第三章三角(sānjiǎo)恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦(yúxián)和正切
公式
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3.2简单的三角恒等变换熟能生巧(shúnéngshēngqiǎo),勤能补拙本章的巧体现在哪些地方呢？请同学们阅读本章章头图部分的文字！从中我们能体会到3.1是三角变换的基本依据.第一页，共24页。3.1.1两角差的余弦公式第二页，共24页。某城市的电视(diànshì)发射塔建在市郊的一座小山上.如图所示,小山高BC约为30米,在地平面上有一点A,测得A、C两点间距离约为67米,从A观测电视(diànshì)发射塔的视角(∠CAD)约为45°.求这座电视(diànshì)发射塔的高度.ABCD306745°α思考(sīkǎo)：第三页，共24页。一、新课引入问题(wèntí)1:cos15°＝？sin75°=？问题(wèntí)2:cos15°＝cos（45°－30°）＝cos45°－cos30°?sin75°＝sin（45°+30°）＝sin45°－sin30°？cos(α-β)=?第四页，共24页。探究：如何用任意角α，β的正弦、余弦值表示 ？思考1：设α，β为两个(liǎnɡɡè)任意角,你能判断cos(α－β)＝cosα－cosβ恒成立吗?例:cos(30°－30°)≠cos30°－cos30°因此，对角(duìjiǎo)α，βcos(α－β)＝cosα－cosβ一般不成立.第五页，共24页。〖探究1〗cos（α-β）公式的结构形式应该(yīnggāi)与哪些量有关系？发现：cos（α-β）公式(gōngshì)的结构形式应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系令则令则令令则则第六页，共24页。sin60°sin120°cos60°cos120°cos(120°－60°)sin30°sin60°cos30°cos60°cos(60°－30°)思考2：我们知道cos(α－β)的值与α，β的三角函数值有一定关系(guānxì)，观察下表中的数据，你有什么发现？第七页，共24页。从表中,可以(kěyǐ)发现:cos(60°－30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30°cos(120°－60°)=cos120°cos60°+sin120°sin60°现在(xiànzài)，我们猜想，对任意角α，β有：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ第八页，共24页。xyPP1MBOAC+11〖探究(tànjiū)2〗借助三角函数线来推导cos（α-β）公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ又OM＝OB＋BMOM＝cos(α-β)OB＝cosαcosβBM＝sinαsinβ第九页，共24页。〖探究3〗cos（α-β）公式我们能否用向量的知识(zhīshi)来推导？1、已知OP为角的终边，求终边与单位圆交点(jiāodiǎn)P的坐标POXYP（cos，sin）温故知新!2、两个(liǎnɡɡè)向量的数量积：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ第十页，共24页。〖探究(tànjiū)3〗cos（α-β）公式我们能否用向量的知识来推导？提示(tíshì)：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样(zěnyàng)表示的？2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？BAyxo-111-1∵cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ第十一页，共24页。〖探究(tànjiū)3〗两角差的余弦公式有哪些结构特征？注意：1.公式的结构特点：等号的左边(zuǒbian)是复角α-β的余弦值，等号右边是单角余弦值的乘积与正弦值的乘积的和。2.公式(gōngshì)中的α,β是任意角。上述公式称为差角的余弦公式，记作简记“CCSS，符号相反”第十二页，共24页。〖公式(gōngshì)应用〗例1求cos15°的值.分析：将150可以看成(kànchénɡ)450-300而450和300均为特殊角，借助它们即可求出150的余弦.cos150=cos（450-300）=cos450cos300+sin450sin300=×+×=思考：1、本题还有别的求解(qiújiě)方法吗？2、你会求吗？第十三页，共24页。应用解:由sinα＝,α∈(,),得542分析:由Cα-β和本题的条件，要计算cos(α-β),还应求什么？又由cosβ=，β是第三象限的角，得135-所以(suǒyǐ)cos(α-β)＝cosβcosα+sinβsinα已知sinα＝,α∈(,),cosβ=-,β是第三(dìsān)象限角，求cos(α-β)的值。542135例2，总结：要求(yāoqiú)cos(α-β)应先求出α,β的正余弦，思考：本例中若去掉的范围，结果如何？第十四页，共24页。第十五页，共24页。练习：cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β)公式(gōngshì)的逆用应用第十六页，共24页。第十七页，共24页。利用差角公式求值时，常常进行(jìnxíng)角的分拆与组合.即公式的变用.第十八页，共24页。第十九页，共24页。课堂练习第二十页，共24页。第二十一页，共24页。1.两角差的余弦公式：2.已知一个角的正弦（或余弦）值，求该角的余弦（或正弦）值时,要注意该角所在的象限，从而(cóngér)确定该角的三角函数值符号.第二十二页，共24页。3.在差角的余弦公式中，既可以是单角(dānjiǎo)，也可以是复角，运用时要注意角的变换，如，等.同时，公式的应用具有灵活性，解题时要注意正向、逆向和变式形式的选择.第二十三页，共24页。再见(zàijiàn)第二十四页，共24页。
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