直线和圆综合问题题型分类全面

第九讲直线和圆问题一、直线与圆（一）直线和圆的位置关系及其特点2.直线和圆相切：直线和圆有一个公共点直线和圆相交：直线和圆有两个公共点3.直线和圆相离：直线和圆没有公共点（二）直线和圆的位置关系的判断几何法：利用圆心O（a,b）到直线Ax+By+C=O的距离——■与半径r的大Ja2+b2小来判断.代数法：联立直线与圆的方程组成方程组，消去其中一个未知量，得到关于另外一个未知量定义：当直线和圆相交时，我们把两个交点的距离叫做相交弦长求相交弦长的两种方法几何法：如图，半径r，弦心距d，弦长I的一半构成直角三角形，满足勾股定理：A（xnyj、B（x2，y2），则弦长代数法：若直线y二kx•b与圆有两个交点公式AB=或几何法：求出经过圆心与相交弦丨垂直的直线方程丨，则丨、丨的交点即为相交弦中点.代数法：联立直线丨和圆C的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，其两根分别为X2则相交弦的中点横坐标为X。-2，再把xo代入直线丨的方程求得yo，（Xo,yo）即2为中点弦坐标.（四）圆的切线1.圆的切线条数点在圆内时：;点在圆上时：;点在圆外时：.圆的切线方程求法求过圆上一点(xo,y。)的切线方程求法先求切点与圆心连线的斜率k，由垂直关系可知切线斜率为k'，由点斜式方程求得切线方程.若k=0或k不存在，则由图形可以直接求得切线方程.求过圆外一点(xo，y。)的切线方程求法几何法：设切线方程为点斜式，由圆心到直线距离等于半径求出斜率k,从而求出切线方程.代数法：设切线方程为点斜式，将切线方程代入圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用厶=0求出k，从而求出切线方程.过圆上一点(xo,y。)的切线方程经过圆x2y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0^y0y=r2.经过圆(x-a)2•(y-b)2=r2上一点P(x°,y°)的切线方程为2(X。-a)(x-a)(y。-b)(y-b)=r.22经过圆xyDxEy^0上一点P(x°,y°)的切线方程为x0xy0yxyF=0.22切线长：若圆C:(x-a)2•(y-b)2=r2,则过圆外一点P(x0,y0)的切线长d=.(X0_a)2(y°_b)2_r2.切点弦：过圆C:(x-a)2•(y-b)2二r2外一点P(x°,y°)作圆C的两条切线方程，切点分别为代B,则切点弦AB所在直线方程为：化-a)(x-a)•(y0-b)(y-b)=r2.(五)圆系方程TOC\o"1-5"\h\z以(a,b)为圆心的圆系方程是.与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圆系方程是.过同一定点(a,b)的圆系方程是.过直线AxByC-0与圆x2y2DxEy0的交点的圆系方程是5.过两圆G：x2•y2D/•E』•F^0,C2:x2y2D?x•E?yF^0的交点的圆系方程是.二、圆和圆（一）圆和圆的位置关系圆与圆之间有几种位置关系？（二）圆和圆的位置关系判断几何法：设两圆的半径分别为ri,「2，圆心距为d，比较d和ri,D的大小关系代数法：由两个圆的方程组成一个方程组消元化为一元二次方程•根据厶来判断.圆和圆的位护¥方.置丿系内含内切相交外切外离图形（9（5Oo两圆圆心的距离d△=b2-4ac（三）圆与圆的公共弦1.两圆的相交弦所在直线方程的求法2222设两圆C1:xy-D1xE1yF^0和C2:xy-D2xE2yF2=0相交时,-得Di-D2巳-E2Fi-F2=0若两圆相交，方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示过两圆交点的直线，即为经过两圆交点的直线方程.提示：当两圆相切时为两圆的公切线方程.公共弦长的求法代数法：将两圆方程联立，解出交点坐标，利用两点距离公式求出弦长几何法：求出公共弦所在直线方程，求出弦心距，半径，利用勾股定理求出弦长三、直线与圆的方程的应用坐标法：建立适当的直角坐标系后，借助代数方法把要研究的几何问题，转化为坐标之间的运算，由此解决几何问题.考点一、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系例1:已知动直线丨：y=kx•5和圆C：（x-1）2•y2=1，试问k为何值时，直线与圆相切、相离、相交？例2：若直线axby^0与圆x2-y2=1相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是例3：圆C1:x2y2「2mx4ym2「5二0与圆C2：x2y22x「2mym2「3=0.