相似三角形题型归纳总结非常全面

4相似三角形题型归纳一、比例的性质:比例的性质示例剖析(1)基本性质：—=—<=>3x2(4)合比性质：-=-<=>^—=——(W*0)babaa2x+y2+3“…_。_(v*0)y3y3(5)分比性质：a-c^U~h-C~l/(加h0)bdbdy_3oy—x_3—2(20)x2X2⑹合分比性质：bda-bc_d(bd工0,aHb,c工d)x2x+y2+3z八一=厅0—(yHOn)y3x-y2-3(7)等比性质：acmz.fc、—=—=・・・=—(b+d+…+“h0)bdna+c+--+ma,Axzz>=——(Z?+d+•・・+nH0)b+d+・・・+打b234已知-=-=->则当x+f+zhO时，xyz2_3_4_2+3+4xyzx+y+z^二、成比例线段的概念：比例的项：在比例式cr.b=c：d（即纟=上）中，a,d称为比例外项，b,c称为比例内项.特别地，hd在比例式a\b=b.c（即上=?）中，b称为a,c的比例中项，满足b2=ac・bc成比例线段：四条线段6b,Gd中，如果Q和b的比等于C和d的比，即-=那么这四条线bd段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.黄金分割：如图，若线段M上一点C,把线段朋分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是和BC的比例中项（即AC2=ABBC）,则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段&8的黄金分割点，其中AC=^1AB^Q.61SAB,=Q0.382AB,ACAB22的比叫做黄金比.（注意：对于线段A3而言，黄金分割点有两个.）•••ACB三.平行线分线段成比例定理1.平行线分线段成比例定理两条直线被三条平行线所截.所得的对应线段成比例.简称为平行线分线段成比例立ABDEBCEF如AFBEACABAE_AFAE_AFEB^FCAB^AC—=SLEFT/BC&F△ABCsMBCZB=ZB',ZC=ZCrZA=ZA\AB_BC_ACA^=WC=A^CAA'【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如&B）称为上，位置靠下的称为下，两条线段合成的线段称为全，则可以形象的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示为二=二，空=刍rr全全2.平行线分线段成比例定理的推论平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.如AEAFAEEF=AABC△A'B'C'AM、AHADAABCBCA!MfA!HrA!D9AA0CBfCAB_BC_ACAM_AH_AD7^=^C=A^C==A^r=A7T=WD;AABC/\A!BfCABBCACAB+BC+AC;而一而一而一A®+B'C'+AC一EBFCAB△△BCB、C9>△=Z4‘ZZ?=ZZTAABCsMBC砂B'C'A'C'SCsMBCABACA®ACZA_ZA△ABCs/WBC4DE//BCoHADEsAABCoA°-AE-DEABACBCABAAB〃CDo'AOBsHCODO竺=竺=竺CDOCODDG_AN△ABCAADGs^ABCBCZBAC=90°/\ADGsHEBDs&GCsMBCEMFCAE3/AAAAZAED=ZBAABCszMEDAEAC=ADAB/IcAEAD_ACDE~BCBAZACD=ZB△ABCsAACD/dACADCD八/\AC2=ADAB[)/\ABACBCBcA/\ZAED=ZB^ABC^AAED/\AEADDE\AEAC=ADAB、\厂ABACBCaAB1.BDAABCsMDEABDE=BCCDED丄BDAC丄ECBDAABCs*DEsAACEEZABC=ZCDE=ZACEZ^ABCsMDEABDE=BCCDABBCACCD^^DE^CECBDAABCs*DEsAACEADACMBCMCDE&=忑CBDBJCDABACABBCZABC=ZACEAABCZA4CABBDAC=CDAAABD^ACADZB=ZCADZC=ZBADAB2=AD2+BD2AC2=AD2+CD2BC2==AB2+AC2DCCCE//ADBAECE//ADZ1=Z£Z2=Z3ADZBACZ1=Z2AE=ACCE〃AD^=竺竺=竺AECDACCDAABCABACABBDAC=CDAF；VEAw/nBMCBMCENBM.ENBMEF//BCEF//BC一NFMCNFMC条件变为比例形式:走気，由于妙心180。