章末检测试卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．双曲线3x2－y2＝9的焦距为( )A.eq\r(6)B．2eq\r(6)C．2eq\r(3)D．4eq\r(3)答案 D解析 方程化为
标准
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方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1，∴a2＝3，b2＝9.∴c2＝a2＋b2＝12，∴c＝2eq\r(3)，∴2c＝4eq\r(3).2．设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为( )A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1D.eq\f(x2,4)＋y2＝1答案 A解析 因为|BF2|＝|F1F2|＝2，所以a＝2c＝2，所以a＝2，c＝1，所以b＝eq\r(3).所以椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.3．抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线的距离是( )A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．1D.eq\r(3)答案 B解析 抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的渐近线eq\r(3)x－y＝0的距离为eq\f(|\r(3)×1－1×0|,\r(\r(3)2＋12))＝eq\f(\r(3),2)，故选B.4．已知F1，F2为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率为eq\f(\r(3),2)，则椭圆的方程是( )A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1答案 D解析 由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，所以a＝4，又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，所以c＝2eq\r(3)，所以b2＝42－(2eq\r(3))2＝4，所以椭圆的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1.5．已知双曲线eq\f(x2,2)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(eq\r(3)，y0)在双曲线上，则eq\o(PF1,\s\up6(—→))·eq\o(PF2,\s\up6(—→))等于( )A．－12B．－2C．0D．4答案 C解析 由渐近线方程为y＝x，知双曲线是等轴双曲线，所以双曲线方程是x2－y2＝2，于是两焦点分别是F1(－2,0)和F2(2,0)，且P(eq\r(3)，1)或P(eq\r(3)，－1)．不妨取点P(eq\r(3)，1)，则eq\o(PF1,\s\up6(—→))＝(－2－eq\r(3)，－1)，eq\o(PF2,\s\up6(—→))＝(2－eq\r(3)，－1)．所以eq\o(PF1,\s\up6(—→))·eq\o(PF2,\s\up6(—→))＝(－2－eq\r(3)，－1)·(2－eq\r(3)，－1)＝－(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＋1＝0.6.如图，已知F是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PF⊥x轴，OP∥AB(O为原点)，则该椭圆的离心率是( )A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)答案 A解析 因为PF⊥x轴，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a))).又OP∥AB，所以eq\f(b,a)＝eq\f(\f(b2,a),c)，即b＝c.于是b2＝c2，即a2＝2c2.所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k等于( )A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(2\r(2),3)答案 D解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，Δ＝(4k2－8)2－16k4＝－64k2＋64>0，所以0
0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为( )A．2B.eq\r(15)C.eq\r(13)D.eq\r(3)答案 C解析 ∵|AB|∶|BF2|∶|AF2|＝3∶4∶5，不妨令|AB|＝3，|BF2|＝4，|AF2|＝5，∵|AB|2＋|BF2|2＝|AF2|2，∴∠ABF2＝90°，又由双曲线的定义得|BF1|－|BF2|＝2a，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF1|＋3－4＝5－|AF1|，∴|AF1|＝3，∴2a＝|AF2|－|AF1|＝2，∴a＝1，|BF1|＝6.在Rt△BF1F2中，|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2＝36＋16＝52，又|F1F2|2＝4c2，∴4c2＝52，∴c＝eq\r(13)，∴e＝eq\r(13).二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知方程mx2＋ny2＝1(m，n∈R)，则( )A．当mn>0时，方程表示椭圆B．当mn<0时，方程表示双曲线C．当m＝0时，方程表示两条直线D．方程表示的曲线不可能为抛物线答案 BD解析 A项，取m＝n＝1，此时表示圆，错误；B项，当mn<0时，方程表示焦点在x轴或y轴上的双曲线，正确；C项，当m＝0，n＝0时，方程不成立，错误；D项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛物线，正确．10．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是( )A．开口向上，准线方程为y＝－eq\f(1,16)B．开口向上，焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16)))C．开口向右，焦点为(1,0)D．开口向右，准线方程为y＝－1答案 AB解析 抛物线可化为x2＝eq\f(1,4)y，故开口向上，焦点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,16))).准线方程为y＝－eq\f(1,16).11．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1交于A，B两点，且|AB|＝8eq\r(2)，则实数k的值为( )A．±eq\r(7)B．±eq\r(3)C．±eq\r(5)D．±eq\f(\r(41),3)答案 BD解析 由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－eq\f(y2,4)＝1得(4－k2)x2－2kx－5＝0，则Δ＝4k2＋4(4－k2)×5＞0，即k2＜5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(2k,4－k2)，x1x2＝－eq\f(5,4－k2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k,4－k2)))2＋\f(20,4－k2))＝8eq\r(2)，解得k＝±eq\r(3)或±eq\f(\r(41),3).12．