试问m为何值时，两圆(1)外离；(2)外切；(3)相交；(4)内切；(5)内含；、.22变式1：圆2x+2y=1与直线xsinq+y—1=0C三R,：=2二•k二，k•z)的位置关系是?22变式2：已知点M(a,b)在圆O：x•y=1外，则直线axby=1与圆O的位置关系是变式3：已知圆C1:x2y22x8y-8=0，圆C2：x2•y2-4x—4y-2=0，试判断两圆的位置关系.练习：TOC\o"1-5"\h\z直线3x+4y+12=0与LC:(x—俨+(y—1)2=9的位置关系是.直线x•y与圆x2y2-2ay=0(a0)有公共点，则a的取值范围是多少？若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值为()A.0或2B.0或4C.2D.4HYPERLINK\l"bookmark18"\o"CurrentDocument"圆x2+y2—2x=0和x2十y2+4y=0的位置关系是.圆G:(^m)2(y2)^9与圆C?:(x1)2(^m)^4外切，则m的值为多少？6.判断直线L:(1m)x(^m)y2^^0与圆O:x2y^9的位置关系考点二、直线和圆相交相交弦长例1:求直线I:3x•y-6=0被圆C:X•y2-2y-4=0截得的弦长.例2：已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线I:y=x一1被圆C所截得的弦长为2、2，求圆的方程.例3：直线y=kx+3与圆(x—3)2+(y—2)2=4相交于M,N两点，若MNX2J3,则k的取值范围是.22变式1：在平面直角坐标系xOy中，直线x，2y-3=0与圆C：(x-2)(y1)=4交于A,B两点，求AB及心AOB的面积•变式2:设直线ax-y，3=0与圆(x-1)2(^2)^4相交于A、B两点，且弦AB的长为2^3，贝Ha=.变式3:已知圆M:(x-1)2•(y-1)2=4，直线l过点P(2,3),且与圆M相交于A,B两点，AB，=2^3，求•直线l的方程•练习：直线^2x3被圆x2y2-6x-8y=0所截得的弦长等于多少？已知圆x2y22^2y0截直线xy0所得弦的长度为4,则a=.直线l过点Q(0,5),被圆C:(x2)2(y-6)2=16截得的弦长为4、3，求直线l的方程.直线x—2y一3=0与圆C：(x-2)2•(y-3)2=9交于E、F两点UAECF的面积为求与x轴相切，圆心在直线3x一y=0上，且截直线x一y=0的所得弦长为27的圆的方程•直线J3x+y—2j3=0截圆x2+y2=4的劣弧所对的圆心角是.中点弦和弦的中点轨迹问题22例1已知圆xy-4x，6y-12=0内一点A(4,-2)，求以为A中点的弦所在直线的方程.例2：过点P(3,1),作圆M:(x—2)2+(y—2)2=4的弦，其中最短的弦长为.例3：直线y=kx与圆x2■y2-6x-4y•10=0相交于两个不同点，求中点轨迹方程.变式1：设圆C：x2•y2-4x-5=0的一条弦的中点为P(3,1),则该弦所在直线的方程为变式2：过点(1，.2)的直线l将圆(x-2)2•y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的的方程为变式3:已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x—12y+24=0.求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.练习:1.(1)设直线2x3y1=0和圆x2亠y2-2x-3=0相交于点A,B，弦AB的垂直平分线的方程为？222.过点(2,1)的直线被圆(2)右点P(2,-1)为圆(X-1)+y=25的弦AB的中点，求直线AB的方程.X2y^2x4y=0截得的弦长最短的直线方程是?经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线丨，交圆于AB两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.22若直线y=2x+b与圆x+y=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹.已知圆的方程为x2+y2—6x—8y=0,设该圆过点P(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为()A.106B.20,6C.306D.40,6直线和圆相交最值问题例1：在圆x2+y2=4上，与直线4x+3y-12=0的距离最小距离是.该点的坐TOC\o"1-5"\h\z标是.