-45。以3△加.条件变为比例形式:走気，由于妙心180。-45。以3△加.x+3y—zx-3y+zabcH0a+b.x=ky==3kz=5kx+3y-zk+9k-5k5=——c_2bx一3y+zk-9k—5k311-2x:y=2:3x+y5y-x1x_1x+13y3y32y3y+ix:y:z=1:3:5--"V+加=动=4<・xyz3x-yD2a-c+3eb+c-ac+a-bx1—工_a+b—c(a+b)(b+c)(a+c)y]2b—d+3/abcabc4“_c_幺_2a+cK"7"7~3b+d2a—c+3e_22b-d+3f"3b+c-ac+a-ba+h-c(b+c-a)+(c+a-b)+(u+h—c)====1abca+h+c(a+h)(h+c)(a+c)=8abcubc==—丄\ndfabc7〃从矿百Q〃be〃cf44b+c=2a,a+c=2b,u十b=2ca+h+c=O(a+b)(b+c)(a+c)(~c)・(一“)•(-b)DE=EF='ABE121^//厂U・<*_Cf_C・_S,\abe_'£\E1)BQL//V/…J△皿=UdEB°ACfi£=、ZEB…=T=TADV=\AD//BEBCS^be—-—A〃/，〃/32221DE'EFAH9AG=0.6cmBG=1.2cmCP=1.5cmCH=AABC—=-AE=3BD3AC=AC=3BD=3CD=2CE=£5TZADC=90QAD//BCZDFC=ZAEBZXADF^ACAEAD=8DC=6AD〃BCZDAF=ZACESFC=ZAEBZDFA=ZAECAA£>F^AC4EAD=8DC=6AC=10.123x6=2g52sg沁善忌CE弓BC弓△ABCZXDEFZA=90°"=90。AC=5BC=\3DF=\0EF=26ZC=85°ZE=85°—=—AB=\AC=1・5BC=2EF=8DE=10FD=\6ZA=46°4=80。Z£=45°BCDF•・・AD=AC・•・ZFDC=ZACB•・•DE・••EB=ECZABC=ZFCD••AABCsLCD(3)由等腰直角三角形得到心加Mac条件变为妙①冷―倍"巴题型一亀财：字和“8”字模型例题1(1)如图4-1,已知口A3CD中，过点8的直线顺次与AC.AD及CD的延长线相交于点QF、G,若BE=5,EF=2,则FG的长为・解析:(2)如图4・2,已知在口4BCD中，M、N为的三等分点，DM、DN分别交AC于几Q两点，•••AAEFsMEB,AGFD^AGBC,：.—=—=19：.2L=AI)~AF=1CBEB5CBCB5•FGDF3,即FG3得FG=10・5・BGCB5FG+75(2)!3由DC〃AB,得APPCAM1==—9AB3=-AC,4同理2AQ=^AC,5吟获冷心却C,心AC,故Ap：p0：ec=l：^：|=5:3：12巩固4(1)如图4」在ZV1BC中，M、E把&C边三等分，MN//EF//BC.MN、EF把ZVIBC分成三部分，则自上而下部分的面积比为.(2)如图4・2,AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F,且AB=1,CD=3、则的值为.(3)如图43已知在平行四边形&BCD中.M为的中点，DM,D3分别交&C于P,Q两点，则AP：PQ：QC=图44图4・3解析：(1)1：3:5：(2)1：(3)••心皆挥,兰=如=丄PCCD2.••心“:.PQ=\\-^-^AC=^AC,."P:P0:0C=2:1:3.