设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )A.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2eq\r(2)B．离心率e＝eq\f(\r(6),2)C．△PF1F2面积的最大值为eq\r(2)D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切答案 AD解析 对于A选项，由椭圆的定义可知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF1))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(PF2))＝2a＝2eq\r(2)，所以A选项正确．对于B选项，依题意a＝eq\r(2)，b＝1，c＝1，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以B选项不正确．对于C选项，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c＝2，当P为椭圆短轴端点时，△PF1F2的面积取得最大值为eq\f(1,2)·2c·b＝c·b＝1，所以C选项错误．对于D选项，线段F1F2为直径的圆的圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－eq\r(2)＝0的距离为eq\f(\r(2),\r(2))＝1，也即圆心到直线的距离等于半径，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－eq\r(2)＝0相切，所以D选项正确．综上所述，正确的为AD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．以双曲线eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．答案 eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1解析 双曲线的焦点为(±4,0)，顶点为(±2,0)，故椭圆的焦点为(±2,0)，顶点为(±4,0)，所以椭圆方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.14．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线x＝eq\f(1,4)y2的焦点重合，且双曲线的离心率等于eq\r(5)，则该双曲线的方程为________，渐近线方程为__________．(本题第一空3分，第二空2分)答案 5x2－eq\f(5,4)y2＝1 y＝±2x解析 抛物线x＝eq\f(1,4)y2的方程化为标准形式为y2＝4x，焦点坐标为(1,0)，则得a2＋b2＝1，又e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5)，易求得a2＝eq\f(1,5)，b2＝eq\f(4,5)，所以该双曲线的方程为5x2－eq\f(5,4)y2＝1，渐近线方程为y＝±2x.15．过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))的直线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，F是抛物线的焦点，若A为线段EB的中点，且|AF|＝3，则p＝________.答案 4解析 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，|AF|＝x1＋eq\f(p,2)，又|AF|＝3，所以x1＝3－eq\f(p,2)，由中点坐标公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(x2－\f(p,2),2)，,y1＝\f(y2＋0,2)，))所以x2＝6－eq\f(p,2)，y2＝2y1，所以yeq\o\al(2,2)＝4yeq\o\al(2,1)，2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(p,2)))＝4yeq\o\al(2,1)＝4×2px1＝4×2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，结合p>0可得p＝4.16．如图所示，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于B，|AK|＝eq\r(2)|AF|，则△AFK的面积为________．答案 8解析 由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x＝－2，∴K(－2,0)，设A(x0，y0)(y0＞0)，∵过点A作AB⊥l于B，∴B(－2，y0)，∴|AF|＝|AB|＝x0－(－2)＝x0＋2，|BK|2＝|AK|2－|AB|2，∴x0＝2，∴y0＝4，即A(2,4)，∴△AFK的面积为eq\f(1,2)|KF|·|y0|＝eq\f(1,2)×4×4＝8.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(6),3)，短轴的一个端点到右焦点的距离为eq\r(3)，求椭圆C的方程．解 设椭圆的半焦距为c，依题意，得a＝eq\r(3)且e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，所以a＝eq\r(3)，c＝eq\r(2)，从而b2＝a2－c2＝1，因此所求椭圆的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.18．(12分)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)经过点A(2,1)，离心率为eq\f(\r(2),2)，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.(1)求椭圆的方程；(2)若|MN|＝eq\f(3\r(2),2)，求直线MN的方程．解 (1)由题意有eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，a2－b2＝c2，解得a＝eq\r(6)，b＝eq\r(3)，c＝eq\r(3)，所以椭圆方程为eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y＝k(x－3)，代入椭圆方程整理得(2k2＋1)x2－12k2x＋18k2－6＝0，Δ＝24－24k2>0，得k2<1.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(12k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(18k2－6,2k2＋1)，|MN|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(k2＋1x1－x22)＝eq\r(k2＋1[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(3\r(2),2)，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，满足k2<1，所求直线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)(x－3)．