45°(角平分线的定义),∴∠AFG=∠AFE=∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°(三角形外角的性质),∴∠CFD=∠AFE=∠AFG=60°,∴∠CFG=180°-60°-60°=60°(平角的定义),∴∠CFG=∠CFD.∵CE平分∠BCA(已知),∴∠GCF=∠DCF(角平分线的定义),又∵CF=CF(公共边),∠CFG=∠CFD,∴△CFG≌△CFD(A.S.A.),∴FG=FD(全等三角形的对应边相等),∴FE=FD.13.2三角形全等的判定课时4角角边1:1.B【解析】在甲中,边a,c的夹角不是50°,所以甲不符合题意;在乙中,两边分别为a,c且夹角为50°,符合“S.A.S.”,所以乙符合题意;在丙中,两角分别是50°,72°,且72°角对的边是a,符合“A.A.S.”,所以丙符合题意.故选B.如果知道两个三角形的两个角及一条边分别对应相等,这两个三角形一定全等,这时有两种不同的情况:一种情况是两个角及两角的夹边分别对应相等;另一种情况是两个角及其中一角的对边分别对应相等.1.[2021华中师大一附中光谷分校月考]如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙1:2.[2021黑龙江鸡西期末]如图,已知∠ABC=∠DCB,添加下列条件中的一个:①∠A=∠D;②AC=DB;③AB=DC.其中不能判定△ABC≌△DCB的是(只填序号).2.②【解析】已知∠ABC=∠DCB,且BC=CB,若添加①∠A=∠D,则可由“A.A.S.”判定△ABC≌△DCB;若添加②AC=DB,不能判定△ABC≌△DCB;若添加③AB=DC,则可由“S.A.S.”判定△ABC≌△DCB.故答案为②.1:3.【解析】∵FC/AB(已知),∴∠A=∠FCE,∠ADE=∠F(两直线平行,内错角相等).在△ADE与△CFE中,∵∠A=∠FCE(已证),∠ADE=∠F(已证),DE=FE(已知),∴△ADE≌△CFE(A.A.S.).3.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC/AB.求证:△ADE≌△CFE.4.B【解析】∵AB⊥CD,CE⊥AD,BF⊥AD,∴∠AFB=∠CED=90°,∠A+∠D=90°,∠C+∠D=90°,∴∠A=∠C.∵∠A=∠C,∠AFB=∠CED,AB=CD,∴△ABF≌△CDE(A.A.S.),∴AF=CE=4,DE=BF=3.∵EF=2,∴AD=AF+D=AF(DE-EF)=4+(3-2)=5.故选B.判定两个三角形全等时,“角角边”和“角边角”是可以相互转化的.如果可以用“角角边”判定两个三角形全等,则根据三角形内角和等于180°可知第三个角也相等,从而可以转化为用“角边角”判定两个三角形全等;反之亦然.4.[2021河北秦皇岛期末]如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=4,BF=3,EF=2,则AD的长为()A.3B.5C.6D.72“5.56【解析】∵AD⊥DE,BE⊥DE,∴∠ADC=∠CEB=90°,∠ACD+∠CAD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°.∴∠CAD=∠BCE,又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB,∴△ADC≌△CEB(A.A.S.),∴CD=BE,AD=CE.∵DE=CD+CE,∴DE=BE+AD=24+32=56(cm),∴两个墙脚之间的距离DE的长为56cm.5.[2021山东日照期末]课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB=90°,AC=BC,每块砌墙用的砖块厚度为8cm,小聪很快就知道了两个墙脚之间的距离DE的长为cm.2“6.【解析】∵AC平分∠BAE(已知),∴∠BAC=∠DAE(角平分线的定义).在△BAC和△DAE中,∵∠BAC=∠DAE(已证),∠C=∠E(已知),AB=AD(已知),∴△BAC≌△DAE(A.A.S.),∴BC=DE(全等三角形的对应边相等).6.[2020云南昆明中考]如图,AC平分∠BAE,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC=DE.2“7.【解析】(1)∵点D为BC的中点(已知),∴BD=CD(中点的定义).∵DE⊥AB,DF⊥AC(已知),∴∠DEB=∠DFC=90°(垂直的定义).在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=∠DFC(已证),∠B=∠C(已知),BD=CD(已证),∴△BDE≌△CDF(A.A.S.),∴DE=DF(全等三角形的对应边相等).(2)∵∠BDE=40°(已知),∴∠B=90°-∠BDE=50°(直角三角形的两锐角互余),∴∠C=∠B=50°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=80°(三角形内角和定理).7.[2020湖南衡阳中考]如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E,F.(1)求证:DE=DF.(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.2“1.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别是D,E,AD,CE交于点H.若EH=EB=3,AE=5,则CH的长是()A.1.C.D.21.D【解析】∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEH=90°.又∵∠AHE=∠CHD,∴∠BAD=∠BCE.∵∠EAH=∠ECB,∠AEH=∠CEB,EH=EB,∴△HEA≌△BEC(A.A.S.),∴EC=AE=5,则CH=EC-EH=AE-EH=5-3=2.故选D.B2.