题型三与内接矩形有关的相似问题例题2(2)如图5-1,△ABC中，正方形EFGH的两个顶点F、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC.AB上，BC=15,BC边上的高AD=10,求S”形时”•(2)如图5・2,已知ZV1BC中，四边形DFGF为正方形，D,F在线段AC,BC上，F,G在&3上，如果=1,S沁=3,求ZVIBC的而积・A解析：（1）设正方形EFGH的边长为x,AD.HG的交点为则解得，x=6,故S正和如G”=6’=36ADBC1015（2）设正方形边长为x,则AF=-,C/=LBG=-・XXX2由△CQEsAC4B,得—,解得x=2,CHAB2+a.8+xxx:.AB=6,CH=3、:.S^tic=巩固2：如图，已知ZvlBC中.AC=3,BC=4,ZC=90°,四边形DEGF为正方形，其中D、£在边&C、3C上，F、G在上，求正方形的边长.解析：法一：由勾股左理可求得初=5，由ABCH=ACBC可得CH=2.4・由迥“△咖可得务筹，设正方形的边长沙则汁弓产解得心善25法二：设CE=4R,贝UDE=5k,:・GE=\k、BE=—k3y,即俯知农解得"存―等题型四■"五“A字和“8”字模型的构造例题3如图，ZV1BC中，D为BC边的中点，延长4D至&延长AB交CE的延长线于P・若AD=2DE,求证：AP=3AB・解析：如图，过点D作PC的平行线，交AB于点H.AEC9：HD//PC,AUADAD=2DEd—=—=2nAH=2PH,PHDERf_fRDHD〃PC、BD=CD=——=——=gBH=PH,PHCD:•AP=AH+PH=3PH、AH=BH+AB=2PH=2BH,:.AB=BH=PH,：・AP=3PH=3AB.A还可用如下辅助线来证此题:巩固3：如图，已知线段AB//CD.&D与BC相交于点K,E是线段力D上一动点.（1）若BK=?KC,求竺的值；2AB（2）连接若肚平分ZABC.则当AE=^AD时，猜想线段处、BC、CD三者之间有怎2样等量关系请写岀你的结论并予以证明.再探究：当AE=^AD（n>2），而英余条件不变时,线段人&BC.CD三者之间又有怎样的等量关系请直接写出你的结论，不必证明.5CK0解析：(1)•:BK=—KC、:.一又TCD〃&B,2BK5:•HKC»£\KBA・—=2ABBK5(2)当3F平分ZABC,=时，AB=BC+CD；2证明：取BD的中点为F,连接FF交BC于G点，由中位线左理，得曰〃4B〃C6•••G为BC的中点，ZGEB=ZEBA,又・・SA"BE,5SBG*^GF=-CD,EF=、AB,•••EF=EG+GF,即：-AB=-BC+^-CDt・.AB=BC+CD;22222当AE=-AD(n>2)^fBC+CD=(n-\)AB・题型六斜“A”和斜“8”模型例题4r例题5如图，在△ABC中，AD丄BC于D,比丄加于&△MC的而积是面积D的4倍，AC=6,求DE的长・解析：VAD丄BC，CE丄AB，ZABD=ZCBE,•••MBDsMBE，RFA-^=—VZEBD=ZCBA9:仏BEDsgCA,BDAB-DE"AC_巩固4：（1）如图，△ABC是等边三角形，点6£分别在BC,AC上，且BD=CE,AD与BE相交于点F・求证：①BD'=ADDF；②AFAD=AEAC：③BFBE=BDBC・⑵如图，四边形沁是菱形,杠丄初交BD于E,交BC于F.求证:AD=DE皿AZABC=ZACB=ABAC=6^解析：（1）T等边MBC，•••AB=BC，•••BD=CE•••^ABD◎厶BCE・ZBAD=ZC8E,:.ZBFD=ZBAD+ZABE=ZCBE+ZABE=ZABCRDr\c:.Z\ABDs/\BFD:•••BD2=ADDF・ADBD=AC9证明zMFEsZCD即可.证明Z\BFDs^bcE即可.（2）方法一：取DE中点M,连接AM,ITAF丄AD，M为DE中点:.MA=MD=-DE,•••Z1=Z2,又T2Z2=Z3t•Zl=Z3t9••♦:・/\DAMs/\DBA,:.DAr=DMDB,:.AD2=-DEDB・2方法二：取BD中点N,连接&/V.