椭圆离心率的解法一、运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，0为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交0A于B,P、Q在椭圆上,PDLL于D,QF丄AD于F,设椭圆的离心率为e,则①ej黒②ejQJ③e=^A0^④IPD|IBF丨IBO|IAF|FBA⑤e=IF0|IA0|DB评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。a2•••丨A0|=a,I0F|=c,•••有⑤；：TAO|=a,IBO|=——二有③。cF2，以F1F2为边作正三角形，若椭题目1椭圆x2-+¥2-=1(a>b>0)的两焦点为F1圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e?思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B,连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：TIF仆2|=2c|BF1|=c|BF2|=3c变形1：椭圆x2a2c+,3c=2a+;|—=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2,点P在椭圆上，使△0PF1为正b2三角形，求椭圆离心率？解：连接PF2,则丨0F2|=|OF1|=|0P|,/F1PF2=90°图形如上图，e=,3-1变形2:x2椭圆-+y2—=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点,b2P是椭圆上一解：T|PF1|b2aIF2F1|=2c|OB|=b|0A|=aPF2//AB|PF1|=b|F2F1|=o'又•/b=a2-c2--a2=5c2e=,5~5-a与c的方程点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关式，推导离心率。、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆X2-+号厂=l(a>b>0),A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，/a2b2ABF=90°，求e?IBF|=a|AB|=a2+b2a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以3e=叮(舍去)解：|A0|=a|0F|=ce2+e-1=0e=变形:顶点，点评：案：90椭圆x2-+冷2厂=1(a>b>0),e】1；5,A是左顶点,求/ABF?此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，Oa2F是右焦点，B是短轴的一个由余弦定理解决角的问题。答引申：此类e=—的椭圆为优美椭圆。性质：1、/ABF=902、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。找各边的
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示，结合解斜三角形
总结
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：焦点三角形以外的三角形的处理
方法
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根据几何意义，公式，列出有关e的方程式。x2y2题目3:椭圆+=1(a>b>0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两a2b2占八、、：若|F1A|=2|BF1|,求e?解:设|BF1|=m则|AF2|=2a-am|BF2|在厶AF1F2及厶BF1F2中，由余弦定理得:=2a-m«a2—c2=m(2a_c)、2(a2-c2)=m(2a+c):2ac两式相除：丄二e=223题目4：椭圆X2-+yb2-=1(a>b>0)的两焦点为F1(-C,0)、F2(c,0),P是以|F仆2|为直径的圆与椭圆的一个交点，且/PF1F2=5/PF2F1,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理:|F1F2||F1P|sinF1PF2=sinF1F2P|PF2|sinPF1F2根据和比性质：|F仆2||F1P|+|PF2|sinF1PF2=sinF1F2P+sinPF1F2变形得:|F1F2||PF2|+|F1P|sinF1PF2sinF1F2P+sinPF1F22c=e2a/PF1F2=75PF2F1=15°3sin90e=—sin75°+sin15°点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知sinF1PF2e=一sinF1F2P+sinPF1F2变形1：椭圆X2—+y2—=1(a>b>0)的两焦点为F1(-c,0)、F2(c,0),P是椭圆上一点,a2b2且/F1PF2=60。，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设/F1F2P=a,则/F2F1P=120°-asinF1PF2sin60e=—sinF1F2P+sinPF1F2sina+sin(120°-a)1•••e<1112sin(a+30°)/2x2y2变形2:已知椭圆—+"42~=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点(M不与1aR1长轴两端点重合)设/PF1F2=a,/PF2F1=R若yvtany
b>0)，斜率为1,且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、Ba2b2两点，OAOB与"a=(3,-1)共线，求e?法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=02a2c2a2c-2b2cx1+x2='y1+y2=-2c=a2+b2''a2+b2a2+b2O/+OB=(x1+x2,y1+y2)与(3,-1)共线，则(x1+x2)=3(y1+y2)既a2=3b2e=S-x12a2+y12b2=1①x22+a2旦=1b2②—>—>—>法二：设AB的中点N,则20M0AH0B①-②得:y1-y2x1-x2=b2x1+x2a2y1+y2•••1=-b2ar(-3)既a2=3b2e=四、由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6:椭圆x2a2+=1(a>b>0)的两焦点为F1(-C,0)、F2(c,0)的点M总在椭圆内部，贝Ue的取值范围?=0•••以F1F2为直径作圆,M在圆0上，与椭圆没有交点。解：•c2c2•0b>0)的两焦点为F1(-c,0)、F2(c,0),P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围?