最大距离是.该点的坐标是.…22例2：若圆xy-4x-4y-10=0上至少有三个不同的点到直线丨：ax•by=0的距离为22,则直线l的倾斜角的取值范围是.例3:若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2，4x•y2-5=0在第一象限内的部分有交点，贝Uk的取值范围是.变式1已知点P(x,y)是圆(x-3)2•(y—3)2=4上任意一点，求到直线2xy0的最大距离和最小距离•变式2：在平面直角坐标系xoy中，已知圆x2y^4上有且仅有四个点到直线TOC\o"1-5"\h\z12x—5y+c=0的距离为1则实数c的取值范围是.变式3：直线I过点A(0,2)且与半圆C:x-12y2=1(y_0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是.练习：圆x2•y2=1上的点到直线3x•4y-25=0的距离的最小值是()A.6B.4C.5D.1设A为圆(x—2)2+(y—2)2=1上一动点，贝UA到直线x—y—5=0的最大距离为.3.圆x2+y2+2x+4y—3=0上到直线x+y+牡0的距离为2的点有()A.1个B.2个C.3个D.4个4.若圆(x「3)2(y5)二r上有且只有两个点到直线4x—3y=2的距离等于1，则半径r的取值范围是25•若圆（x-3）(y5)=r上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取TOC\o"1-5"\h\z值范围是.曲线y=1"4-x2(|x|_2)与直线y=k(x-2)•4有两个交点时，实数k的取值范围是考点三、直线和圆相切(一)与圆相切的直线方程(点在圆外)例1：自点M(3,1)向圆x2y^1引切线，则切线方程是多少?(点在圆上)例2：经过圆上一点P(_4,_8)作圆(x•7)2•(y•8)2=9的切线方程为例3：与圆C：x2(y5)2=3相切、且纵截距和横截距相等的直线共有条.[3例4:把直线y二丄-x绕原点逆时针方向旋转，使它与圆x2-y22.3x_2y*3=0相切，则3直线转动的最小正角是.变式1求过A(3,5)且与圆C：X2•y2-4x-4y•7=0相切的直线方程.变式2：圆x2+y2—4x=0在点P(1,J3)处的切线方程为练习：1.求过点A(2,2、2-2)的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程2.已知圆O:x2+y2=16，求过点P(345,6)的圆的切线PT的方程.(二)与直线相切的圆方程例：求圆心在直线l「5x-3y=0上，并且与直线l2：x-6y-10=0相切于点P(4,-1)圆的方程•变式：右圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切，则圆C的方程是.练习:1.圆心为(1,2)且与直线5x_12y_7=0相切的圆的方程为已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x•4y•4=0与圆C相切，则圆C的方程为.已知圆C的圆心是直线x-y•1=0与x轴的交点，且圆C与直线xy0相切，则圆C的方程为.切点弦、切线长例1：过点P(2,3)22向圆C:x+y=1上作两条切线PA,PB，则弦AB所在的直线方程为例2:自点A(—1,4)作圆(x—2)直线上是否存在点P使.BPA=60?若存在求出点的坐标，若不存在说明理由.+(y—3)2=1的切线，则切线长为.例3：已知P是直线3x4y^0上的动点，PA,PB是圆C：x2y^2^2y^0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为多少？例4.自动点P引圆x2寸“°的两条切线PA,PB，直线PA,PB的斜率分别为k,,k2.(1)若kik2-kk=-1，求动点P的轨迹方程；(2)若点P在直线x•y=m上，且PA_PB，求实数m的取值范围.变式1：过点3,1作圆(x_1)2•y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则直线AB的方程为22变式2:自直线y=x上的点向圆x+y-6x+7=0引切线，则切线长的最小值©变式3：由动点P向圆x2y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为AB，APB二60，则动点P的轨迹方程为.练习过圆x2y^4外一点M(4,-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为()A.4x-y-4=0B.4xy-4=0C.4xy4=0D.4x-y4=02.