由等腰三角形的性质可知：AN丄BD,又VZE4D=90°>:.AAND^Z^EAD.:.AD2=DNDE,又•:DN=LbD,:.AD2=-DEBD・22总结:考査斜“A"和斜“8”常见结论，看到比例乘积想到斜“A”和斜“8冷也要会找巩固5：在等边ZiABC中，点D为AC上一点,连结B6直线/与处，BD,BC分别相交于点E、P、F.且厶PF=60°・（1）如图8-2,写出图中所有与相似的三角形，并选择英中一对给予证明.（2）若直线/向右平移到图8-2、图8-3的位垃时（苴它条件不变），（1）中的结论是否仍然成立若成立，请写出来（不证明），若不成立，请说明理由.⑶探短如图8」当嘶足什么条件时（其它条件不变），吩拯请写出探究结果,并说明理由.（说明：结论中不得含有未标识的字母）解析：(1)/\BPFs/\ebf与厶BPFs△BCD，以为例，证明如卜•:•:乙BPF=/EBF=3、ZBFP=ZBFE,:仏BPFsgBF・(2)均成立，均为厶BPFs厶EBF,厶BPFs/\BCD・(3)BD平分ZABC时，PF=-PE・2证明：•:BD平分ZABC,:.ZABP=ZPBF=30•/ZBPF=60>:./BFP=90,/.PF=^PB、2又ABEF=60-30=30=ZABP,:•BP=EP,APF=-PE・2題型七射影定理例题6如图，已知AD、CF是ZvlBC的两条髙，丄AC与E,交CB延长线于G,交AD于H,求证：EF2=EHEG・解析：•:CF丄AB,EF丄AC,:.EF2=AECE,又由ADLBC可知，ZAEH=ZCEG=90。，ZEAH=ZEGC,CLJCA:•MEHsMEC、ECEG巩固6：(1)如图9」，在ZkABC中，CQ丄AB于D,DE1AC于E,DF丄BC于F・求:.EHEG=EAEC,:.EF2=EHEG・证：ACEF^ACBA.(2)如图92在RtAABC中，AD是斜边BC上的髙，丄AC于&DF丄AB于F,求.rAB4FB・FDut：——=・AC4ECEDA解析：(1)分别在△ADC与△CDB中由射影左理得到：CD2=CECA,CD》=CFCB，CECF・・・CECA=CFCB,即——二——，\AECF=ABCA./.ZkECFs&C4・CBCA⑵由射眈理可以依次得到务=鹽升熬于是仅需证明AB_FD而由于△BDAs/vqc,DF、DE分别是AB与AC上的髙，所以有AB_DFAC=DE得证.”九三垂直模型例题7如图，M为线段&3的中点，AE与3D交于点C,ZDME=ZA=ZB=a,且DM交&C于F,ME交BC于G.求证：^AMFsHBGM・连接FG,如果a=45。，AB=4y/2,AF=3,求FG的长.解析：(1)由题意得，^DME=ZA=ZB=at:.ZAMF+ZBMG=\SO°-a.ZAA/F+ZA加=180°-a,:.ZBMG=ZAFM9又ZA=ZB=a»:.HAMFs&gM・(2)TZXAMFs&GM,/.—=—>TM为的中点，AAM=BM=-AB.BGBM28•:AB=4\/2»AF=3♦A-BG=；,4V«=45°,AZACB=90°,AC=BC=4,:.CF=AC-AF=\.CG=BC-BG=—,3.・.fg=4cf2+cg-=|.巩固7：(1)如图10-1,矩形ABCD中，由8个而积均为1的小正方形组成的(型 模板 个人简介word模板免费下载关于员工迟到处罚通告模板康奈尔office模板下载康奈尔 笔记本 模板 下载软件方案模板免费下载 如图放程，则矩形A3CD的周长为•(2)如图10-2,在直角坐标系中，矩形ABCO的边O&在x轴上，边OC在y轴上，点3的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折，使得B点落在D点的位置，且AD交y轴于点F,则D点坐标为・解析：(1)厶ABEs厶ECFs厶fog,—=—=2,FDFG:.AB=2DF,:.AB=2CF,—=—=—=1,ECEFCF•••AB=CE,BE=CF,二CE=2CF,又V£F=4>ACE=-x/5>CF=±$:•BC=1 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ,AB=^$555V5•I矩形&BCD的周长为8石・（2）过D点做DF丄x轴于F点，BC与FD的延长线交于G点CG_GDCD\DF=AF=75=3设CG=x,贝ijDF=3x,AF=\+x,GD=3-3x,由于AF=3GD,列得方程：I+x=3(3-3x),4412解得a=-,故CG=-tDF弋.