19．(12分)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1及直线l：y＝eq\f(3,2)x＋m.(1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值．解 (1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(3,2)x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.①Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)．因为直线l与椭圆有公共点，所以Δ≥0，解得－3eq\r(2)≤m≤3eq\r(2).故所求实数m的取值范围为[－3eq\r(2)，3eq\r(2)]．(2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由①得x1＋x2＝－eq\f(6m,9)，x1x2＝eq\f(2m2－18,9)，故|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6m,9)))2－4×\f(2m2－18,9))＝eq\f(\r(13),3)·eq\r(－m2＋18)，当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为eq\r(26).20．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点P(1,1)．过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．(1)解 由抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)，得p＝eq\f(1,2).所以抛物线C的方程为y2＝x.抛物线C的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，准线方程为x＝－eq\f(1,4).(2)证明 由题意，设直线l的方程为y＝kx＋eq\f(1,2)(k≠0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\f(1,2)，,y2＝x))得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0.则x1＋x2＝eq\f(1－k,k2)，x1x2＝eq\f(1,4k2).因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为y＝x，点A的坐标为(x1，x1)．直线ON的方程为y＝eq\f(y2,x2)x，点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1，\f(y2x1,x2))).因为y1＋eq\f(y2x1,x2)－2x1＝eq\f(y1x2＋y2x1－2x1x2,x2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx1＋\f(1,2)))x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kx2＋\f(1,2)))x1－2x1x2,x2)＝eq\f(2k－2x1x2＋\f(1,2)x2＋x1,x2)＝eq\f(2k－2×\f(1,4k2)＋\f(1－k,2k2),x2)＝0，所以y1＋eq\f(y2x1,x2)＝2x1，即y1－x1＝x1－eq\f(y2x1,x2)，即|AM|＝|BA|，故A为线段BM的中点．21．(12分)已知F1，F2分别为椭圆eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点．(1)求|PF1|·|PF2|的最大值；(2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面积为eq\f(64\r(3),3)，求b的值．解 (1)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝100(当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)，∴|PF1|·|PF2|的最大值为100.(2)SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(64\r(3),3)，∴|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3).①由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2，,|PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos60°，))∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2.②由①②得c＝6，∴b＝8.22．(12分)已知抛物线C：y2＝4x，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m，0))，其中m>0，过B的直线l交抛物线C于M，N.(1)当m＝5，且直线l垂直于x轴时，求证：△AMN为直角三角形；(2)若eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，当点P在直线l上时，求实数m，使得AM⊥AN.(1)证明 由题意l：x＝5，代入y2＝4x中，解得y＝±2eq\r(5)，不妨取M(5,2eq\r(5))，N(5，－2eq\r(5))，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(4,2eq\r(5)－2)，eq\o(AN,\s\up6(→))＝(4，－2eq\r(5)－2)，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝(4,2eq\r(5)－2)·(4，－2eq\r(5)－2)＝16－(20－4)＝0，所以AM⊥AN，即△AMN为直角三角形得证．(2)解 由题意可得四边形OAPB为平行四边形，则kBP＝kOA＝2，设直线l：y＝2(x－m)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)，y1))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)，y2))，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－m，,y2＝4x，))得y2－2y－4m＝0，由题意，判别式Δ＝4＋16m>0，y1＋y2＝2，y1y2＝－4m，因为AM⊥AN则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－1，y1－2))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)－1，y2－2))，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1),4)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,2),4)－1))＋(y1－2)(y2－2)＝0，化简，得(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，即y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，代入解得m＝6.故m＝6时，有AM⊥AN.
浙公网安备 33021202002483