过点0((离为()A.15—8）作圆x2+y2B.1=25的切线于切点AB，那么C到两切点A、B连线的距C.15D.53.由直线y=x+1上的点向圆C:x2+y2—6x+8=0引切线，则切线长的最小值为()A.1B.22C..7D.34.从直线l:2x-y+10=0上一点做圆O:x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的最小值5.已知LO:x2+y2=1和定点A(2,1),由LO外一点P(a,b)向LO弓I切线PQ,切点为Q,且满足PQ=PA(1)求实数a,b间满足的等量关系⑵求线段PQ的最小值.利用直线和圆的位置关系解决最值问题例1：已知实数x、y满足方程x2y2-4x•1=0，(1)求y的最大值和最小值；x(2)求x-y的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值.变式：若实数x,y满足x2y2-2x4^0，则x-2y的最大值为练习1.已知x,y是实数,且x2+y2-4x-6y+12=0,求⑴—的最值；(2)x2+y2的最值；(3)x+y的最值；⑷x-y的最值.x2.已知实数x,y满足x2+y2=1,则匕2的取值范围为x+1考点四、圆与圆(一)圆与圆相切例1：求与圆x2-y2=25内切于点(5，0)，且与直线3x-4y・5=0也相切的圆方程.变式：已知半径为1的动圆与圆(x_5)2(y7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是练习：22圆M:(x-1)(y-1)=8，圆N的圆心为N(2,2)且与圆M相切，求圆N的方程.求过点A(0,6)且与圆C:x2y210x10y=0切于原点的圆的方程.(二)圆与圆相交例1:求两圆：x2y26x4^0及x2y24x2y-4=0的公共弦所在直线方程和公共弦长•TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark30"\o"CurrentDocument"例2:已知圆g:x2•y2—6x-7=0与圆C2:x2•y2-6y-27=0相交于A,B两点，则线段AB的中垂线方程为.例3：求过两圆x2y2，6x-4=0和x2•y2•6y-28=0的交点，且圆心在直线x—y—4=0上的圆的方程.变式1：圆x2y22x=0和x2•y2-4y=0的公共弦所在直线方程为()A.x-2y=0B.x2y=0C.2x-y=0D.2xy=0变式2：已知两圆x2y2-10x-10^0和x2•y2•6x-2y-40=0，则它们的公共弦长为.练习：1.圆x2十y2—x十y-2=0和圆x2十y2=5的公共弦直线方程为；公共弦长为.2.已知圆M:x2y2=10和圆N:x2y22x2^1^0,求过两圆交点，且面积最小的圆的方程•考点六、综合拓展(设而不求、对称问题)例1:已知直线x2y-3=0交圆x2y2x-6yF=0于点P,Q，O为坐标原点，且OP_OQ，贝VF的值为.例2：在以O为原点的直角坐标系中，点A(4,-3)为二OAB的直角顶点，已知AB=2OA,且点B的纵坐标大于0.求AB的坐标；求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.例3:已知圆C1：(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M、N分别是圆G、C2上的动点，P为x轴上的动点，PM+PN的最小值.变式1：若圆C：(x-3)2•(y-1)2=9与直线x-y•a=0交于A、B两点，且OA_OB,求a的值.变式2:若圆x2'y2=8和圆x2•y2•4x「4y，4=0关于直线l对称，则直线l的方程为()A.x-y=0B.xy=0C.x-y2=0D.xy2=0练习1.已知圆C1：(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆C关于直线x-y-1=0对称,则圆C?的方程为()2222A.(x+2)+(y-2)=1B.(x-2)+(y+2)=1［来2222C.(x+2)+(y+2)=1D.(x-2)+(y-2)=1［来源：若两圆x2y2=16及(x-4)2(y3)^r2在交点处的切线互相垂直，求实数r的值.223•已知圆（3-x）y=4和直线y二mx的交点分别为P、Q两点，O为坐标原点，则OPOQ的值为.考点七、实际运用例：有一种大型商品，A、B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若AB两地相距10km，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？