求得D点坐标为（-百，yj.巩固8：如图11-1,ZV1BC和是两个全等的等腰直角三角形，ZBAC=ZEDF=90。,△D£F的顶点F与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点F旋转到如图11-2,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与线段C4的延长线相交于点Q.（1）求证：MPEsMEQ・解析：(1)VZXABC和是两个全等的等腰直角三角形,AZfi=ZC=ZDEF=45°>•••ZBEP+ZCEQ=135。,ZC0E+ZCEQ=135°,/.ZBEP=ZCQE,XVZfi=ZC=45°,:.MPEsMEQ・RPRJ7(2)连接PQ,•••/XBPEsMEQ,••=—,CECQ•：BP=a,CQ=hBE=CE,:•BE=CE='d,22/.BC=3\/2a♦AB=AC=3ci>/.AQ=二“，PA=2a»2在R(AAP0中，PQ=JaQ2+AP，=*.题型十三平行模型例题8（例题9已知：如图，在梯形&BCD中，AB//CD,M是&3的中点，分别连接AC、BD.MD.MC,且&C与MD交于点E,03与皿（7交于F.求证：EF//CD；若AB=a,CD=b,求EF的长.解析：(1)9：AB//CD..ME_AM*£D"CD9：AM=BM,（中间过渡量）…••(2)VAM//EF//CD,•丄二丄+丄•EFAMCDab巩固9：如图所示，中，ZBAC=120°>AD平分ABAC交BC于点D.求证:111ADABAC解析：分别过B、C两点做4D的平行线，分别交C&、的延长线于QF两点.ADBEFC由于£B〃AD〃FC,有—:由于ZEB4=39=60。，Z£4B=180°-Za4C=60°所以为正三角形，同理AMC亦为正三角形.題型十一角平分线定理例题10在△ABC中，4的平分线交AC于D,ZC的平分线交于E,且BE=CD・求证：AB=AC・解乐由角平分线立理得到荒.疋就*图13-1图13-2TOC\o"1-5"\h\zAZ)AE/\即一=——，:.ad=ac-cd9ae=ab-be_AABACBc•••AC(AC一CD)=AB(AB一CD),整理得到(AC-AB)(AC+AB-CD)=0明显AC+AB—CDhO.故=.巩固10：(1)如图13-1,在/XABC中，ZC=90°,C4=3,CB=4、且CD是ZC的平分线.则AD的长为•IDBC(2)如图13-2,/是ZVIBC内角平分线的交点，川交对应边于D点，求证：—=/W+AC,解析：(1)由角平分线处理兽=等£,由于AB=jAChCB'=5,DBBC477/八亠厶f八小宀eHrA/ABAC亠亦,“工8丹A/AB+ACAB+AC(2)由角平分线足理得到矿而二而’由等比性质得到：75=bdTcd=^^'巩固11：若AP=PB,ZAPB=2ZACB.AC与P3相交于点D,且P3=4,PD=3・求ADDC的值.pp解析：过P点做ZAPB的角平分线PF,交AD于£点・VZEPD=ZAPE=ZC,a"DE=ZCDB,：4PDEs/\CDB,：.EDDC=PDDB=3,PAAF47又由于pe是角平分线，•••命=忌，•••pa=pb=4,：・ae「ed,ad「ed,PDED337:・ADDC=—EDDCT.3题型十二线束模型例题11•例题12如图，M.N为ZVIBC边3C上的两点，且满足BM=MN=NC,—条平行于AC的直线分别交AB.AM和朋的延长线于点6E和F.求证：EF=3DE・法一：如卜•左图，过D作DG〃3C交4C于G,交AM、AN于P、Q,由线束定理可知DP=PQ=g・：DF〃AC,：签=詈吉,g=>2,:•罟三，—DE・过F点或F点作眈的平行线也可得到类似的证法.