思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找思路2:根据图形中的边长之间的不等关系，求「分析:a、b、c的不等关系。解法a2F1(-c,0)F2(c,0)P(—,y0)cM(ea2c-cy0厂〒)丹b2既(27vp_,2ta2)则PF1=-(+c,y0)cMF2=-(b22T-c，=0/b2(2T-c，(a^+c,y0)a2（严）（a2-3c2w0b2y022T-c)+y-=°•••£we<1解法2:|F1F2|=|PF2|a2PF2I》一-cc=2ca2则2c>-cc3ca2》c3c2>a2设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P,使解法，求离心率利用曲线范围e的取值范围。，则（x,y），又知将这个方程与椭圆方程联立，消去y,可解得解法2:利用二次方程有实根由椭圆定义知解法3:利用三角函数有界性记解法4:利用焦半径由焦半径公式得解法5:利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6:巧用图形的几何特性由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有离心率的五种求法椭圆的离心率0::e::1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e=1•一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的
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方程或a、c易求时，可利用率心率公式e=c来解决。a双曲线的离心率为（）A3BA.B.3C.兰D.差2223解：抛物线y2二-6x的准线是3X二即双曲线的右准线22ac-13nttX，则2例1：已知双曲线笃一y2=1（a0）的一条准线与抛物线y2--6x的准线重合，则该aTOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark20"\o"CurrentDocument"cc2■—2c2-3c-2=0，解得c=2,a=・・3,e=E=——，故选Da3变式练习1:若椭圆经过原点，且焦点为F,1,0、F23,0，则其离心率为（）211A.B.C.D.一324解：由F11,0、F23,0知2c=3-1,•••c=1,又•••椭圆过原点，•••a-c=1,a，c=3,c1•a=2,c=1，所以离心率e.故选C.a2变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为（）A.23C.-2解：由题设a=2,2c=6，贝Vc=3,，因此选Ca2变式练习3:点P(-3,1)在椭圆x2a7b2y2=1(ab0)的左准线上，过点P且方向为a=(2,_5的光线，经直线y-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为解：由题意知，入射光线为5y-1=-2x•3，关于y=-2的反射光线(对称关系)为5x-2y5=0，贝Uc-5c5=0=3解得a=J3,c=1，贝Uec打3，故选Aa3已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于仝2忑已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为223.若椭圆经过原点，且焦点为FJ1Q),F2(3,0),则椭圆的离心率为14.已知矩形ABCDAB=4,BC=3,则以AB为焦点，且过CD两点的椭圆的离心率为一。2x2y2一5.若椭圆—2=1,(ab0)短轴端点为P满足Ph_PF2，则椭圆的离心率为ab.2e=—。22笃-y2=1的的离心率为mn2126..已知1(m>0.n>0)则当mn取得最小值时，椭圆mn22xy7.椭圆二2=1(ab0)的焦点为F1,F2，两条准线与x轴的交点分别为ab若MN<2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是已知F1为椭圆的左焦点，AB分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF丄RAPO//AB(0为椭圆中心)时，椭圆的离心率为e豆e二。222F2是椭圆的左右焦点，已知ZPF^p,zPFF-2(,P是椭圆与+爲=1(a>b>0)上一点，a2b2.F1PF2=3、椭圆的离心率为.3-1已知R、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若.PF1F2-15PF2F1=75,则椭圆的离心率为'-311.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为22x212.设椭圆二a2y亍=1(a>b>0)的右焦点为Fi，右准线为I1,若过Fi且垂直于x轴的弦b的长等于点F1到11的距离，则椭圆的离心率是-。213.椭圆2X-等于2aI22葺=1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)B(O,b),若右焦点F到直线AB的距离6AFI，则椭圆的离心率是—。314.椭圆2■爲=1(a>b>0)的四个顶点为A、B、b2CD,若四边形ABCD勺内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是.5-1215.已知直线L过椭圆令a2-yr=1(a>b>0)的顶点b2A(a,0)、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为旦，则椭圆的离心率是22216.在平面直角坐标系中，椭圆二社a2b2=1(ab0)的焦距为2,以O为圆心，a为半径作圆，过点2、—,0作圆的两切线互相垂直，则离心率e=——2二、构造a、根据题设条件，得到关于e的一元方程，从而解得离心率c的齐次式，解出e借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系(特别是齐二次式)，进而例2：已知22F2是双曲线x2一y2=1（a0,b0）的两焦点，以线段F1F2为边作正ab三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）A.42.一3B.3-1C.2D..31c解：如图，设MFi的中点为P，则P的横坐标为-一，由焦半径公式2PFi=—eXp—a，2C「C、fc\（c\即c=――、火——I—a，得一i—2—j—2=0，解得aI2丿（a丿卫丿e=C=1•3（1-,3舍去），故选Da变式练习1:设双曲线2X2"2^2"(0::a:::b)的半焦距为c，直线L过a,0,0,b两ab2点.已知原点到直线的距离为.3c,则双曲线的离心率为（)4A.2B..3C.、22.3D.