变式：如图，已知一艘海监船0上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿,速度为28km/h•问：这艘外籍轮船能否被我海监船监测到？若能，持续时间多长？练习：航行前方的河道上有一圆拱桥，在正常水位时，拱圆最高点距水面9米，拱圆内水面宽为22米，船只在水面上部高为6.5米,船顶宽4米,故船行无阻.近日水位暴涨了2.7米,船只已不能通过桥洞，船员必须加重船载，降低船身•问：船身必须降低多少，才能通过桥洞？巩固训练1.直线3x+4y+12=0与OC：（x-1）2+（y-1）2=9的位置关系是（）A.相交并且过圆心B•相交不过圆心C•相切D•相离2.已知圆x2'y2圆的位置关系为（A.相交B6122x2y，圆（x-sin：）（y-1））.外切.内切D116，其中°一90，则两.相交或外切b的取值范围是3.若曲线y=1-x2与直线y二x•b始终有两个交点，则4.圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x—y—5=0所得弦长等于（）A.■.6B.呼C.1D.5TOC\o"1-5"\h\z5•若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay—6=0(a>0)的公共弦的长为2*3,则a=.若过点A(4,0)的直线I与曲线(x—2)2+y2=1有公共点，则直线I斜率的取值范围为直线x十y=1与圆x2+y2—2ay=0(a>0)没有公共点，贝Ua的取值范围是.设P是圆(x-3)2(y1)2=4上的动点，Q是直线x=-3上的动点，则PQ的最小值为过点P(—1,6)且与圆(x+3)2+(y—2)2=4相切的直线方程是求与圆x2y^2x4y^0同心，且与直线2x-y，1=0相切的圆的方程.过点(2,1)的直线中被圆x2y^2x4y=0截得的弦长最大的直线方程是()A.3x_y-5=0B.3xy-7=0C.x3y-5=0D.x-3y5=0点P在圆C1:x2+y2—8x—4y+11=0上，点Q在圆C2:x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是()A.5B.1C.3.5—5D.35+5动点在圆x2y2=1上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是()A.(x3)2y2=4B.(x-3)2y2=1C.(2x「3)24y2=1D.(x3)2y2=~2214.设P(x,y)是圆x2y2-8x-6y•16=0上一点，贝V—的最大值是x辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.0米C.3.6米D.4.5米已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x-3y=0上，且被直线y=x截得的弦长为27,求圆C的方程.已知直线l过点P(5,5),且和圆C:x225相交于A,B两点，截得的弦长为4「5,求直线丨的方程.求经过圆C1y2-4x•2yT=0与圆C2:x2•y2-6x=0的交点，且过点(2，一2)的圆的方程.已知OM:x2+(y—2)2=1,Q是x轴上的动点，QA,QB分别切OM于A,B两点.(1)若|AB|=^^，求MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程；⑵求证：直线AB恒过定点.22已知过点M；的直线I与圆xy•4y_21=0相交于代B两点,若弦AB的长为215，求直线I的方程；设弦AB的中点为P，求动点P的轨迹方程.已知圆C:x2+(y—1)2=5,直线I:mx—y+1—m=0.(1)求证：对任意m€R,直线I与圆C总有两个不同的交点；⑵设I与圆C交于A,B两点，若|AB|=.17,求I的倾斜角;⑶求弦AB的中点M的轨迹方程.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE,求DE的最短距离.3.已知过点P(2,2)的直线与圆(x_1)2・y2=：5相切，且与直线ax-y，1=0垂直，则a=()A11A.-B.1C.2D.224.一条光线从点A(-2,3)射出，经x轴反射后，与圆C：(x-3)2•(y-2)2=1相切，求反射后光线所在直线的方程.5.垂直于直线^x1且与圆x2y2=1相切于第一象限的直线方程是()A.xy--2=0B.xy1=0C.xy-1=0D.xy.2=06.若经过点P(-1,0)的直线与圆x2y24x-2y•3=0相切，则此直线在y轴上的截距是.