[2020江苏南通启秀中学期末]△AEB和△AFC如图,EB交AC于点M,交FC于点D,AB交FC于点N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN.其中一定正确的有()A.4个B.3个C.2个D.1个2.B【解析】在△ABE和△ACF中,∵∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF,∴△ABE≌△ACF(A.A.S.),∴BE=CF,∠BAE=∠CAF,∴∠CAF-∠BAC=∠BAE-∠BAC,∴∠1=∠2.∵△ABE≌△ACF,∴AB=AC,又∵∠NAC=∠MAB,∠C=∠B,∴△ACN≌△ABM(A.S.A.).由题中条件不能证明CD=DN.故选B.3.50【解析】∵BG⊥FH,EF⊥FH,∴∠EFA=∠BGA=90°,∴∠EAF+∠AEF=90°.∵AE⊥AB,∴∠EAF+∠BAG=90°,∴∠AEF=∠BAG.又∵AE=AB,∠AFE=∠BGA,∴△AEF≌△BAG(A.A.S.),∴AG=EF=6,AF=BG=3.同理可得△BCG≌△CDH(A.A.S.),∴CG=DH=4,CH=BG=3,∴S=×(4+6)×(3+3+4+6)-×3×6×2-×3×4×2=50.3.[2021河北唐山期中]如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是.4.【解析】(1)∵FG/AC(已知),∴∠BFG=∠A(两直线平行,同位角相等).∵∠ACB=90°,CD⊥AB(已知),∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°,∴∠BCG=∠A=∠BFG.∵BG平分∠ABC(已知),∴∠CBG=∠FBG(角平分线的定义).4.如图,在直角三角形ABC中,CD是斜边AB上的高,∠ABC的平分线交CD于点G,交AC于点E,GF/AC交AB于点F,连接EF.求证:(1)BF=BC;(2)EF⊥AB.在△BCG和△BFG中,∵∠CBG=∠FBG(已证),∠BCG=∠BFG(已证),BG=BG(公共边),∴△BCG≌△BFG(A.A.S.),∴BF=BC(全等三角形的对应边相等).(2)在△BEF和△BEC中,∵BF=BC(已证),∠FBE=∠CBE(已证),BE=BE(公共边),∴△BEF≌△BEC(S.A.S.),∴∠EFB=∠ECB=90°(全等三角形的对应角相等),∴EF⊥AB.选取适当的方法判定两三角形全等可以从以下几点出发:(1)从结论出发,看结论中的线段、角(或等量变换后的线段、角)在哪两个三角形中;(2)从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形全等;(3)从已知条件和结论一起出发,看它们共同确定哪两个三角形全等.5.【解析】∵FB=CE(已知),∴BC=EF(等式的性质).∵AB/ED,AC/FD(已知),∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE(两直线平行,内错角相等).在△ABC和△DEF中,∵∠ABC=∠DEF(已证),BC=EF(已证),∠ACB=∠DFE(已证),5.[2021北京朝阳区月考]如图,点B,F,C,E在一条直线上,FB=CE,AB/ED,AC/FD,AD交BE于点O.求证:AD与BE互相平分.∴△ABC≌△DEF(A.S.A.),∴AB=DE(全等三角形的对应边相等).在△AOB和△DOE中,∵∠AOB=∠DOE(对顶角相等),∠ABO=∠DEO(已证),AB=DE(已证),∴△AOB≌△DOE(A.A.S.),∴OA=OD,OB=OE(全等三角形的对应边相等),∴AD与BE互相平分.6.【解析】(1)∵AE,BE分别平分∠DAB,∠CBA(已知),∴∠BAE=∠FAE,∠ABF=∠EBC(角平分线的定义).∵AD/BC(已知),∴∠EBC=∠F(两直线平行,内错角相等),∴∠ABE=∠F(等量代换).在△ABE和△AFE中,∵∠ABE=∠F(已证),6.如图,已知AD/BC,点E是CD上一点,AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,延长BE交AD的延长线于点F.(1)求证:△ABE≌△AFE.(2)若AD=2,BC=6,求AB的长.∠BAE=∠FAE(已证),AE=AE(公共边),∴△ABE≌△AFE(A.A.S.).(2)∵△ABE≌△AFE(已证),∴BE=EF(全等三角形的对应边相等).在△BCE和△FDE中,∵∠EBC=∠F(已证),BE=FE(已证),∠BEC=∠FED(对顶角相等),∴△BCE≌△FDE(A.S.A.),∴BC=DF(全等三角形的对应边相等),∴AD+BC=AD+DF=AF=AB,即AD+BC=AB.∵AD=2,BC=6,∴AB=8.①如图1,若∠BCA=90°,∠α=90°,则BECF,EF|BE-AF|(填“>”“<”或“=”);②如图2,若0°<∠BCA<180°,添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件:,可以使①中的两个结论仍然成立,并证明两个结论成立.(2)如图3,若直线CD经过∠BCA的外部,∠α=∠BCA,请提出EF,BE,AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).素养提升7.CD是经过∠BCA顶点C的一条直线,CA=CB,E,F分别是直线CD上两点,且∠BEC=∠CFA=∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面两个问题:7.【解析】(1)①==∵∠BCA=90°,∠α=90°,∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACF=90°,∴∠CBE=∠ACF(等式的性质).又∵CA=BC(已知),∠BEC=∠CFA(已知),∴△BCE≌△CAF(A.A.S.),∴BE=CF,CE=AF(全等三角形的对应边相等),∴EF=|CF-CE|=|BE-AF|.②∠α+∠BCA=180°证明如下:在△BCE中,∠CBE+∠BCE=180°