解：由已知，直线L的方程为bx•ay-ab=0，由点到直线的距离公式，得ab,3ca2b24又c2二a2b2,a4ab=-3c2，两边平方，得16a2c2-a2=3c4，整理得423e-16e16=0,得e2=4或e2-，又0：：a：：b,ae232c~2aa2b2变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为F1、F2,F1MF2=120°，则双曲线的离心率为（）A233解：如图所示，不妨设M0,b,F1-c,0,F2c,0，贝UMF1二MF2-c2b2，又F1F2在.F1MF2中,由余弦定理，得COS.MF1MF2MF『+|MF2「—|F1F2I2|MFi||MF2|c2b2i亠ic2b2；「4c22c2b2.2:b-cT22bc•••b2「a2「a222c-a・c2c22，…3a二2c,.ee=—，故选B21.已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2•以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于35MN两点，椭圆的左焦点为Fi,直线MF与圆相切，则椭圆的离心率是；3-1TOC\o"1-5"\h\z3•以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心0并且与椭圆交于MN两点，如果IMFI=IM0，则椭圆的离心率是14•设椭圆的两个焦点分别为R、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若AF1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是,2-1是正三角形，则这个椭圆的离心率是5.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过R且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF23HYPERLINK\l"bookmark71"\o"CurrentDocument"226•设印F2分别是椭圆y2=1ab0的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为、.3cab7?(c为半焦距)的点，且F1F2I|F2P，则椭圆的离心率是-三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3:设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是解：e，且a2a2c2cPF1I+IPF2I2b>0)的两焦点为F1、F2,若椭圆上存在一点Q使/F1QF2=120o,ab椭圆离心率e的取值范围为旦e"35.在△ABC中，AB=BC,cosB7.若以A,B为焦点的椭圆经过点C，则该椭183圆的离心率e二三826.设F1,F2分别是椭圆与•每=1(ab0)的左、右焦点，若在其右准线上存在P,ab使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是配套练习221.设双曲线笃-爲=1（a.0,b.0）的离心率为.3，且它的一条准线与抛物线ab2y=4x的准线重合，则此双曲线的方程为（A.22Ui1224B.22X-丄=14896C.x22y23一3D.1>31v'3A.-B.—C.—D.3322223.已知双曲线xy_22一1的一条渐近线方程为4yx,则双曲线的离心率为a2b235453A-B—C-D-33422•已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为A、25.在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2D一41-，则该2双曲线的离心率为2A-26.如图,F1和F2分别是双曲线22笃-爲=1(a0,b0)的两个焦点,abA和B是以O为圆心，以OR为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且AF2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为（）A.3B•5.5C一222Xy7.设F2分别是椭圆—2=1（ab0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐ab标为,3c（c为半焦距）的点，且hF2||F2P，则椭圆的离心率是（.3-1A-2D，22x&设F1、F2分别是双曲线—a2-y2=1的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使b2.F,AF2=90°,且AFi-3AF2，则双曲线离心率为（9.已知双曲线2x~~2a2总=1（a0,b0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（c2,：：A1,21B1,22x10•椭圆二a2芯=1（ab0）的焦点为F1、F2，两条准线与x轴的交点分别为M、b2MN乞2RF2，则该椭圆离心率的取值范围是（C.丄,1IL2ca2
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：1.由3,1可得a=*3,bf；6,c=3.故选Dac2•已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，•••cyf3a=2b，椭圆的离心率e=±3，选a23.双曲线焦点在x轴，由渐近线方程可得-a,可得「J—丄故选a3a332,2224.不妨设椭圆方程为~2■—ab2=1(ab0),则有2b2_2丝八2且邑-c=1，据此求出c、、2e=一25.不妨设双曲线方程为—2=1ab(a0,2bb>0)，则有——aa2二2且c-—=1，据此解得e26•解析：如图，Fi和F2分别是双曲线2r2二1(a-0,b-0)的两个焦点，A和B是以0b2为圆心，以OF^!为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F?AB是等边三角形，连接AFi，ZAF2Fi=30°|AFi|=c，|AF2|=J3c，「.2a=(j3—1)C，双曲线的离心率为1+J3，7.由已知P(2_：2_・，J3c)，所以2c=<(电—c)2+(J3c)2化简得c:c8•设Fi,F2分别是双曲线22xy—2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使/FiAF2=90o,ab且|AFi|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AFi|=3，双曲线中2a=||-|AF2戶2,2c-...|AFi|2|AF2|='10，•离心率e=—10，选Bo2229双曲线^2=1(a0,b0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为ab60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率e>2，选C2,3，离心率e2=C2a2210.椭圆笃爲=1(ab■0)的焦点为Fi,abF2，两条准线与x轴的交点分别为M,N,2a若|MN|=2，|FiF2|=2c,c2MN<2|FiF2，贝U—<2c，该椭圆离心率c2e>2，选
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