法二如下右图，过M作PQ〃DF,交&3于P,交AF延长线于Q,则有AC//DF//PQ..PM_3M_1QM_MN*AC"BC"3^AC"A?C"'•PM1・•=—QM3由线束定理可知眾霧斗即EF=3DE・过B点或/V点作DF的平行线也可得到类似的证法.巩固12：(1)如图15-1,AB//CD,&D与BC交于点P,过P点的直线与AB、CD分别交于1F.求证：AE_DFBE"CF(2)如图152AB//CD.AD与BC交于点P,连接C4.DB并延长相交于0,连接0P并延长交CD于M,求证：点M为CD的中点.（3）如图在图15・2中，若点G从D点向左移动（不与C点重合），AG与BC交于点P,连0P并延长交CD于直接写出MC、MG、A4D之间的关系式.图15-1解析：(1)证明：如图1,-AB//CD.AD与3C交于点P,:•MEPsMFP、HBFPsMFP、.AE_EPBE_EP.AE_BE.AE_DF••BF"FP'CF"FP1Or"CF'••亦一乔：证明：如图2,设OM交A3于点N.9：AB//CD.•••△AONsMOM，^BON^^DOM,AAOB^ACOD,.••竺=竺①,CMDM/\APBs/\dpc、・・・竺=型②,DMCM.OA_ANOB_BNOA_OB••荒一而’而一而’OC"OD厶BNPs厶CMP、.AN_APDN_BPAP_BP••而二丽’CM=CP^DP=CP'①十②•—=—,:.CM=DM,即点M为CD的中点；CMDM解：MC2=MG^MD.理由如下：如图3,设OM交&3于点MMCMPNANP9：AB//CD.:・/\MCPs/\NBP,/\NAPs3GP、:①，一=一②,NBNPMGMPG、&、MCNA⑴X②，得——X——=NBMGMPNP,.MCNBNPMPMGNA・•••△AQVsMOM,人…厂•NAONNBONMCOMMDOM.NANB•=t」D=NB,JC/D,...曲=沁沁MCMDMCNAMGMC题型十三相似综合例题13如图，点力的坐标为（2,2）,点C是线段少上的一个动点（不与0、A两点重合）,过点C作CD丄x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接&F并延长交x轴的正半轴于点B,连接OF.若以B、E、F为顶点的三角形与△OFE相似.则点B的坐标解析：要使ZiBEF与/XOFE相似,I"EO=ZFEB=9Q。・••只要鲁篇或券备即归2『或EB弓②当BE=2t时，30=4/,2/2^7.・・20（舍公）或层,•••B(6.0)・⑴当B肛的左侧时，如“弓,⑹当〃在E的右侧时’OB“E+EB=*,:.B(3.0)・巩固13：如图，RtAABC中，ZACB=9O°,CD丄A3于D,过点D作QE丄BC,/\BDE边DE上的中线BF延长线交AC于点G.（1）求证：ADBD=CECB；（2）若AG=FG、求BF.GF;（3）在（2）的条件下，若BC=6迈.求BD的长度.解析：(1)证明：VCP丄AB,•••△BCD是直角三角形.VDE丄BC,ACD2=CECB・•••△ABC是直角三角形，CD丄AB.•••CD2=ADBD,:•ADBD=CECB；解：过G作GP丄DF交DF于P,连结DG,VAC丄BC,DE丄BC,GFIDE，t四边形CEPG是矩形，.••CG=EP在Rt/MDC中，TG是边AC中点，AG=DG=CG.又VAG=FG.:•DG=FG、:.AGFD是等腰三角形.:.GP是"的中线，DP=FP,即FP=-DF=-EF・22•：CG=EP,FP=-EF,:•PF:CG=\:3,二PF:FG=1:3・2JMFGsgFBsMGB,；•CG・.BG=EF:BF=PF:GF=\:3,:.FG:BG=1:3,BF:GF=2:X解：•:BC=6迈、CE:BE=GF:BF=\:2,:.CE=2迈,BE=4迈.•••EF:BF=1:3,设EF=x,则BF=3x.•••F+(4血)2=9/,解得x=2.:•BF=6,GF=3,AC=6,•••AB=JaCUBC?=届+(6毎=6冬,:•BD=4书.