含绝对值不等式解法

含绝对值不等式解法含绝对值不等式解法含绝对值不等式解法含绝对值的不等式的解法一、基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转变，即采纳正确的方法去掉绝对值符号转变成不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。（一）、公式法：即利用xa与xa的解集求解。主要知识：1、绝对值的几何意义：x是指数轴上点x到原点的距离；x1x2是指数轴上x1，x2两点间的距离.。2、xa与xa型的不等式的解法。当a0时，不等式x的解集是xxa,或xa不等式xa的解集是xaxa;a0时，不等式xa的解集是xxR不等式xa的解集是;3．axbc与axbc型的不等式的解法。把axb看作一个整体时，可化为xa与xa型的不等式来求解。当c0时，不等式axbc的解集是xaxbc,或axbc不等式axbc的解集是xcaxbc;当c0时，不等式axbc的解集是xxR不等式abxc的解集是;例1解不等式x23解析:这种题可直接利用上边的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“x2”看着一个整体。答案为x1x5。(解略)a(a0),（二）、定义法:即利用a0(a0),去掉绝对值再解。a(a0).例2。解不等式xx。2x2x解析:由绝对值的意义知，aaa≥0，aaa≤0。解:原不等式等价于xx＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。21（三）、平方法:解f(x)g(x)型不等式。3、解不等式x12x3。解:原不等式(x1)2(2x3)2(2x3)2(x1)20(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<04x2。3说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。二、分类谈论法：即经过合理分类去绝对值后再求解。例4解不等式x1x25。解析:由x10，x20，得x1和x2。2和1把实数会集分成三个区间，即x2，2x1，x1，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间谈论。解:当x＜-2时，得x(x2(x2)，解得：3x21)5当-2≤x≤1时，得2x1,，解得：2x1(x1)(x2)5当x1时，得x1,(x2)5.解得：1x2(x1)综上，原不等式的解集为x3x2。说明:(1)原不等式的解集应为各种状况的并集;这种解法又叫“零点分区间法”，即经过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意界限值。三、几何法：即转变成几何知识求解。例5对任何实数x，若不等式x1x2k恒成立，则实数k的取值范围为()(A)k<3(B)k<-3(C)k≤3(D)k≤-3解析:设yx1x2，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是kymin，于是题转变成求y的最小值。x-102解:x1、x2的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离x1-x2的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，应选（B）。2四、典型题型1、解关于x的不等式x23x810解：原不等式等价于10x23x810，即x23x810x1或x2x23x8106x3∴原不等式的解集为(6,2)(1,3)2、解关于x的不等式122x32x30x3解：原不等式等价于212x35724x3、解关于x的不等式2x1x24解：原不等式可化为(2x1)2(x2)2∴(2x1)2(x2)20即(x3)(3x1)0解得：1x33∴原不等式的解集为(1,3)34、解关于x的不等式2x12m1(mR)解：⑴当2m10时，即m1，因2x10，故原不等式的解集是空2集。⑵当2m10时，即m1，原不等式等价于(2m1)2x12m12解得：1mxm综上，当m1时，原不等式解集为空集;当m1时，不等式解集为x1mxm2235、解关于x的不等式2x1xx31解：当x3时，得x31)x(x3)，无解(2x1当313x1，解得：31，得2x4x2(2x1)xx312当x1时，得x1，解得：x1222x1xx312综上所述，原不等式的解集为(3，1)6、解关于x的不等式x1x2542（答案：(,3][2,)）解：五、牢固练习1、设函数f(x)2x1x3,则f(2)＝;若f(x)2，则x的取值范围是.2、已知aR，若关于x的方程x2xa1a0有实根，则a的取值范围4是．x11的实数解为3、不等式2．x4、解以下不等式⑴4x32x1；⑵|x2||x1|；⑶|2x1||x2|4；⑷4|2x3|7；⑸x142；⑹x2aa（aR）5、若不等式ax26的解集为1,2，则实数a等于（）A.8B.2C.4D.86、若xR，则1x1x0的解集是（）4A.x0x1B.{xx0且x1}C.x1x1D.{xx1且x1}7、1对任意实数x，|x1||x2|a恒成立，则a的取值范围是；2对任意实数x，|x1||x3|a恒成立，则a的取值范围是；3若关于x的不等式|x4||x3|a的解集不是空集，则a的取值范围是；8、不等式x2103x的解集为（）A.x|2x10B.x|2x5C.x|2x5D.x|10x59、解不等式：x12x210、方程x2x2的解集为，不等式xx2x的解集是；x23xx23x2x12、不等式x(12x)0的解集是（）A.(,1)B.(,0)(0,1)C.(1,)D.(0,1)222211、不等式352x9的解集是A.,2U7,B.1,4C.2,1U4,7D.2,1U4,712、已知不等式x2a(a0)的解集为xR|1xc，求a2c的值13、解关于x的不等式：①解关于x的不等式mx13；②2x31a(aR)14、不等式1|x1|3的解集为（）.A.(0,2)B.(2,0)U(2,4)C.(4,0)D.(4,2)U(0,2)15、设会集Axx22,xR，Byyx2,1x2，则CRAIB等于()A.RB.xxR,x0C.0D.16、不等式2x1x1的解集是．17、设全集UR，解关于x的不等式：x1a10xR（参照答案）1、6；；2、[0,4]3、(,2)(2,3)254、⑴xx1或x2⑵xx1⑶xx1或x1322⑷x2x1或7x5⑸x5x1或3x722⑹当a0时，x2ax2a；当a0时，不等式的解集为5、C6、D7、⑴a3；⑵a4；⑶a7；8、C9、xx1a或x510、x3x2或x0；22xx2或x011、D12、1513、①当m0时，xR；当m0时，2x4；当m0时，4x2mmmm②当a10，即a1时，不等式的解集为aa1；xx当a10，即a1时，不等式的解集为22；14、D15、B16、(0，2)17、当1a0，即a1时，不等式的解集为xxa或x2a；当1a0，即a1时，不等式的解集为xx1；当1a0，即a1时，不等式的解集为R；6